M11 Vektoren

Aus der Physik kennt man Größen wie Geschwindigkeit, Impuls, Kraft, die nicht nur einen Betrag sondern auch eine Richtung haben. Die Richtung wird durch einen Pfeil angegeben. Je Größer die Geschwindigkeit, der Impuls, die Kraft ist desto länger ist der Pfeil.

In der Mathematik kennt man Pfeile oder Vektoren von einer Verschiebung. In diesem Video

wird erkärt wie man eine Verschiebung im R² mit Hilfe eines Vektors beschreibt.

Dieses Vorgehen übertragen wir auf unseren Raum R³. Stellt man Betrachtungen in der Zeichenebene R² an, so setzt man die dritte Koordinate x₃ einfach 0.

Merke: Ein Vektor ist die Menge aller gleich langen, parallelen und gleichgerichteten Pfeile. Jeder Pfeil ist ein Repräsentant des Vektors. Jeder Repräsentant legt den Vektor fest. Vektoren werden durch kleine Buchstaben mit Pfeil obendrüber $\vec v, \vec u, \vec a, \vec b, ...$ bezeichnet. Wenn ein Pfeil durch Anfangspunkt A und Spitze B gegeben ist, dann schreibt man für den Pfeil $\vec {AB}$ und verwendet dies auch für den Vektor , also $\vec u = \vec {AB}$. In einem Koordinatensystem legt man einen Vektor $\vec v$ durch Koordinaten fest. Dies erfolgt, wenn der Anfangspunkt des Repräsentanten des Vektors der Ursprung ist und die Spitze (Endpunkt) der Punkt B(b1;b2;b3) durch $\vec v = \left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right)$ oder der Anfangspunkt A(a1;a2;a3) und die Spitze (Endpunkt) B(b1;b2;b3) ist durch die Koordinatendifferenzen des Endpunkts und des Anfangspunkts, also $\vec v = \left ( \begin{array}{c} b_1 - a_1 \\\ b_2 - a_2 \\\ b_3 - a_3 \end{array}\right)$ . Für Vektoren verwendet man eine Spaltenschreibweise $\vec v = \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right)$ und der Vektor $\vec v$ ist ein Spaltenvektor des Raumes. $v_1, v_2, v_3$ heißen Koordinaten des Vektors $\vec v$. Der Pfeil $\vec {OP}$ vom Ursprung O des Koordinatensystems zum Punkt P(p1;p2;p3) heißt Ortsvektor $\vec p$ des Punktes P. Es ist $\vec p = \left ( \begin{array}{c} p_1 \\\ p_2 \\\ p_3 \end{array}\right)$. Der Punkt P und sein Ortsvektor $\vec p$ haben dieselben Koordinaten $p_1, p_2, p_3$. Sind die Pfeile zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ gleich lang und parallel, aber entgegengesetzt gerichtet, dann ist der Vektor $\vec b$ der Gegenvektor des Vektors $\vec a$ (und $\vec a$ ist Gegenvektor von $\vec b$). Der Gegenvektor von $\vec a$ wird auch mit $-\vec a$ bezeichnet. Ein Vektor der Länge 0 wird mit $\vec o$ und heißt Nullvektor. Es ist $\vec o = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$ .

Beispiele
1. Der Vektor $\vec {AB}$ mit A(4;3;1) und B(-1;6;0) ist $\vec {AB} = \left ( \begin{array}{c} -1-4 \\\ 6-3 \\\ 0-1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -5 \\\ 3 \\\ -1 \end{array}\right)$ .
Sein Gegenvektor $\vec {BA}$ ist dann $\vec {BA} = \left ( \begin{array}{c} 4-(-1) \\\ 3-6 \\\ 1-0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ -3 \\\ 1 \end{array}\right)$ .
Der Ortsvektor $\vec a$ vom Ursprung zu A ist $\vec a = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)$, der Ortsvektor $\vec b$ ist $\vec b = \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 6 \\\ 0 \end{array}\right)$ .

2. Die Pfeile $\vec {AB}$ und $\vec {CD}$ gehören zum selben Vektor $\vec v$.
Gegeben sind A(2;3;4), B(4;7;1) und C(1;5;6). Welche Koordinaten hat D?
Es ist $\vec v = \vec {AB}= \left ( \begin{array}{c} 4-2 \\\ 7-3 \\\ 1-4 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \\\ -3 \end{array}\right)$
Andererseits ist $\vec v = \vec {CD}= \left ( \begin{array}{c} d_1-1 \\\ d_2-5 \\\ d_3-6 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \\\ -3 \end{array}\right)$ . Durch Vergleich der Koordinaten $d_1-1=2, d_2-5=4, d_3-6=-3$ erhält man $d_1=3, d_2=9, d_3=3$, also D(3;9;3).

30px   Aufgabe 1

Bearbeiten Sie im Buch S. 93 Aufgabe1 d,e, Aufgabe 2, Aufgabe 4

Merke: Der Betrag $| \vec v |$ des Vektors $\vec v$ ist die Länge seines Pfeils . Für $\vec v = \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right)$ ist $| \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2}$ . Hinweis: Die Länge eines Pfeils des Vektors ist die Länge der Diagonale eines Quaders mit den Koordinaten als Länge, Breite und Höhe.

30px   Aufgabe 2

Berechne den Betrag des Vektors
a) $\left ( \begin{array}{c} -5 \\\ 3 \\\ -1 \end{array}\right)$ b) $\left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 6 \\\ 0 \end{array}\right)$ c) $\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \\\ -3 \end{array}\right)$ d) $\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$ e) $\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 4 \\\ -3 \end{array}\right)$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $\left | \left ( \begin{array}{c} -5 \\\ 3 \\\ -1 \end{array}\right) \right | = \sqrt {35}$, b) $\left | \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 6 \\\ 0 \end{array}\right) \right | = \sqrt {37}$, c) $\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \\\ -3 \end{array}\right ) \right | = \sqrt {29}$ , d) $\left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right) \right | = \sqrt {0} = 0$, e) $\left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 4 \\\ -3 \end{array}\right) \right | = \sqrt {25} = 5$

30px   Aufgabe 3

Buch S. 93 / 1 d, e

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

d) $\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \\\ -5 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ 5 \end{array}\right)$
$\vec {BA} = \vec A-\vec B = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \\\ -5 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ -5 \end{array}\right)$
e) $\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -8 \\\ 0 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 8 \\\ -2 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -16 \\\ 2 \end{array} \right)$
$\vec {BA} = \vec A-\vec B = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -5 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -8 \\\ 0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 16 \\\ -2 \end{array} \right)$

Es ist $\vec {BA} = -\vec {AB}$

Buch S. 93 / 2

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$, also $\vec B - \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ 6 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ oder $\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ 6 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ liefert $b_1 = 4, b_2 = 4, b_3=4$.

b) $\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$, also $\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -5 \end{array}\right) - \vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ oder $\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -5 \end{array}\right) -\left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ liefert $a_1 = -2, b_2 = 2, b_3=-3$.

c) $\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ 0 \\\ 7 \end{array}\right) -\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ liefert $b_1 = 6, a_2=-1, a_3=9$

d) $\left ( \begin{array}{c} -a \\\ a \\\ 3a \end{array}\right) -\left ( \begin{array}{c} a \\\ -3 \\\ 2a \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ liefert

x₂-Koordinate: a + 3 = 1, also a = -2 und $\vec A= \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -3 \\\ -6 \end{array}\right)$ und $\vec B = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ -6 \end{array}\right)$

Buch S. 93 / 3b

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\vec {AB} = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right), \vec {DC}=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ 0 \end{array}\right)$

Buch S. 93 / 4

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Die Punkte werden im Gegenuhrzeigersinn bezeichnet. Die untere Grundfläche hat die Punkte H, A, M, I, die obere Grundfläche die Punkte L, T, O, N. Also liegt H und L, A unter T, M unter O und I unter N.
T,O,N werden durch L(4;-4;0) zu einem Quadrat ergänzt.
O(0,0,0) und M(0,0,-4) bedeuten, dass die untere Fläche 4 unterhalb der oberen Fläche liegt.
Damit: T(4;0;0) liefert A(4;0;-4), N(0;-4;0) liefert I(0;-4;-4) Nun ergeben sich noch H(4;-4;-4), A(4;0;-4), M(0,0,-4).
Also insgesamt: H(4;-4;4), A(4;0;-4), M(0;0;-4), I(0;-4;-4) und L((4;-4;0), T(4;0;0), O(0;0;0), N(0;-4;0)

Da O der Ursprung ist, ist ein Vektor $\vec {OM}$ mit Startpunkt O der Ortsvektor $\vec M$. $\vec {OM}= \vec M = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right), \vec {OL} = \vec L = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {MH}=\vec H - \vec M = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {IA}=\vec A - \vec I = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 4 \\\ 0 \end{array}\right)$
$\vec {NT} = \vec T - \vec N = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 4 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {LA} = \vec A - \vec L =\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right), \vec {AN} = \vec N - \vec A = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -4 \\\ 4 \end{array}\right)$
Man kann die Koordinaten auch gut als als Wege wie man vom Anfangspunkt zur Spitze des Vektors gelangt. Beim letzten Vektor $\vec {AN}$ geht man von A aus -4 in x₁-Richtung und kommt zur x₃-Achse, dann geht man um -4 in x₂-Richtung, dann ist man unterhalb von N und muss noch um 4 in x₃-Richtung und ist dann in N. Die Reihenfolge wie man geht ist beliebig. Man kommt immer zu N.

b) Die Pyramide hat ein Quadrat mit Seitenlänge a = 4 als Grundfläche und die Pyramidenhöhe 2, also ist $V=\frac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot 2=\frac{32}{3}$

Die Oberfläche hat den Inhalt $O=4^2 + 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 2\sqrt 2 = 16+16\sqrt 2=16(1+\sqrt 2) \approx 38,6$