M11 Vektorprodukt

Bisher haben wir zwei Multiplikationen bei Vektoren kennengelernt.

• die S-Multiplikation, die Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor
• das Skalarprodukt, die Multiplikation zweier Vektoren, dessen Ergebnis eine Zahl ist.

In der Physik haben Sie die Lorentzkraft bei der Bewegung geladener Teilchen in einem Magnetfeld kennengelernt. Mit der rechten-Hand-Regel konnte man die Richtung der Kraft auf die Teilchen bestimmen. Dazu verwendet man, dass die drei Finger Daumen - Zeigefinger - Mittelfinger auf natürliche Weise ein Rechtssystem, ein Koordinatensystem mit zueinander senkrecht stehenden Achsen, bilden. Dabei zeigt der Daumen in Bewegungsrichtung positver Ladungen, der Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes und der gestreckte Mittelfinger geht in Richtung der Lorentzkraft. In der Physik sind die Geschwindigkeit v, das Magnetfeld B und die Kraft F gerichtete Größen, d.h. sie haben eine Richtung einen Betrag. Man kann sie gut durch Vektoren darstellen. Hier wird also zu zwei gegebenen Vektoren ein dritter Vektor gesucht.

  Aufgabe 1

Finden Sie jeweils einen dritten Vektor $\vec n$ heraus, der mit den zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ein Rechtssystem bilden.
a) $\vec a= \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec b= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right)$ , b) $\vec a= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec b= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$ , c) $\vec a= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right), \vec b= \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$ , d) $\vec a= \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right), \vec b= \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ -1 \end{array}\right)$

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a) $\vec n = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$
b) $\vec n = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$
c) $\vec n = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right)$

d) Es ist $\vec a \circ \vec b = 0$, also stehen $\vec a$ und $\vec b$ senkrecht zueinander. Dann findet man auch einen dritten Vektor, der jeweils senkrecht zu ihnen steht, z.B. $\vec n=\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ -1 \end{array}\right)$.

Merke: Zu den Vektoren $\vec a=\left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right)$ und $\vec b=\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right)$ bildet man das Vektorprodukt $\vec a \times \vec b$ durch $\vec a \times \vec b = \left ( \begin{array}{c} a_2b_3-a_3b_2 \\\ a_3b_1-a_1b_3 \\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{array}\right)$. Man spricht für $\vec a \times \vec b$ : "Vektor a Kreuz Vektor b". Das Ergebnis des Kreuzprodukts $\vec a \times \vec b$ ist ein Vektor, der senkrecht auf die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ steht. Eigenschaften des Vektorprodukts $\vec a \times \vec b$: Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt $\vec a \times \vec b$ ist ein Vektor, der senkrecht zu den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ steht. Die Vektoren $\vec a, \vec b$ und $\vec a \times \vec b$ bilden ein Rechtssystem. Der Betrag des Vektors $\vec a \times \vec b$ ist $|\vec a \times \vec b|=|\vec a||\vec b|sin\varphi$, wobei $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist. Der Betrag des Vektorprodukts ist dann gleich der Maßzahl des Flächeninhalts des von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms. Der Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms ist $A=|\vec a \times \vec b|$ Die Begründungen zu den Eigenschaften lesen Sie bitte im Buch S. 116 nach.

Beispiele:
1. Für $\vec a=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 4 \\\ 3 \end{array}\right)$ und $\vec b=\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right)$ ist das Vektorprodukt $\vec a \times \vec b$ durch $\vec a \times \vec b = \left ( \begin{array}{c} 4\cdot (-1)-3\cdot 2 \\\ 3\cdot 1-(-2)\cdot (-1) \\\ -2\cdot 2-4\cdot 1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -10 \\\ 1 \\\ -8 \end{array}\right)$.

2. Für $\vec a=\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ -2 \\\ 2 \end{array}\right)$ und $\vec b=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$ ist das Vektorprodukt $\vec a \times \vec b$ durch $\vec a \times \vec b = \left ( \begin{array}{c} -2\cdot 2- 2\cdot 1 \\\ 2\cdot (-2)-1\cdot 2 \\\ 1\cdot 1-(-2)\cdot (-2) \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -6 \\\ -6 \\\ -3 \end{array}\right)$.

  Aufgabe 2

Ermitteln Sie drei Vektoren, die auf den Vektoren $\vec a=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 4 \\\ 3 \end{array}\right)$ und $\vec b=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ -3 \end{array}\right)$ senkrecht stehen.

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Es ist $\vec a \times \vec b$ durch $\vec a \times \vec b = \left ( \begin{array}{c} -12-6 \\\ 6-6 \\\ -4-8 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -18 \\\ 0 \\\ -12 \end{array}\right)$.

Damit stehen die Vektoren$\left ( \begin{array}{c} -18 \\\ 0 \\\ -12 \end{array}\right), \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right), \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ -2 \end{array}\right), \left ( \begin{array}{c} 90 \\\ 0 \\\ 60 \end{array}\right), \left ( \begin{array}{c} 1,5 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$ senkrecht auf $\vec a, \vec b$

  Aufgabe 3

Ermitteln Sie zu $\vec a=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 1 \end{array}\right)$, $\vec b=\left ( \begin{array}{c} 10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right)$ und $\vec c=\left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right)$
a) $\vec a \times \vec b$
b) $\vec b \times \vec c$
c) $(\vec a \times \vec b)\circ \vec c$
d) $(\vec a \times \vec b) \times \vec c$
e) Wie groß ist der Flächeninhalt des von den Vektoren
i) $\vec a$ und $\vec b$
ii) $\vec b$ und $\vec c$ aufgespannten Parallelogramms.

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a) $\vec a \times \vec b=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 1 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -16+6 \\\ 10-16 \\\ -12+20 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right)$

b) $\vec b \times \vec c=\left ( \begin{array}{c} 10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right)=\left ( \begin{array}{c} -6-8 \\\ -8-10 \\\ 10-6 \end{array}\right)=\left ( \begin{array}{c} -14 \\\ -18 \\\ 4 \end{array}\right)$

c) $(\vec a \times \vec b)\circ \vec c=\left ( \begin{array}{c} -10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right) = 10-6+8=12$

d) $(\vec a \times \vec b)\times \vec c=\left ( \begin{array}{c} -10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -6-8 \\\ -8+10 \\\ -10- 6 \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{c} -14 \\\ 2 \\\ -16 \end{array}\right)$

e) i) $A=|\vec a \times \vec b|=\left |\left ( \begin{array}{c} -10 \\\ -6 \\\ 8 \end{array}\right) \right |=10\sqrt 2$

ii) $A=|\vec b \times \vec c|= \left | \left ( \begin{array}{c} -14 \\\ -18 \\\ 4 \end{array}\right) \right| =2\sqrt {134}$

Merke Der Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms ist $A=|\vec a \times \vec b|$. Der Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Dreiecks ist $A=\frac{1}{2} |\vec a \times \vec b|$.

  Aufgabe 4

Buch S. 117 / 3
Buch S. 117 /4

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117/3
a) Raute, $A=36\sqrt 3, u=24\sqrt 2$
b) Quadrat, A = 50, u =$20 \sqrt 2$
c) Rechteck, A = 50, u = 30
d) gleichschenkliges Trapez, A = 16
e) Parallelogramm, A = 29

117/4 a)$A=\frac{1}{2} |\vec {LE} \times \vec {LA}| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 1 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ -4 \end{array}\right) \right| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} -6 \\\ 7 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{86}$.

b) $A=\frac{1}{2} |\vec {BE} \times \vec {BN}| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 0 \\\ 4 \end{array}\right) \right| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} 16 \\\ 16 \\\ 16 \end{array}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{768}=8\sqrt 3$.

c) $A=\frac{1}{2} |\vec {UT} \times \vec {UE}| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 8 \\\ -2 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 8 \\\ -5 \end{array}\right) \right| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} -24 \\\ -7 \\\ -16 \end{array}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{881}$.

d) $A=\frac{1}{2} |\vec {AL} \times \vec {AF}| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ -2 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 6 \\\ -1 \end{array}\right) \right| =\frac{1}{2} \left | \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 0 \\\ 7 \end{array}\right) \right| = \frac{7}{2} \cdot \sqrt{2}$.

Merke: Rechengesetze für das Vektorprodukt $\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)$ $(r \cdot \vec a )\times \vec b = r \cdot (\vec a \times \vec b)$ $\vec a \times (\vec b + \vec c)=\vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c$ Distributivgesetz

Im Buch gibt es dazu Aufgaben s. 117/5,6. Man muss die Definitions des Kreuzprodukts verwenden und die Koordinaten so umformen, dass die Aussage richtig wird. Wer will kann sich daran versuchen. Ich korrigiere auch die Lösung.

  Aufgabe 5

Buch S. 118 / 7, 8, 10

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118/7 Das Kreuzprodukt $\left ( \begin{array}{c} x_1 \\\ x_2 \\\ 1 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} x_2-2 \\\ 1-x_1 \\\ 2x_1-x_2 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} -5 \\\ 3 \\\ -1 \end{array}\right)$ liefert ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
$I:x_2-2=-5, II: 1-x_1=3, III: 2x_1-x_2=1$
I ergibt $x_2=-3$, II ergibt $x_1=-2$, Test in III liefert $2(-2)-(-3)=-1$.

118/8 a) A(12;0;0), B(12;12;0), C(0;12;0), D(0;0;0), E(12;0;12), F(12;12;12), G(0;12;12), H(0;0;12)
b) K ist ein Punkt in der oberen Deckfläche k₃=12, ebenso L wegen l₃=12, und die anderen Koordinaten von K und L liegen zwischen 0 und 12.
M liegt auf der Kante [BF] und N auf der Kante [CG].(Koordinaten betrachten!)
P liegt nicht auf der Würfeloberfläche, da keine seiner Koordinaten 0 oder 12 ist. Q liegt nicht auf der Kugeloberfläche, da mit q₂=13 der Punkt außerhalb des Würfels liegt.

$2\vec {KL}=2\left ( \begin{array}{c} -6 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)=\left ( \begin{array}{c} -12 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)=\vec{MN}$; das Viereck KLMN ist ein Trapez, die Grundseiten haben die Längen 6cm und 12cm, die Höhe $4\sqrt 5$cm. Die Innenwinkel sind bei K 114,1°, bei L 102,6°, bei M 65,9° und bei N 77,4°.
Der Flächeninhalt des Trapezes ergibt sich mit der Trapezformel zu $A=36\sqrt 5 cm^2$, die Umfangslänge $u=(6+12+4\sqrt 6 + 2\sqrt {21})cm$

118/10 Es ist $\vec {AB}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {BC}=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ -6 \end{array}\right), \vec {CD}=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 4 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {DA}=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 6 \end{array}\right)$, also $\vec {AB}=\vec {DC}$ und $\vec {BC}=\vec {AD}$, also ist das Viereck ein Parallelogramm.
M erhält man durch $\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec c)=\left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 0 \\\ -2 \end{array}\right)$, also M(5;0;-2).
Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist $A= |\vec {AB} \times \vec {AD}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \\\ 0 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ -6 \end{array}\right ) \right |=\left | \left ( \begin{array}{c} 24 \\\ 12 \\\ 8 \end{array}\right) \right |=28$.
Wegen der Volumenformel der Pyramide $V=\frac{1}{3}Gh$ ist die Höhe der Pyramide h = 9.

Katarinas Ansatz ist der, dass man vom Mittelpunkt M neun Einheiten in Richtung des Einheitsvektors $\frac{1}{28}\left ( \begin{array}{c} 24 \\\ 12 \\\ 8 \end{array}\right)$ geht. Da man von M aus in zwei entgegengesetzte Richtungen gehen kann, schreibt sie +/- .