M11 Vektorprodukt bei der Volumenberechnung

Kalkspat hat eine besondere Form.			Diesen Effekt nennt man Doppelbrechung

Der Körper

wird deshalb auch als Spat bezeichnet. Eigentlich heißt er Parallelepiped. Das ist Spat doch einfacher zu merken. Man kann sich vorstellen, dass ein Spat entsteht, wenn man einen Quader nach rechts und nach hinten deformiert.

Wie einen Quader kann man einen Spat durch Vektoren erzeugen.

Das Spatvolumen ist nun nach dem Prinzip von Cavalieri V = Gh, wobei G der Flächeninhalt der Grundfläche ist und h die Höhe des Spats. Den Flächeninhalt der Grundfläche bekommt man mit dem Vektorprodukt $G=|\vec a \times \vec b|$ . Man weiß auch, dass das Vektorprodukt $\vec a \times \vec b$ ein Vektor ist, der senkrecht zur den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ steht.
Die Richtung der Höhe ist dieselbe wie die Richtung des Vektors $\vec a \times \vec b$ , beide stehen senkrecht zur Grundfläche.
Aus dem Bild sieht man, dass $h = c\cdot cos \theta$ ist (,wenn $c=|\vec c|$ ist).
Es ist also $V = G\cdot h = G \cdot c \cdot cos \theta$ .
Ersetzt man nun G durch $G=|\vec a \times \vec b|$ , dann ist $V=|\vec a \times \vec b|\cdot |\vec c| cos \theta$ und nach der Definition des Skalarprodukts $V = (\vec a \times \vec b) \circ \vec c$ . Da das Skalarprodukt auch negativ sein kann, nimmt man für das Volumen den Betrag, also $V = |(\vec a \times \vec b) \circ \vec c|$ .

Merke:

Das Produkt $(\vec a \times \vec b) \circ \vec c$ heißt Spatprodukt.

Das Volumen des Spats, der von den Vektoren $\vec a, \vec b$ und $\vec c$ aufgespannt wird,ist $V = |(\vec a \times \vec b) \circ \vec c|$ .

Aufgabe 1

Gegeben sind die drei Vektoren $\vec a= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 8 \\\ 0 \end{array}\right), \vec b = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)$ und $\vec c= \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 6 \end{array}\right)$ .

Berechne a) $(\vec a \times \vec b)\circ \vec c$
b) $(\vec b \times \vec c)\circ \vec a$
c) $(\vec c \times \vec a) \circ \vec b$

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Merke

Wichtig ist, dass man einen Eckpunkt nimmt. Es ist egal welchen. Für die Berechnung des Volumens nimmt man die drei Vektoren, die von diesem Eckpunkt weggehen.

Für die Berechnung des Volumens ist auch die Reihenfolge wie man die Vektoren in die Gleichung für das Spatvolumen einsetzt, egal. Da man am Ende den Betrag nimmt, kommt stets ein positives Volumen heraus.

Aufgabe 2

Berechnen Sie das Volumen des Spats, der von den drei Vektoren $\vec a = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right), \vec b= \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)$ und $\vec c= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 4 \end{array}\right)$ aufgespannt ist.

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Mit diesen Überlegungen kann man auch eine Formel zur Berechnung von Pyramidenvolumina erhalten.

Merke:

Das Volumen einer Pyramide, die ein

Parallelogramm als Grundfläche hat ist $V=\frac{1}{3}|(\vec a \times \vec b) \circ \vec c|$ (ägyptische Pyramide).
Dreieck als Grundfläche hat ist $V=\frac{1}{6}|(\vec a \times \vec b) \circ \vec c|$ (Tetraeder).

Anmerkung: In der Mittelstufe hat man gelernt, dass das Volumen eines Quaders oder eines geraden Körpers $V = Gh$ ist. Das Volumen eines Körpers mit Spitze wie Pyramide, Kegel ist stets $v = \frac{1}{3}Gh$ . Daher $\frac{1}{3}$ in der Pyramidenformel.
Da der Flächeninhalt mittels dem Vektorprodukt berechnet wird, ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms $|\vec a \times \vec b|$ und der Flächeninhalt eines Dreiecks $\frac{1}{2}|\vec a \times \vec b|$ . Daher $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ in der Formel für den Tetraeder.