M11 Vektorprodukt bei der Volumenberechnung

Kalkspat hat eine besondere Form.	250px	250px	250px Diesen Effekt nennt man Doppelbrechung

Der Körper

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wird deshalb auch als Spat bezeichnet. Eigentlich heißt er Parallelepiped. Das ist Spat doch einfacher zu merken. Man kann sich vorstellen, dass ein Spat entsteht, wenn man einen Quader nach rechts und nach hinten deformiert.

Wie einen Quader kann man einen Spat durch Vektoren erzeugen.

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Das Spatvolumen ist nun nach dem Prinzip von Cavalieri V = Gh, wobei G der Flächeninhalt der Grundfläche ist und h die Höhe des Spats. Den Flächeninhalt der Grundfläche bekommt man mit dem Vektorprodukt $G=|\vec a \times \vec b|$ . Man weiß auch, dass das Vektorprodukt $\vec a \times \vec b$ ein Vektor ist, der senkrecht zur den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ steht.
Die Richtung der Höhe ist dieselbe wie die Richtung des Vektors $\vec a \times \vec b$ , beide stehen senkrecht zur Grundfläche.
Aus dem Bild sieht man, dass $h = c\cdot cos \theta$ ist (,wenn $c=|\vec c|$ ist).
Es ist also $V = G\cdot h = G \cdot c \cdot cos \theta$ .
Ersetzt man nun G durch $G=|\vec a \times \vec b|$ , dann ist $V=|\vec a \times \vec b|\cdot |\vec c| cos \theta$ und nach der Definition des Skalarprodukts $V = (\vec a \times \vec b) \circ \vec c$ . Da das Skalarprodukt auch negativ sein kann, nimmt man für das Volumen den Betrag, also $V = |(\vec a \times \vec b) \circ \vec c|$ .

Merke:

Das Produkt $(\vec a \times \vec b) \circ \vec c$ heißt Spatprodukt.

Das Volumen des Spats, der von den Vektoren $\vec a, \vec b$ und $\vec c$ aufgespannt wird,ist $V = |(\vec a \times \vec b) \circ \vec c|$ .

30px Aufgabe 1

Gegeben sind die drei Vektoren $\vec a= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 8 \\\ 0 \end{array}\right), \vec b = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)$ und $\vec c= \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 6 \end{array}\right)$ .

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Berechne a) $(\vec a \times \vec b)\circ \vec c$
b) $(\vec b \times \vec c)\circ \vec a$
c) $(\vec c \times \vec a) \circ \vec b$

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a) $(\vec a \times \vec b)\circ \vec c = \left [\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 8 \\\ 0 \end{array}\right)\times \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) \right ] \circ \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 6 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ -2 \\\ 36 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 6 \end{array}\right)=-32-4+216=180$
b) $(\vec b \times \vec c)\circ \vec a=\left [ \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 6 \end{array}\right) \right ] \circ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 8 \\\ 0 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} 10 \\\ 20 \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 8 \\\ 0 \end{array}\right) =20+160=180$

c) $(\vec c \times \vec a) \circ \vec b=\left [ \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 6 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 8 \\\ 0 \end{array}\right) \right ] \circ \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} -48 \\\ 12 \\\ -36 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) = 192+24-36=180$

30px Merke

Wichtig ist, dass man einen Eckpunkt nimmt. Es ist egal welchen. Für die Berechnung des Volumens nimmt man die drei Vektoren, die von diesem Eckpunkt weggehen.

Für die Berechnung des Volumens ist auch die Reihenfolge wie man die Vektoren in die Gleichung für das Spatvolumen einsetzt, egal. Da man am Ende den Betrag nimmt, kommt stets ein positives Volumen heraus.

30px Aufgabe 2

Berechnen Sie das Volumen des Spats, der von den drei Vektoren $\vec a = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right), \vec b= \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)$ und $\vec c= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 4 \end{array}\right)$ aufgespannt ist.

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$V=|(\vec a \times \vec b) \circ \vec c|=\left | \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right ) \right ] \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 4 \end{array}\right) \right |= \left | \left ( \begin{array}{c} -6 \\\ -5 \\\ 3 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 4 \end{array}\right) \right | = |-5+12|=7$

Mit diesen Überlegungen kann man auch eine Formel zur Berechnung von Pyramidenvolumina erhalten.

Merke:

Das Volumen einer Pyramide, die ein

Parallelogramm als Grundfläche hat ist $V=\frac{1}{3}|(\vec a \times \vec b) \circ \vec c|$ (ägyptische Pyramide).
Dreieck als Grundfläche hat ist $V=\frac{1}{6}|(\vec a \times \vec b) \circ \vec c|$ (Tetraeder).

Anmerkung: In der Mittelstufe hat man gelernt, dass das Volumen eines Quaders oder eines geraden Körpers $V = Gh$ ist. Das Volumen eines Körpers mit Spitze wie Pyramide, Kegel ist stets $v = \frac{1}{3}Gh$ . Daher $\frac{1}{3}$ in der Pyramidenformel.
Da der Flächeninhalt mittels dem Vektorprodukt berechnet wird, ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms $|\vec a \times \vec b|$ und der Flächeninhalt eines Dreiecks $\frac{1}{2}|\vec a \times \vec b|$ . Daher $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ in der Formel für den Tetraeder.

30px Aufgabe 3

Buch S. 119 / 5, 6

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119/5
Die vier Punkte legen einen Tetraeder fest.

a) Elementargeometrisch heißt man verwendet die Formal aus der Mittelstufe $V=\frac{1}{3}Gh$ . G ist der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 3 und 4. Die Höhe der Pyramide ist 2. Also ist $V = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 4 \cdot2 =4$ .
Zu bemerken ist hier, dass man nicht das Dreieck ABC als Grundfläche nehmen muss. Hier verwendet man als Grundfläche das Dreieck ABC und [DC] ist dann die Höhe der Pyramide!

b) Als Eckpunkt für die Berechnung des Volumens nimmt man z.B. A und die Vektoren $\vec {AB}, \vec {AC}, \vec {AD}$ . Es ist $\vec {AB}=\left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 4 \\\ 0 \end{array}\right) , \vec {AC}= \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right), \vec {AD}= \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$

$V= \frac{1}{6}|(\vec {AB} \times \vec {AC}) \circ \vec {AD}|=\frac{1}{6}\left | \left [ \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 4 \\\ 0 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right ) \right ] \circ \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right) \right |= \frac{1}{6}\left | \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ 6 \\\ -12 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right) \right | =\frac{1}{6} |-24|=4$

119/6
Die vier Punkte A, B, C und D legen ein Quadrat fest. Es ist zu zeigen, dass die Vektoren $\vec {AB}, \vec {BC}, \vec {CD}, \vec {DA}$ ein Parallelogramm bilden, $|\vec {AB}|=|\vec {BC}|=\vec {CD}|=|\vec {DA}|$ ist und ein 90°-Winkel da ist.
$\vec {AB}=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 5\\\ 0 \end{array}\right), \vec {BC}=\left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ 4 \end{array}\right), \vec {CD}= \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -5 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {DA}= \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right)$ .
Man sieht $\vec {AB}=\vec {DC}$ und $\vec {BC}=\vec {AD}$ und $|\vec {AB}|=|\vec {BC}|=\vec {CD}|=|\vec {DA}|=5$ ist. Außerdem ist $\vec {AB} \circ \vec {AD}=0$ , also ist bei A ein 90°-Winkel.

Man soll das Volumen auf 2 Arten berechnen.
1. mit der Volumenformel
Als Eckpunkt nimmt man z.B. A und damit die Vektoren $\vec {AB}, \vec {AD}, \vec {AS}$ . Es ist $\vec {AB}=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 5\\\ 0 \end{array}\right), \vec {AD}=\left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ 4 \end{array}\right), \vec {AS}= \left ( \begin{array}{c} -4,5 \\\ 2,5 \\\ 6,5 \end{array}\right)$ . Damit berechnet man
$V=\frac{1}{3}|(\vec {AB} \times \vec {AD}) \circ \vec {AS}| = \frac{1}{3} \left | \left [ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 5\\\ 0 \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ 4 \end{array}\right) \right ] \circ \left ( \begin{array}{c} -4,5 \\ 2,5 \\\ 6,5 \end{array}\right) \right | = \frac{1}{3} \left | \left ( \begin{array}{c} 20 \\\ 0 \\\ -15 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} -4,5 \\\ 2,5 \\\ 6,5 \end{array}\right) \right |= \frac{1}{3}\cdot |-90-97,5|=62,5$
2. elemtentargeometrisch
Die Grundfläche ist ein Quadrat mit Seitenlänge 5, der Flächeninhalt G = 25.
Die Seitenvektor $\vec {AS}$ hat die Länge $|\vec{AS}|=\sqrt {68,75} = \frac{5}{2} \sqrt{11}$ Die Höhe ist eine Kathete im rechtwinkligen Dreieck AFS, wenn F der Mittelpunkt der Diagonalen [AC] ist. Die Diagonale hat die Länge $5\sqrt 2$ , also ist die halbe Diagonale $2,5 \sqrt 2$ lang und es ist dann $h=\sqrt {(2,5 \sqrt {11})^2 - (2,5 \sqrt 2)^2}=\sqrt {56,25}=7,5$
(Hier hätte man eigentlich noch nachweisen müssen, dass alle 4 Kanten gleich lang sind und damit die Pyramide gerade ist.)