M8-Rechnen mit Bruchtermen

Wir haben uns mit gebrochen-rationalen Funktionen beschäftigt. Terme dieser Funktionen sind im Normalfall Bruchterme. In der 6. Klasse hast du gelernt mit Brüchen (Zahlen) zu rechnen. Da kamen in Zähler und Nenner des Bruches nur Zahlen vor. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht auch die Variable im Nenner, eventuell auch im Zähler. Daher müssen wir auch mit Brüchen arbeiten können, wenn Variable oder Parameter in Zähler und/oder Nenner vorkommen.

Zur Festigung deiner Grundkenntnisse wollen wir zuerst einiges vom Stoff der 6. und 7. Klasse wiederholen.

  Aufgabe 1

Wiederhole auf der Seite von Mathegym die Arbeitsaufträge
1. Wiederholung 6. Klasse: Bruchrechnen

Damit du dich erinnerst wie Bruchrechnen geht, schaue dir vorher dieses Video an:

2. Wiederholung 7. Klasse: Terme
3. Wiederholung 7. Klasse: Distributivgesetz - Ausklammern und Klammern auflösen

  Aufgabe 2

Drucke dir dieses Arbeitsblatt aus und bearbeite es.

Am Ende des letzten Arbeitsblatts steht: Mit Bruchtermen kann man wie mit Brüchen rechnen.
Beispiele sind auf dem Blatt angegeben.

Erkläre die Beispiele zum Rechnen mit Bruchtermen auf dem Arbeitsblatt unten.

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Erweitern: Der erste Bruch wird mit x, der zweite Bruch mit 5 erweitert, d.h. Zähler und Nenner werden mit x bzw. 5 multipliziert. Wenn Zähler oder Nenner eine Summe oder Differenz sind, dann setze sie in Klammern und multipliziere die Klammer!
Kürzen: Bei den Termen in Zähler und Nenner kann man jeweils x ausklammern. Der Rest bleibt kommt in Klammern. Stehen in Zähler und Nenner gleiche Faktoren, so kann man diese kürzen.
Addition: Brüche muss man beim Addieren oder Subtrahieren gleichnamig machen. Dies passiert hier, indem man die beiden Nenner multipliziert. Das ist dann der Hauptnenner. Haben beide Brüchen denselben Nenner, dann addiert bzw. subtrahiert man ihre Zähler und fasst zusammen.
Multiplikation: Zwei Brüche werden multipliziert, indem man ihre Zähler mulitpliziert und ihre Nenner multiziert.
Dann vereinfacht man den Zähler. Den Nenner lässt man so stehen, man multipliziert nicht aus. Man sieht dann leichter ob man noch kürzen kann.

Division: Man teilt durch einen Bruch, indem man seinen Kehrbruch multipliziert.

Merke Mit Bruchtermen kann man wie mit Brüchen rechnen. Dabei kann man Brüche bzw. Bruchterme Erweitern, Kürzen, Addieren bzw. Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren. Beachte: Aus Summen und Differenzen kürzen wir nicht!

Merke: 1. Erweitern und Kürzen Beim Erweitern werden Zähler und Nenner eines Bruchterms mit der gleichen Zahl bzw. mit dem gleichen Term multipliziert. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner eines Bruchtermt durch die gleiche Zahl bzw. den gleichen Term dividiert. 2. Addition und Subtraktion Gleichnamie Bruchterme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert bzw. subtzrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält. Ungleichnamige Bruchterme muss man vor dem Addieren bzw. Subtrahieren gleichnamig machen. 3. Multiplikation und Division Bruchterme werden multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner teilt. Bruchterme werden dividiert, indem man den erstsen Bruchterm mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchterms multipliziert.

Beipiele:

1. Erweitern: $\frac{5}{x+1}=\frac{5x}{x(x+1)}$
Der Bruch wurde mit x erweitert, d.h. Zähler und Nenner werden mit x multipliziert. Beachte dabei, dass du den Nenner x+1 in Klammern setzt, denn der ganze Nenner wird mit x multipliziert.

Kürzen:

• $\frac{5x}{x(x+1)}=\frac{5}{x+1}$
  

Der Bruch wurde mit x gekürzt.Im Nenner steht ein Produkt, dessen 1. Faktor x ist. Man darf kürzen, wenn in Zähler und Nenner Produkte stehen.

• $\frac{5+x}{x(x+1)}$ kann man nicht kürzen, da im Zähler eine Summe steht, die sich nicht durch Ausklammern in ein Produkt verwandeln lässt.
  
• $\frac{5x+x^2}{x(x+1)}=\frac{x(5+x)}{x+1}=\frac{5+x}{x+1}$
  

Hier kann man im Zähler x ausklammern, dann stehen in Zähler und Nenner Produkte, die jeweils x als Faktor haben. Dieses x darf man nun kürzen. Der verbleibende Bruch ist nicht weiter kürzbar! In Zähler und Nenner kommt zwar jeweils x vor, aber x steht in einer Summe und aus Summen kürzt man nicht!

• Und wenn man im letzten Beispiel beim Ergebnis noch x ausklammert?
  

Man kann natürlich im Bruch $\frac{5+x}{1+x}$ x ausklammern. Man erhält dann diesen Bruch:
$\frac{5+x}{1+x}=\frac{x\cdot (\frac{5}{x}+1)}{x\cdot (\frac{1}{x}+1)}$ und nun kann man, da x in Zähler und Nenner jeweils in einem Produkt vorkommt, x kürzen, aber das Ergebnis $\frac{\frac{5}{x}+1}{\frac{1}{x}+1}$ ist "kein schönes Ergebnis", da lässt man lieber $\frac{5+x}{1+x}$ stehen und hört auf.

• Beim Bruch $\frac{5-x}{x-5)}$ schauen Zähler und Nenner ja fast gleich aus. Wodurch unterscheiden sie sich?
  

Man kann beim Zählerterm -1 ausklammern und hat dann 5 - x = -(-5 + x) (Distributivgesetz!) und 5 - x = -(-5 + x) = -(x - 5) (Kommutativgesetz!).
Nun steht in der Klammer derselbe Term wie im Nenner.
Der Nenner ist auf natürliche Weise ein Produkt, es ist nämlich x - 5 = 1·(x - 5). Deshalb kann man nun den gemeinsamen Faktor (x - 5) kürzen. Also $\frac{5-x}{x-5}=\frac{-(x-5)}{1\cdot (x-5)}=\frac{-1}{1}=-1$

Übung

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a) Darf man $\frac{5}{5x}$ kürzen? (ja) (!nein)

b) Darf man $\frac{x-5}{5x}$ kürzen? (!ja) (nein)

c) Darf man $\frac{x^2}{5x}$ kürzen? (ja) (!nein)

d) Darf man $\frac{2-x^2}{2-x}$ kürzen? (!ja) (nein)

e) Darf man $\frac{4-x^2}{2-x}$ kürzen? (ja) (!nein)

f) Darf man $\frac{2-x}{x-2}$ kürzen? (ja) (!nein)

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a) 5 ist gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner. Das Ergebnis ist $\frac{1}{x}$
b) Im Zähler steht eine Differenz aus der man "nichts" ausklammern kann. Man kann nicht kürzen.
c) x ist gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner. $x^2=x\cdot x$, das Ergebnis ist $\frac{x}{5}$
d) In Zähler und Nenner stehen Differenzen, aus denen man nichts ausklammern kann. Man kann nichts kürzen.
e) Der Term im Zähler 4 - x² lässt sich umformen in 4 - x² = (2-x)(2+x) und dann kann man 2-x kürzen. Das Ergebnis ist x + 2.

f) Im Zähler kann man -1 ausklammern, dann ist 2 - x = -(x - 2) und man darf nun x-2 kürzen. Das Ergebnis ist -1.

2. Addition und Subtraktion: $\frac{17}{x+1}-\frac{11}{x+1}=\frac{17-11}{x+1}=\frac{6}{x+1}$
Die Brüche sind gleichnamig, dann kann man gleich die Zähler addieren bzw. subtrahieren.

$\frac{17}{x}-\frac{11}{x+2}=\frac{17(x+2)}{x(x+2)}-\frac{11x}{x(x+2)}=\frac{17(x+2)-11x}{x(x+2)}=\frac{17x+34-11x}{x(x+2)}=\frac{6x+34}{x(x+2)}$
Hier muss man für die zwei Brüche erst einen gleichen Nenner finden. Dazu wird der erste Bruch wird mit x+2 (=Nenner des 2. Bruches) erweitert, der zweite Bruch mit x (=Nenner des 1. Bruches). Wenn man gleiche Nenner hat, dann kann man die Zähler addieren bzw. subtrahieren und zusammenfassen bzw. vereinfachen. Im Nenner lässt man das Produkt stehen!

3. Multiplikation: $\frac{x}{x-2}\cdot \frac{x-3}{x+1}=\frac{x(x-3)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x^2-3x}{(x-2)(x+1)}$
Beim Multiplizieren werden die Zähler und die Nenner jeweils miteinander multipliziert. Den Zähler vereinfacht man noch. Im Nenner lässt man das Produkt stehen.

Division: $\frac{x}{x-2}: \frac{x-3}{x+1}=\frac{x}{x-2}\cdot \frac{x+1}{x-3}=\frac{x(x+1)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x^2+x}{(x-2)(x-3)}$
Beim zweiten Bruch wird der Kehrbruch gebildet, indem man Zähler und Nenner vertauscht. Der Zähler des Bruches wird zum Nenner des Kehrbruches, der Nenner des Bruches wird zum Zähler des Kehrbruches. Dann wird der 1. Bruch mit dem Kehrbruch des 2. Bruches multiplliziert, der Zähler vereinfacht und im Nenner bleibt das Produkt stehen.

In diesem Video wird alles nochmal zusammengefasst:

Bruchgleichungen am Ende des Videos kommen für uns erst später. Das ist dann unser nächstes Thema.

  Aufgabe 3

Erweitern:
1. Erweitere jeden der fünf Bruchterme $\frac{1}{x}, \frac{6}{x}, \frac{x-1}{x}, \frac{1}{2-x}, \frac{x}{x^2-1}$ mit
$a) \quad 2 \qquad b) \quad -1 \qquad c) \quad x \qquad d) \quad x^2 \qquad e) \quad 2-x \qquad f) \quad 1-x^2$

2. Erweitere jeweils auf den in der in den eckigen Klammern angegebenen Nenner und gib den Erweiterungsfaktor an.
Gib auch die Definitionsmenge an.
$a) \quad \frac{4}{15} \quad [60xy] \qquad b) \quad \frac{x}{x-y} \quad [2(y-x)] \qquad c) \quad \frac{a}{a-b} \quad [b(a-b)(a+b)] \qquad d) \quad -1 \quad [a+b] \qquad e) \quad ab \quad [ab^3] \qquad$
$f) \quad -\frac{2}{3} \quad [-6b] \qquad g) \quad \frac{4y}{y+x} \quad [-x(x+y)] \qquad h)\quad x \quad [x(1-x)] \qquad i) \quad 2 \quad [x+3] \qquad j) \quad xy \quad [x^2y^5] \qquad$
$k) \quad \frac{1}{a-b} \quad [b-a]$

Kürzen:
3. Kürze jeden der Brüche soweit, dass er in der einfachsten Form da steht. Gib jeweils an womit du gekürzt hast. Gib auch die Definitionsmenge an. Lass die Nenner als Produkt stehen!
$a) \quad \frac{4x}{6x^2} \qquad b)\quad \frac{x(x-4)}{x^3(x-4)} \qquad c)\quad \frac{x-5}{5-x} \qquad d)\quad \frac{4x}{4} \qquad e)\quad \frac{4}{4x} \qquad f)\quad \frac{-4x}{x} \qquad g)\quad \frac{x \cdot 2x}{8x^2}$
$h)\quad \frac{x(x-1)}{x^2(1-x)} \qquad i)\quad \frac{2(9x+6)}{6(3x+2)} \qquad j)\quad \frac{(3x-6)(8-2x)}{(4+x)(x-2)} \qquad k)\quad \frac{4x^2}{4x} \qquad l)\quad \frac{25(x+5)}{50(-x-5)}$
$m)\quad \frac{324(x+y)}{-18x} \qquad n)\quad \frac{x^2(30-5x)(x^2-x)}{15x(x-6)(x-1)} \qquad o)\quad \frac{(7-x)(x-1)x^2}{x(x+1)(x-7)} \qquad p)\quad \frac{3(x-4)(x+4)}{6x-24}$
$q)\quad \frac{180(y-9)(3-y)}{216(9-y)(y-3)} \qquad r)\quad \frac{4x-8}{16x-32} \qquad s)\quad \frac{12x^2 - 30x}{2x-10}$

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1. $\frac{1}{x}=\frac{2}{2x}=\frac{-1}{-x}=\frac{x}{x^2}=\frac{x^2}{x^3}=\frac{2-x}{x(2-x)}=\frac{1-x^2}{x(1-x^2)}$
Zähler und Nenner werden jeweils mit dem Erweiterungsfaktor, der in den Aufgaben a) - f) gegeben ist multipliziert.
$\frac{6}{x}=\frac{12}{2x}=\frac{-6}{-x}=\frac{6x}{x^2}=\frac{6x^2}{x^3}=\frac{12-6x}{x(2-x)}=\frac{6-6x^2}{x(1-x^2)}$
$\frac{x-1}{x}=\frac{2x-2}{2x}=\frac{-x+1}{-x}=\frac{x^2-x}{x^2}=\frac{x^3-x^2}{x^3}=\frac{(2-x)(x-1)}{x(2-x)}=\frac{(1-x^2)(x-1)}{x(1-x^2)}$
$\frac{1}{2-x}=\frac{2}{2(2-x)}=\frac{-1}{-2+x}=\frac{x}{2x-x^2}=\frac{x^2}{2x^2-x^3}=\frac{2-x}{(2-x)^2}=\frac{1-x^2}{(2-x)(1-x^2)}$

2. Den Erweiterungsfaktor erhältst du, wenn du den in eckigen Klammern angegebenen Nenner durch den Nenner des Bruches dividierst.
a) $\frac{4}{15}=\frac{16xy}{60xy}$ Erweiterungsfaktor 4xy
Definitionsmenge Q\{x=0; y=0}
b) $\frac{x}{x-y}=\frac{-2x}{2(y-x)}$ Erweiterungsfaktor -2
Beachte, dass x-y=-(y-x) ist!
Definitionsmenge Q\{x=y} (Der Nenner ist Null, wenn x = y ist. Also darf man diese Zahlen, wenn x = y ist, nicht einsetzen! Es muss x≠y sein!)
c) $\frac{a}{a-b}=\frac{ab(a+b)}{b(a-b)(a+b)}$ Erweiterungsfaktor b(a+b)
Definitionsmenge: Der Nenner ist Null, wenn b = 0 oder a = b oder a = -b ist, also Q\{(b=0; a=b; a=-b}
d) $-1=\frac{-a-b}{a+b}$ Erweiterungsfaktor a+b
Hier ist der Nenner -(a+b) noch vereinfacht zu -a-b.
Definitionsmenge Q\{a≠-b}
e) $ab=\frac{a^2b^4}{ab^3}$ Erweiterungsfaktor ab³
Definitionsmenge Q\{a=0; b=0}
f) $-\frac{2}{3}=\frac{4b}{-6b}$ Erweiterungsfaktor 2b
Das Minuszeichen kann man auch in den Nenner schreiben!
Definitionsmenge Q\{0}
g) $\frac{4y}{y+x}=\frac{-4xy}{-x(x+y)}$ Erweiterungsfaktor -x
Es ist x+y=y+x (Kommutativgesetz)!
Definitionsmenge Q\{x=0; x=-y}
h) $x=\frac{x^2(1-x)}{x(1-x)}$ Erweiterungsfaktor x(1-x)
Definitionsmenge Q\{0;1}
i) $2=\frac{2x+6}{x+3}$ Erweiterungsfaktor x+3
Definitionsmenge Q\{-3}
j) $xy=\frac{x^3y^6}{x^2y^5}$ Erweiterungsfaktor x³y⁵
Definitionsmenge Q\{x=0; y=0}
k) $\frac{1}{a-b}=\frac{-1}{b-a}$ Erweiterungsfaktor -1
Definitionsmenge Es muss a≠b sein, also Q\{(a=b}

3. Suche gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner. Eventuell musst du ausklammern.
Zur Angabe der Definitionsmenge musst du den in der Aufgabe gegebenen Term betrachten.
a) In Zähler und Nenner stehen 2 und x jeweils als Faktoren.
$\frac{4x}{6x^2}=\frac{2}{3x}$ gekürzt mit 2x
D = Q\{0}
b) In Zähler und Nenner stehen x-4 und x als Faktoren.
$\frac{x(x-4)}{x^3 (x-4)}=\frac{1}{x^2}$ gekürzt mit x(x-4)
D = Q\{0;4} Beachte, dass man im gekürzten Term 4 einsetzen dürfte, für den gekürzten Term ist D = Q\{0}.
c) Stelle zuerst Zähler oder Nenner um, indem du -1 ausklammerst.
$\frac{x-5}{5-x}=-1$ gekürzt mit 5-x
Beachte: x-5 = -(-x+5) = -(5-x)
D = Q\{5}, für den gekürzten Term ist D = Q.
d) $\frac{4x}{4}=x$ gekürzt mit 4
D = Q
e) $\frac{4}{4x}=\frac{1}{x}$ gekürzt mit 4
D = Q\{0}
f) $\frac{-4x}{x}=-4$ gekürzt mit x
D = Q\{0}, für den gekürzten Term ist D = Q.
g) $\frac{x\cdot 2x}{8x^2}=\frac{1}{4}$ gekürzt mit 2x²
D = Q\{0}, für den gekürzten Term ist D = Q.
h) $\frac{x(x-1)}{x^2(1-x)}=\frac{-1}{x}$ gekürzt mit x(1-x)
Beachte: x-1 = -(1-x)
D = Q\{0;1}, für den gekürzten Term ist D = Q\{0}.
i) $\frac{2(9x+6)}{6(3x+2)}=1$ gekürzt mit 2·3·(3x+2)
Im Zähler kannst du bei der Klammer 3 ausklammer 9x+6 = 3(3x+2).
Beachte: Im Nenner kann man 6 in zwei Faktoren zerlegen 6 = 2·3!
D = Q\{$-\frac{2}{3}$}, für den gekürzten Term ist D = Q.
j) $\frac{(3x-6)(8-2x)}{(4+x)(x-2)}=\frac{3(8-2x)}{4+x}$ gekürzt mit x-2
Im Zähler kann man beim Faktor 3x-6 die Zahl 3 ausklammern.
D = Q\{-4;2}, für den gekürzten Term ist D = Q\{-4}.
k) $\frac{4x^2}{4x}=x$ gekürzt mit 4x
D = Q\{0}, für den gekürzten Term ist D = Q.
l) $\frac{25(x+5)}{50(-x-5)}=-\frac{1}{2}$ gekürzt mit 25(x+5)
Im Nenner kannst du -1 ausklammern -x-5=-(x+5) oder im Zähler x+5=-(-x-5). Das - schreibt man dann vor den Bruch.
D = Q\{-5}, für den gekürzten Term ist D = Q.
m) $\frac{324(x+y)}{-18x}=-\frac{18(x+y)}{x}$ gekürzt mit 18
D = Q\{0}
n) $\frac{x^3(30-5x)(x^2-x)}{15x(x-6)(x-1)}=-\frac{x^3}{3}$ gekürzt mit 5x(x-6)(x-1)
Beachte: Ausklammern bei 30-5x = 5(6-x) und x²-x=x(x-1)!
D = Q\{1;6}, für den gekürzten Term ist D = Q.
o) $\frac{(7-x)(x-1)x^2}{x(x+1)(x-7)}=\frac{-(x-1)x}{x+1}$ gekürzt mit x(x-7)
Beachte 7-x=-(x-7)
D = Q\{-1;0;7}, für den gekürzten Term ist D = Q\{-1}.
p) Im Nenner kann man 6 ausklammern. Dann sind in Zähler und Nenner jeweils 3 und x-4 Faktoren, die man kürzen kann.
$\frac{3(x-4)(x+4)}{6x-24}=\frac{x+4}{2}$ gekürzt mit 3(x-4)
D = Q\{-4}, für den gekürzten Term ist D = Q.
q) $\frac{180(y-9)(3-y)}{216(9-y)(y-3)}=\frac{5}{6}$ gekürzt mit 36(9-y)(y-3)
Beachte: - mal - = +
D = Q\{3;9}, für den gekürzten Term ist D = Q.
r) Klammere in Zähler und Nenner aus!
$\frac{4x-8}{16x-32}=\frac{1}{4}$ gekürzt mit 4x-8
D = Q\{2}, für den gekürzten Term ist D = Q.
s) Klammere zuerst in Zähler und Nenner aus!
$\frac{12x^2-30x}{2x-10}=\frac{2\cdot 3\cdot x(2x-5)}{2(x-5)}=\frac{3x(2x-5)}{x-5}=\frac{6x^2-15x}{x-5}$ gekürzt mit 2, mehr geht nicht.

D = Q\{5}.

  Aufgabe 4

1. Addiere beziehungsweise subtrahiere. Gib die Definitionsmenge an.
$a)\quad \frac{2}{x} + 1 \qquad b)\quad \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \qquad c)\quad \frac{3}{x+1} - \frac{2}{x+1} \qquad d)\quad \frac{2}{2x+2} + \frac{6}{2x+2} \qquad e)\quad \frac{1}{x}+\frac{x}{2} \qquad f)\quad \frac{5-x}{1+x}+\frac{3x-3}{1+x}$
$g)\quad\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x} \qquad h)\quad \frac{7x-4}{2x}-\frac{2x+1}{x} \qquad i)\quad \frac{1}{y}+\frac{1+y}{1-y}\qquad j)\quad \frac{1-x}{x}-\frac{1-x^2}{x^2}+\frac{1}{x} \qquad k)\quad \frac{(x+0,5)^2}{0,5x}-2x$
$l)\quad \frac{2,5}{x+1}-\frac{1,5}{1+x}\qquad m)\quad \frac{1}{(1+x)(1-x)}+\frac{1}{1+x}\qquad n)\quad \frac{1}{(1+x)(1-x)}-\frac{1}{1+x}\qquad o)\quad \frac{x^2}{x+1}+\frac{x}{x+1}$
$p)\quad \frac{1}{x+3} + 2$

2. Vereinfache jeden Term so weit als möglich. Gib die Definitionsmenge an. Lass die Nenner als Produkt stehen!
$a)\quad 0,5x \cdot \frac{2}{x} \qquad b)\quad 0,5x : \frac{2}{x} \qquad c) \quad \frac{(x-2)(2+x)}{2x}:\frac{5x+10}{4x} \qquad d) \quad \frac{1}{x}:(-\frac{1}{x^2}) \qquad e)\quad \frac{x^3(1-x)}{x} \cdot \frac{(2x)^2}{x-1}$
$f) \quad \frac{x-x^2}{8}:\frac{x-x^2}{8} \qquad g) \quad (\frac{1}{x} - \frac{x}{2})\cdot 2x \qquad h) \quad (\frac{1}{x} + \frac{x}{2}): \frac{2+x^2}{2^2} \qquad$
$i) \quad (\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x}):(x+2) \qquad j) \quad (\frac{x-2}{x}-\frac{x}{x-2}) \cdot 0,25x$

3. Gegeben sind die fünf Terme $T_1(a)=a+1, \quad T_2(a)=\frac{a}{a-1}, \quad T_3(a)=\frac{a+1}{a}, \quad T_4(a)=\frac{a^2}{(1+a)(1-a)}, \quad T_5(a)=\frac{1}{a}$
Berechne und vereinfache so weit als möglich:
$a) \quad T_1(a) \cdot T_4(a) \qquad b) \quad T_2(a) : T_4(a) \qquad c) \quad T_3(a) - T_5(a) \qquad d) \quad T_2(a) + T_4(a) \qquad$
$e) \quad T_1(a) : T_3(a) \qquad f) \quad T_1(a) : T_3(a) - a \qquad g)\quad [T_1(a) \cdot T_2(a)] :T_3(a)$

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1.
Überlege dir zuerst den Hauptnenner, eventuell die Nenner miteinander multiplizieren (aber nicht ausrechnen, nur Faktor · Faktor!) und erweitere dann die Brüche mit dem jeweiligen Erweiterungsfaktor. Fasse dann die Zähler zusammen und vereinfache den gemeinsamen Zähler.
Für die Definitionsmenge musst du bei allen Summanden darauf achten, dass keine 0 im Nenner stehen darf.
a) Die Zahl 1 lässt sich als Bruch $\frac{1}{1}$ schreiben und dann mit x erweitern. Es ist $1 = \frac{x}{x}$.
Ergebnis: $\frac{2+x}{x}$
D=Q\{0}
b) Der Hauptnenner ist das Produkt der beiden Nenner 2 und x. Erweitere die beiden Brüche passend und fasse dann zusammen.
Ergebnis: $\frac{x^2+4}{2x}$
D=Q\{0}
c) Die Nenner sind gleich, also kann man gleich die Zähler subtrahieren.
Ergebnis: $\frac{1}{x+1}$
D=Q\{-1}
d) Gleiche Nenner, also Zähler addieren.
Ergebnis: $\frac{8}{2x+2}=\frac{4}{x+1}$
Im Ergebns kann man im Nenner 2 ausklammern und dann 2 kürzen.
D=Q\{-1}
e) Ergebnis: $\frac{2+x^2}{2x}$
D=Q\{0}
f) Ergebnis: $\frac{2+2x}{1+x}=2$
Hier kann man im Ergebnis im Zähler 2 ausklammern und dann beim Bruch 1+x kürzen.
D=Q\{-1}
g) Hauptnenner ist das Produkt der beiden Nenner x - 1 und x. Erweitere die beiden Brüche passend und fasse dann zusammen.
Ergebnis: $\frac{1}{x(x-1)}$
Vor dem Minuend steht ein Minuszeichen, dies bedeutet, wenn man die Zähler zusammenfasst x - (x-1), setze dazu den zweiten Zähler in Klammern! - und vereinfache dann.
D=Q\{0;1}
h) Ergebnis: $\frac{3x-6}{2x}$
D=Q\{0}
i) Ergebnis: $\frac{1+y^2}{y(1-y)}$
D=Q\{0;1}
j) Hier hast du 3 Brüche gegeben. Hauptnenner ist die höchste gemeinsame x-Potenz hier also x².
Ergebnis: $\frac{2x-1}{x^2}$
Hauptnenner ist x²,also erweitert man den 1. udn 3. Bruch jeweils mit x und der gemeinsame Zähler ist dann x-x²-(1-x²)+x, Klammern auflösen und zusammenfassen liefert 2x-1
D=Q\{0}
k) Den Zähler des 1. Bruches musst du ausmultiplizieren. Den Minuend 2x kann man als Bruch mit dem Nenner 0,5x schreiben, indem man den Bruch $\frac{2x}{1}$ mit 0,5x erweitert, also $\frac{2x}{1}=\frac{2x\cdot 0,5x}{0,5x}=\frac{x^2}{0,5x}=\frac{x}{0,5}$.
Ergebnis: $\frac{x+0,25}{0,5x}=\frac{4x+1}{2x}$, den letzten Bruch erhältst du in dem du mit 4 erweiterst.
Es ist (x+0,5)²=(x+0,5)(x+0,5), ausmultiplizieren liefert x²+x+0,25
D=Q\{0}
l) Für die Terme im Nenner gilt das Kommutativgesetz.
Ergebnis: $\frac{1}{x+1}$
D=Q\{-1}
m) Ergebnis: $\frac{2-x}{(1+x)(1-x)}$
D=Q\{-1;1}
n) Ergebnis: $\frac{-x}{(1+x)(1-x)}$
D=Q\{-1;1}
o) Ergebnis: $\frac{x^2+x}{x+1}=x$
D=Q\{-1}, für den zusammengefassten Term ist D = Q.
p) Ergebnis: $\frac{2x+7}{x+3}$ D=Q\{-3}

2.
Beim Dividieren schreibe zuerst die Mulitplikation mit dem Kehrbruch hin und vereinfache dann.
a) 1
D=Q\{0}, für den zusammengefassten Term ist D = Q.
b) $\frac{x^2}{4}$
D=Q\{0}, für den zusammengefassten Term ist D = Q.
c) Im Zähler des 2. Bruches kann man 5 ausklammern. Nach der Multiplikation mit dem Kehrbruch hat man in Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren 2 und x - 2, die man kürzen kann.
$\frac{2x-4}{5}$
Im Zähler steht der Faktor 4 im Nenner 10, also kann man den Bruch nach Kürzen mit dem Faktor x + 2 noch mit 2 kürzen.
D=Q\{0}, für den vereinfachten Term ist D = Q.
d) Das Minuszeichen vor dem Divisor kann man vor den Gesamtterm schreiben.
-x
D=Q\{0}, für den zusammengefassten Term ist D = Q.
e) Beachte: Hier werden 2 Brüche multipliziert!.
Im Zähler bei 1-x kann man - ausklammern und dann steht im Zähler auch x-1, wie im Nenner des 2. Bruches und das - schreibt man vor den Bruch.
-4x⁴
Beachte, dass 1-x = -(-1+x) = -(x-1) ist.
D=Q\{0;1}, für den zusammengefassten Term ist D = Q.
f) 1
D=Q.
g) Fasse zuerst die zwei Brüche in der Klammer zusammen. $\frac{2-x^2}{2x}$ und dann werden zwei Brüche multipliziert.
2-x²
D=Q\{0}, für den zusammengefassten Term ist D = Q.
h) Fasse auch hier zuerst die zwei Brüche in der Klammer zusammen und dividiere dann.
$\frac{2}{x}$
D=Q\{0}
i) Klammer berechnen $\frac{x-2(x+1)}{x(x-1)}$ und dann dividieren.
$(\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x}):(x+2)=\frac{x-2(x+1)}{x(x-1)}:(x+2)=\frac{-x-2}{x(x+1)}\cdot\frac{1}{x+2}=\frac{-(x+2)}{x(x+1)\cdot (x+2)}=\frac{-1}{x(x+1)}$
Im Zähler steht -x-2 = -(x+2) und x+2 kann man kürzen! Gut, dass man den Zähler nicht ausmultipliziert hat, da sieht man den Faktor x+2 zum Kürzen.
D=Q\{-2;-1;0}, für den zusammengefassten Term ist D = Q\{-1;0}.
j) Auch hier zuerst die Klammer berechnen und ann multiplizieren.
$(\frac{x-2}{x}-\frac{x}{x-2})\cdot 0,25x=\frac{(x-2)^2-x^2}{x(x-2)} \cdot 0,25x = \frac{x^2-4x+4-x^2}{x(x-2)} \cdot 0,25x = \frac{4(-x+1)\cdot 0,25x}{x(x-2)}=\frac{-x+1}{x-2}$
D=Q\{0;2}, für den zusammengefassten Term ist D = Q\{2}.

3.
a). Die Terme von T3 und T4 werden multipliziert, also (Zähler mal Zähler) durch (Nenner mal Nenner)
$T_3 (a) \cdot T_4 (a)= \frac{a+1}{a} \cdot \frac{a^2}{(1+a)(1-a)} = \frac{(a+1)a^2}{a(1+a)(1-a)}$
In Zähler und Nenner kommen die Faktoren a und (a+1) vor, also kann man sie kürzen. Es bleibt $\frac{a}{1-a}$.
b) Term T2 wird durch Term T4 geteilt, also mache zuerst den Kehrbruch von T4 und multipliziere dann.
$T_2 (a) : T_4 (a)= \frac{a}{a-1} : \frac{a^2}{(1+a)(1-a)} = \frac{a}{a-1} \cdot \frac{(1+a)(1-a)}{a^2} = \frac{a(1+a)(1-a)}{(a-1)a^2} = \frac{a(1+a)[-(a-1)]}{(a-1)a^2}$ - Buchstabe E
In Zähler und Nenner hat man a und (a-1) als gemeinsame Faktoren, die man kürzen kann und es bleibt $\frac{-(1+a)}{a}=-\frac{1+a}{a}$ - Buchstabe E
c) Der Term T5 wird vom Term T3 subtrahiert. Man muss also den gemeinsamen Nenner finden. T3 und T5 haben beide den Nenner a, also nehmen wir den gleich. $T_3(a)-T_5(a)=\frac{a+1}{a} - \frac{1}{a} = \frac{a+1-1}{a} = \frac{a}{a}=1$ - Buchstabe O
d) Der Term T4 wird zum Term T2 addiert. Man muss also den gemeinsamen Nenner finden. Der Nenner von T2 ist (a-1), der Nenner von T4 ist (1-a)(1+a). Es ist a-1 = -(1-a). Es ist also $T_2(a)=\frac{a}{a-1}=-\frac{a}{1-a}$. Also kommt in beiden Nennern der Faktor (1-a) vor. Der Hauptnenner ist also (1+a)(1-a). Nun muss man den T2 mit 1+a erweitern.
$T_2(a) + T_4(a)=\frac{a}{a-1} + \frac{a^2}{(1+a)(1-a)}= \frac{-a}{1-a} + \frac{a^2}{(1+a)(1-a)} = \frac{-a(1+a)}{(1+a)(1-a)} + \frac{a^2}{(1+a)(1-a)}=$ $\frac{-a(1+a)+a^2}{(1+a)(1-a)}=\frac{-a-a^2+a^2}{(1+a)(1-a)}=\frac{-a}{1-a^2}=\frac{-a}{-(a^2-1)}=\frac{a}{a^2-1}$ - Buchstabe T
e) Der Term T1 wird durch den Term T3 dividiert. Bilde zuerst den Kehrbruch von T3 und multipliziere dann die zwei Terme.
$T_1(a):T_3(a) = (a+1):\frac{a+1}{a}=(a+1) \cdot \frac{a}{a+1}=\frac{(a+1)a}{a+1}=a$ - Buchstabe R
f) Vom Quotienten der Terme T1 und T3 wird a subtrahiert. Den Quotienten T1:T3 hat man gerade ausgerechnet. Das Ergebnis war a. Subtrahiert man a von a, dann ergibt sich 0. - Buchstabe N
g) Der Term T1 wird mit T2 multipliziert und das Produkt durch T3 dividiert.
$T_1(a) \cdot T_2(a) : T_2(a)=(a+1) \cdot \frac{a}{a-1} : \frac{a+1}{a} = (a+1) \cdot \frac{a}{a-1} \cdot \frac{a}{a+1} =\frac{(a+1)a\cdot a}{(a-1)(a+1)}$

$=\frac{a^2(a+1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{a^2}{a-1}$ - Buchstabe H

  Aufgabe 5

Bearbeite auf der Seite von Mathegym die Arbeitsaufträge
1. Bruchrechnen 2
2. Bruchrechnen 3

Das waren jetzt Aufgaben nur zum Einüben und Lernen wie man es richtig macht. Nun kommen ein paar Anwendungsaufgaben.

  Aufgabe 6

Bestimme einen Term für den Flächeninhalt der dunkel getönten Figur und berechne den Anteil am Flächeninhalt der Gesamtfigur:
a)

b)

c)

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a) Die schraffierte Fläche ist ein Trapezfläche. Die Trapezformel lautet $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$. Mit $a=\frac{x}{2} cm, c = (\frac{x}{2}-\frac{2}{x})cm, h= x \, cm$ ergibt sich $A=\frac{\frac{x}{2} cm + \frac{x}{2} cm -\frac{2}{x}cm}{2} \cdot x\, cm= \frac{x\, cm - \frac{2}{x})cm}{2} \cdot x \, cm=\frac{(x^2-2)cm}{2x} \cdot x\, cm=\frac{x^2-2}{2} cm^2 = (\frac{x^2}{2} - 1)cm^2$
Die Gesamtfläche ist eine Rechtsfläche mit $A_R = \frac{x^2}{2}cm^2$. Der Anteil der schraffierten Fläche an der Rechtecksfläche ist dann $\frac{A}{A_R} = \frac{(\frac{x^2}{2} - 1)cm^2 }{\frac{x^2}{2}cm^2}= \frac{x^2-2}{x^2}$ (den Bruch mit 2 erweitern) oder anders geschrieben $1-\frac{2}{x^2}$

b) Die schraffierte Fläche ist eine Dreiecksfläche. Die Formel für die Dreiecksfläche ist $A=\frac{1}{2} g h$ . Mit $g = \frac{6}{x} cm$ und $h = x \, cm$ ergibt sich $A= \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{x} cm \cdot h x \, cm = 3 cm^2$
Der Anteil an der Quadratfläche $A_Q=x^2\, cm^2$ ist dann $\frac{A}{A_Q}=\frac{3cm^2}{x^2\, cm^2}= \frac{3}{x^2}$.

c) Die schraffierte Fläche ist eine Dreiecksfläche. Es ist $A = \frac{1}{2} \cdot 2x \, cm \cdot \frac{9}{x}cm = 9 cm^2$

Der Anteil an der Trapezfläche $A_T=\frac{3x\, cm}{2}\cdot \frac{9}{x}cm=13,5 cm^2$ ist $\frac{A}{A_T}=\frac{9cm^2}{13,5cm^2}=\frac{2}{3}$

Und nun noch ein paar Aufgaben zum Umformen gebrochen-rationaler Terme:

  Aufgabe 7

a) Erkläre (1) $\frac{x+6}{x}=a+\frac{6}{x}$ und (2) $\frac{x}{x+3}=\frac{x+3-3}{x+3}=frac{(x+3)-3}{x+3}=1-\frac{3}{x+3}$ .
b) Schreibe die vier Bruchterme $\frac{x+4}{4}, \frac{x^2-1}{x}, \frac{x+2}{x+1}, \frac{x+1}{x+2}$ als Summe bzw. Differenz.
c) Finde heraus, welche der 12 Terme äquivalent sind.
$(1) x+\frac{1}{x^2}, (2) x^2+\frac{1}{x}, (3) \frac{x}{x+1}, (4) \frac{x+2}{x+1}, (5) 1+\frac{1}{x}, (6) 1-\frac{1}{x+1}$
$(7) \frac{x^2+1}{x}, (8) x+\frac{1}{x}, (9) \frac{x^3+1}{x^2}, (10) \frac{x^3+1}{x}, (11) \frac{x^2+x}{(x+1)^2}, (12) \frac{x^4+x^2}{x^3}$

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a) Man kann einen Bruch auch als Divisionsaufgabe schreiben. Es ist $\frac{x+6}{x}=(x+6):x$ und nach dem Distributivgesetz ist $(x+6):x=x:x + 6:x = 1+\frac{6}{x}$.
Bei der Aufgabe (2) addiert man im Zähler mit 3 - 3 eine 0 und zerlegt dann den Bruch auch wieder wie bei (1) indem man mit dem Distrubitivgesetz dividiert. [(x+3) - 3]:(x+3) = (x+3):(x+3) - 3:(x+3). Divisionen kann man auch wieder als Bruch schreiben.

b) $\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}$
$\frac{x^2-1}{x}=\frac{x^2}{x}-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}$
$\frac{x+2}{x+1}=\frac{x+1+1}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$
$\frac{x+1}{x+2}=\frac{x+2-1}{x+2}=1-\frac{1}{x+2}$

Dies ist nur die Umkehrung der Addition zweier gleichnamiger Brüche. Zwei gleichnamige Brüche addiert man $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ .
Liest man die letze Gleichung von rechts nach links, dann steht da $\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$, was man hier angewendet hat.

c) Folgende Terme sind äquivalent:
(1) und (9),
(2) und (10),
(3), (6) und (11),
(4) und (5),

(7) und (8) und (12)

  Aufgabe 8

Hier noch ein paar Klapptest zum Distributivgesetz (Ausklammern und Ausmultiplizieren):
Drucke dir den Klapptest aus, falte ihn entlang der Linie, rechne auf der linken Seite und vergleiche deine Lösung mit der angegebenen Lösung auf der umgeklappten rechten Seite.
Ausmultiplzieren: Klapptest 1, Klapptest 2, Klapptest 3
Ausklammern: Klapptest 1
Online-Übungen zum Ausklammern: Übung 1, Übung 2