M8 Formeln auflösen

Im Mathematikunterricht hast du schon Flächenformeln kennengelernt. Die Flächenformel für den Flächeninhalt
- eines Dreiecks mit Grundseite g und Höhe h ist $A_D = \frac{1}{2} gh$
- eines Quadrats mit Seitenlänge a ist $A_Q = a^2$
- eines Rechtecks mit Länge l und Breite b ist $A_R = lb$
- eines Trapezes ist $A_T = \frac{a+c}{2}h$

Du kennst Formeln aber auch aus der Physik oder Chemie. In Physik hast du etwa kennengelernt:
$G = mg, v=\frac{s}{t}, U = RI, E_B = \frac{1}{2}mv^2, ...$

Merke

In Formeln sind Zahlen und Buchstaben enthalten. Die Buchstaben stehen für Größen eines messbaren Objekts und bestehen im konkreten Fall aus Zahl und Einheit.
Zum Beispiel: A = 4 m², hier ist A die Größe Fläche und besteht aus dem Zahlenwert 4 und der Einheit m².

Bei Aufgaben in der Physik hat man oft eine Gleichung mit den Buchstaben der vorkommenden Größen. Man löst diese Gleichung allgemein nach dem Buchstaben der gesuchten Größe auf und setzt dann erst die Zahlen mit ihren Einheiten ein. Wichtig ist dabei, dass man die Formel richtig nach der gesuchten Größe auflöst.

Beispiele:
1. An einem Stromkreis liegt die Spannung U = 1,5 V und es fließt ein Strom der Stromstärke I = 0,2 A. Wie groß ist der Widerstand R im Stromkreis?
Du kennst die Formel $U = R\cdot I$ . Löse die Formal nach R auf. Es ist $R=\frac{U}{I}$ und setze dann die gegebenen Werte ein. $R=\frac{U}{I}=\frac{1,5 V}{0,2 A}=7,5\frac{V}{A}=7,5 \Omega$

2. Ein Körper hat die Gewichtskraft G=10N. Welche Masse m hat er?
Du kennst den Zusammenhang zwischen Masse und Gewichtskraft $G = m \cdot g$ . Dabei ist g der Ortsfaktor oder Erdbeschleunigung. Du kennst seinen Wert als $g=9,8\frac{N}{kg}= 9,8\frac{m}{s^2}$ . Du löst diese Gleichung nach m auf $m = \frac{G}{g}$ und setzt die Werte ein. $m = \frac{G}{g}=\frac{10N}{9,8\frac{N}{kg}}=1,02 kg$ .

Aufgabe 1

1. Was besagen die Formeln?
a) $\quad \rho=\frac{m}{V} \qquad b) \quad v = \frac{s}{t} \qquad c) \quad g = \frac{G}{m} \qquad d) \quad R = \frac{U}{I} \qquad e) \quad D = \frac{F}{s} \qquad f) \quad P=\frac{W}{G}$
Löse jede Formel nach jeder der drei vorkommenden Größen auf.

2. Gib zu jeder Größe zwei Einheiten an, in denen sie gemessen werden.
a) Dichte
b) Geschwindigkeit
c) Federhärte
d) Druck

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1.
a) Die Dichte $\rho = \frac{m}{V}$ ist der Quotient aus Masse m und Volumen V eines Körpers. Es ist $m = \rho \cdot V, V =\frac{m}{\rho}$ .
b) Die Geschwindigkeit $v = \frac{s}{t}$ ist der Quotient aus dem in der Zeit t zurückgelegten Weg s und der Zeit t. Es ist $s = v \cdot t, t = \frac{s}{v}$
c) Der Ortsfaktor g ist der Proportionalitätsfaktor zum Zusammenhang Gewichtskraft G und Masse m. Es ist $G=m\cdot g, m = \frac{G}{g}$
d) Der Widerstand R ist der Quotient aus anliegender Spannung U und Stromstärke I. Es ist $U = R \cdot I, I = \frac{U}{R}$
e) Die Federkonstante D ist der Quotient aus wirkender Kraft F und Verlängerung s der Feder. Es ist $F = D \cdot s, s = \frac{F}{D}$
f) Der Prozentsatz P ist der Quotient aus Anteil W und Gesamtzahl G. Es ist $W = P\cdot G, G = \frac{W}{P}$

2.
Einheit der Dichte: $1 \frac{kg}{m^3}$ oder $1 \frac{g}{cm^3}$
Einheit der Geschwindigkeit: $1 \frac{m}{s}$ oder $1 \frac{km}{h}$
Einheit der Federhärte: $1 \frac{N}{m}$ oder $1 \frac{N}{cm}$

Einheit des Drucks (Druck p ist der Quotient aus der Kraft F und Fläche A, auf die die Kraft wirkt.): $1 \frac{N}{m^2}=1 Pa$ oder $1\frac{N}{cm^2}$ . Es ist $10\frac{N}{cm^2}= 1 bar$ .

Aufgabe 2

Löse die folgenden Gleichungen und Formeln jeweils nach jedem Buchstaben auf.

$a)\qquad a - b = c + d\cdot e$
$b) \qquad a(b-c) = d(a+e)$
$c) \qquad u = 2(a+b)$
$d) \qquad A = a \cdot b$
$e) \qquad A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$f) \qquad A = \frac{a+b}{2} \cdot h$
$g) \qquad V = a \cdot b \cdot c$
$h) \qquad U = 2 \pi \cdot r$
$i) \qquad U = R\cdot I$
$k) \qquad E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$
$l) \qquad v = v_0 - g \cdot t$
$m) \qquad D = \frac{F}{s}$
$n) \qquad \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}$

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a) $a = b + c + d\cdot e,$ $b = a - c - d\cdot e,$ $c = a-b - d\cdot e,$ $d = \frac{a-b-c}{e},$ $e = \frac{a-b-c}{d}$
b) $a = \frac{de}{b-c-d},$ $b = \frac{ad+de}{a} + c,$ $c = b- \frac{ad+de}{a},$ $d = \frac{ab-ac}{a+e},$ $e = \frac{ab-ac}{d}-a$
c) $a = \frac{u}{2}-b,$ $b = \frac{u}{2}-a$
d) $a = \frac{A}{b},$ $b = \frac{A}{a}$
e) $g = \frac{2A}{h},$ $h = \frac{2A}{g}$
f) $a = \frac{2A}{h}-b,$ $b = \frac{2A}{h}-a,$
g) $a = \frac{V}{b\cdot c},$ $b = \frac{V}{a\cdot c},$ $c = \frac{V}{a\cdot b},$
h) $r = \frac{U}{2\cdot \pi}$
i) $R = \frac{U}{I},$ $I = \frac{U}{R}$
k) $m = \frac{2E}{v^2},$ $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$
l) $v_0 = v + g\cdot t,$ $g = \frac{v_0-v}{t},$ $t = \frac{v-v_0}{g}$
m) $F = D \cdot s,$ $s = \frac{F}{D}$
n) $f =\frac{bg}{b+g}, g = \frac{bf}{b-f}, b = \frac{fg}{g-f}$
Wie kommt man auf diese Lösungen?
Die Linsengleichung $\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}$ besteht aus drei Brüchen. Will man nach f auflösen, dann muss man zuerst die zwei Brüche der rechten Seite zusammenfassen, also auf der rechten Seite gemeinsamen Nenner finden, erweitern, addieren. $\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}=\frac{g}{bg} +\frac{b}{bg}=\frac{g+b}{bg}$ Nun hat man eine Gleichung mit zwei Brüchen. Bildet man nun auf beiden Seiten jeweils den Kehrwert, dann erhält man die Lösung $f =\frac{bg}{b+g}$ .
Für b und g bringt man den anderen Bruch auf die linke Seite und verfährt dann analog. Also $\frac{1}{f} - \frac{1}{b} = \frac{1}{g}$ --> $\frac{1}{g} = \frac{b}{bf} - \frac{f}{bf} = \frac{b-f}{bf}$ und noch die Kehrwerte bilden.

Aufgabe 3

1. Eine elastische Schraubenfeder mit der Federhärte $D=30\frac{N}{cm}$ wird durch eine Kraft F = 7,5 N gedehnt. Um wie viel cm wird sie dabei länger?

2. Franzis Mutter fährt von Rothenburg nach Neustadt an der Aisch. Die beiden Orte sind 45 km voneinander entfernt. Auf der Hinfahrt fährt sie mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $75\frac{km}{h}$ , auf der Rückfahrt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $60\frac{km}{h}$ . Ermittle die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte 90 km lange Fahrt. Zeige, dass die Lösung nicht das arithmetische Mittel der beiden Geschwindigkeiten ergibt.

3. a) Löse die Linsengleichung $\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}$ nach f auf. Bei einer Linse ist f die Brennweite, g, die Gegenstandsweite (Abstand des Gegenstandes von der Linse) und b die Bildweite (Abstand des Bildes von der Linse). Berechne für b = 8,0 cm und g = 12 cm die Brennweite f.
b) Löse die Gleichung $\frac{B}{G}=\frac{b}{g}$ nach G auf. Auch bei dieser Gleichung handelt es sich um eine Beziehung bei Linsen. B ist die Bildgröße und G ist die Gegenstandsgröße. Berechne für b = 8,0 cm, g = 12 cm und B = 2,4 cm die Gegenstandsweite G.

4. Löse die Formel für die Trapezfläche $A_{Trapez}=\frac{a+c}{2}\cdot h$ nach c aus. Berechne c für a = 18 cm, h = 10 cm und A_Trapez=150 cm² .

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1.
$D = \frac{F}{s}$ löst man nach s auf. Es ist $s=\frac{F}{D}=\frac{7,5N}{30\frac{N}{m}}=0,25 m$

2.
$v = \frac{s}{t}$ nach t aufgelöst ist $t = \frac{s}{v}$ .
Zeit t₁ für den Hinweg $t_1 = \frac{45km}{75\frac{km}{h}}=0,6h$
Zeit t₂ für den Rückweg $t_2 = \frac{45km}{60\frac{km}{h}}=0,75h$
Gesamtzeit t = 0,6h + 0,75h = 1,35h und Durchschnittsgeschwindigkeit $v_D=\frac{90km}{1,35h}=66\frac{2}{3}\frac{km}{h}$ .
Arithmetisches Mittel $\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{75\frac{km}{h}+60\frac{km}{h}}{2}=67,5\frac{km}{h} \neq 66\frac{2}{3}\frac{km}{h}$

3.
a) Die Linsengleichung nach f aufgelöst ergibt $f =\frac{bg}{b+g}$ (siehe Aufgabe 2). Es ist $f =\frac{8,0cm \cdot 12cm}{8cm +12 cm}=4,8cm$
b) Die Gleichung nach G aufgelöst ergibt $G = \frac{Bg}{b}$ und $G = \frac{2,4cm \cdot 12 cm}{8cm}=3,6cm$ .