M9 Parabelgleichung ablesen und Parabel zeichnen

Ausgangspunkt unserer Überlegungen ist die Normalparabel, der Graph der Funktion $f:x\rightarrow x^2$ mit den eingezeichneten Punkten.

Für die Punkte hat man folgende Tabelle:

x	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2
y	4	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25	4

Zum Zeichnen oder Ablesen geht man bei einer Parabel mit a = 1, also y = x^2 + bx + c stets vom Scheitel S, dessen Koordinaten (x_S;y_S) wir kennen, aus.
a = 1 bedeutet, dass die Parabel zur Normalparabel kongruent ist. Sie ist also nur um x_S in x-Richtung und y_S in y-Richtung verschoben.

  Aufgabe 1

Stelle in dem Applet a = 1, x_S = 0 und y_S = 0 ein. Das ist die Normalparabel. Ändere nun die Einstellungen von x_S und y_S.

Verifiziere, dass die verschobenen Parabeln kongruent zur Normalparabel y = x² sind.

Man kann die Parabel, die kongruent zur Normalparabel ist (a = 1) und den Scheitel S(x_S;y_S) hat immer wie eine Normalparabel zeichnen.

Gehe von S aus -0.5 nach links bzw. 0,5 nach rechts und von dort jeweils 0,25 nach oben.

Gehe von S aus -1 nach links bzw. 1 nach rechts und von dort jeweils 1 nach oben.

Gehe von S aus -1,5 nach links bzw. 1,5 nach rechts und von dort aus jeweils 2,25 nach oben

Gehe von S aus -2 nach links bzw. 2 nach rechts und von dort aus jeweils 4 nach oben.

Umgekehrt kann man von einer gezeichneten Parabel die Parabelgleichung bestimmen.
Bei einer Normalparabel bestimme die Koordinaten x_S und y_S des Scheitels und setze sie in die Scheitelform (x - x_S)² + y_S ein. Vereinfache dann den Term.

  Aufgabe 2

Wieso ist für den folgenden Graph a = 1?

Lies aus der Graphik die Scheitelkoordinaten ab und stelle die Parabelgleichung auf.

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Geht man von S aus -1 nach links oder 1 nach rechts und jeweils von dort senkrecht nach oben, dann muss man 1 nach oben gehen, damit man auf die Parabel kommt.

x_S=1, y_S = -1, also y = (x - 1)² -1 = x² - 2x

Was ist, wenn a ≠ 1 ist?

  Aufgabe 3

In folgenden Applet ist die Normalparabel y=x² (grün) und die Parabel y = ax² (rot) gegeben. Mit den Schieberegler kannst du den Wert von a variieren.
Bei der Normalparabel sind die Punkte (-1;1) und (1;1) rot, bei der Parabel y = ax² sind die Punkte (-1,a·(-1)²) und (1;a·1²) ebenfalls rot.
1. Gib die Punkte auf der Parabel y =ax² vereinfacht an.
2. Variiere den Schieberegler für a und schaue welche y-Koordinaten die roten Punkte auf der Parabel y = ax² haben.

3. Bei der Normalparabel kommt man zu den roten Punkten, indem man vom Scheitel 1 nach links bzw. nach rechts geht und dann 1 nach oben. Wie kommt man bei der Parabel y = ax² zu den roten Punkten?

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1. Die roten Punkte haben die Koordinaten (-1;a) und (1;a).
2. Die y-Koordinaten der roten Punkte auf der Parabel y = ax² sind jeweils a.

3. Man kommt bei der Parabel y = ax² zu den roten Punkten, indem man von ihrem Scheitel aus 1 nach links bzw. nach rechts geht und dann a in y-Richtung.

Stelle dazu in dem Applet a = 1, x_S = 0 und y_S = 0 ein. Da hat man wieder die Normalparabel. In dem Applet sind die Punkte (-1;1) und (1;1) eingezeichnet. Wenn man nun den Schieberegler für a betätigt, dann sieht man, dass aus den Punkten (-1;1) und (1;1) die Punkte (-1;a) und (1;a) werden. Die y-Koordinate wird also jeweils mit a multipliziert.

  Aufgabe 4

Stelle den Schieberegler für a auf
a) a = 2
b) a = 3
c) a = -1
d) a = -2
und lies die y-Koordinaten der Punkte P(-1,y_P)und Q(1;y_!) ab.

Was passiert mit den y-Koordinaten der Punkte
e) A(-1,5;y_A) und B(1,5;y_B)? f) C(-2;y_U) und D(2;y_V)?

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a) y_P = 2, y_Q = 2
b) y_P = 3, y_Q = 3
c) y_P = -1, y_Q = -1
d) y_P = -2, y_Q = -2

Die y-Koordinaten der Punkte U und V werden auch jeweils mit a mutipliziert.
e) A hat dann die y-Koordinate a·2,25 und B die y-Koordinate a·2,25.

f) C hat dann die y-Koordinate a·4 und D die y-Koordinage a·4.

Im folgenden Applet kannst du die Werte für x_S, y_S und a einstellen und am Graphen den Funktionsterm ablesen. Am Graph ist die Scheitelform angegeben, im Fenster eventuell der "normale" Term.

Merke Für folgende Überlegungen steht das nachfolgende Applet zur Verfügung. Aus dem Graphen kann man oftmals die Parabelgleichung ablesen. Vorgehen: 1. Scheitel ablesen --> xS und yS für die Scheitelform. 2. Von S aus waagrecht 1 nach rechts oder 1 nach links und dann senkrecht bis zur Parabel (türkis) --> die Länge der senkrechten Strecke ist a (orange). 3. a, xS und yS in die Scheitelform $f(x) = a(x-x_S)^2+y_S$ einsetzen. 4. In der Scheitelform die Klammern auflösen und zusammenfassen. Umgekehrt kann man für einen quadratischen Term $ax^2+bx+c$ genauso gut die Parabel zeichnen. Vorgehen: 1. den Term $ax^2+bx+c$ in die Scheitelform umwandeln $f(x) = a(x-x_S)^2+y_S$ und $x_S, y_S, a$ ablesen. 2. Im Koordinatensystem S einzeichnen. 3. Von S aus waagrecht 1 nach rechts bzw. 1 nach links gehen (türkis) und dann senkrecht dazu a in y-Richtung antragen (orange). Damit hat man zwei Punkte der Parabel. 4. Wer es genauer haben will, geht von S aus 0,5 waagrecht nach rechts und links und $\frac{a}{4}$ in y-Richtung. --> 2 weitere Punkte der Parabel. Von S aus waagrecht 2 nach rechts und 2 nach links und um 4a in y-Richtung. --> 2 weitere Punkte. 5. Durch die 7 Punkte eine Parabel zeichnen.

  Aufgabe 5

Probiere beide Wege, die in "Merke" angeführt sind in dem Applet aus!

  Aufgabe 6

Bearbeite die beiden Arbeitsblätter: Arbeitsblatt 1, Arbeitsblatt 2

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Arbeitsblatt 1:
(1) Scheitel S(-2;-3) und a = 2 (die Parabel ist nach oben geöffnet, also ist a positiv; man geht von S aus 1 nach rechts und 2 nach oben), also y = 2(x + 2)² - 3 = 2x² + 8x + 5
(2) Scheitel S(1;-1) und a = 0,25 (bei der Normalparabel geht man 2 nach rechts und 4 nach oben, hier geht man von S aus 2 nach rechts und 1 nach oben, also 1 ist 1/4 von 4), also y = 0,25(x - 1)² - 1 = 0,25x² - 0,5x - 0,75
(3) Scheitel S(1;-2) und a = 0,5 (bei der Normalparabel geht man 1 nach rechts und 1 nach oben, hier geht man von S aus 1 nach rechts und 0,5 nach oben, also 0,5 ist 1/2 von 1), also y = 0,5(x - 1)² - 2 = 0,5x² - x - 1,5
(4) Scheitel S(-1;3) und a = -0,25 (de Parabel ist nach unten geöffnet, also ist a negativ; bei der Normalparabel geht man 2 nach rechts und 4 nach oben, hier geht man von S aus 2 nach rechts und 1 nach unten, also -1 ist -1/4 von 4), also y = -0,25(x + 1)² +3 = -0,25x² - 0,5x + 2,75
(5) Scheitel S(-1;2) und a = -0,5 (Parabel ist nach unten geöffnet, also ist a negativ; bei der Normalparabel geht man 2 nach rechts und 4 nach oben, hier geht man von S aus 2 nach rechts und 2 nach unten, also -2 ist -1/2 von 4), also y = -0,5(x + 1)² + 2 = -0,5x² - x + 1,5
(6) Scheitel S(2;4) und a = -1,5 (Parabel ist nach unten geöffnet, also ist a negativ; bei der Normalparabel geht man 1 nach rechts und 1 nach oben, hier geht man von S aus 1 nach rechts und 1,5 nach unten, also a=-1,5), also y = -1,5(x - 2)² + 4 = -1,5x² + 6x - 2

Die zweite Aufgabe auf dem Blatt kannst du selbst mit GeoGebra kontrollieren.

Aufgabenblatt 2:
1. Auf diesem Blatt sind nur Normalparabeln, also a = 1.
a) S(2;-9)
b) S(-1,5;-0,75)
c) S(-0,6;-2,86)
d) S(0,5;-1,5)
e) S(1,5;-3,25)
f) S(-2;-6,5)

2. Alle Parabeln sind nach oben geöffnet, also ist a = 1.
(1) S(-2;0,5), y = (x + 2)² + 0,5 = x² + 4x + 4,5
(2) S(-0,5;-1,5), y = (x + 0,5)² - 1,5 = x² - x - 1,75
(3) S(1;-2), y = (x - 1)² - 2 = x² - 2x - 3
(4) S(0,5;1,5), y = (x - 0,5)² + 1,5 = x² - x + 1,25
(5) S(2,5;1,5), y = (x - 2,5)² + 0,5 = x² - 5x -5,75

3. Alle Parabeln sind nach unten geöffnet, also ist a = -1.
blau: S(-2;0), y = -(x + 2)² + 0 = -x² - 4x - 4
rot: S(0;0); y = -x²
grün: S(0;2), y = -x² + 2

lila: S(1;4), y = -(x - 1)² + 4 = -x² + 2x + 3