M9 Potenzen mit rationalen Exponenten

Merke: Für die allgemeine Wurzel $\sqrt[n]{a}$ kann man auch eine Potenz $a^{\frac{1}{n}}$ schreiben. Es ist für a $\in R_0^+$, n $\in$ N \ {1} $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ Weiter ist $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ Insbesondere ist $\sqrt[n]{a^n}=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a$

Beispiele:

$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$
$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt [3]{64}=4$
$512^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{512} = 2$
$625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5$
$625^{-\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625^{-1}} = \sqrt[4]{\frac{1}{625}}=\frac{1}{5}$
$256^{\frac{3}{8}} = \sqrt[8]{256^3} = \sqrt[8]{(2^8)^3}=\sqrt[8]{2^{24}}=\sqrt[8]{(2^3)^8}=2^3=8$
$256^{0,375}=256^{\frac{3}{8}} =8$

Merke Für $a^{\frac{m}{n}}$ hat man zwei mögliche Wurzelschreibweisen: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ oder $a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt [n]{a})^m$.

Merke Im Exponent kann nun ein Bruch stehen. Auch dann gelten die bisher bekannten Potenzgesetze: $a^{\frac{m}{n}}\cdot a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}$ $a^{\frac{m}{n}}: a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}$ $a^{\frac{m}{n}}\cdot b^{\frac{m}{n}}=(ab)^{\frac{m}{n}}$ $a^{\frac{m}{n}}: b^{\frac{m}{n}}=(a:b)^{\frac{m}{n}}$ $\left ( a^{\frac{m}{n}} \right ) ^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}$

Sind r und s rationale Zahlen, dann schreibt es sich einfacher $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$ $a^r : a^s = a^{r-s}$ $a^r \cdot b^r = (ab)^r$ $a^r : b^r = (a:b)^r$ $(a^r)^s = a^{r\cdot s}$

  Aufgabe 1

Schaue dir die Beispiele im Buch auf S. 114 in der unteren Hälfte und auf S. 115 an.

Beispiele:

Vereinfache so weit als möglich:
$\sqrt 5 \cdot \sqrt [3]{5}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=5^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{5^5}\approx 3,82$
$6^{\frac{1}{2}}: 6^{\frac{1}{3}}=6^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=6^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{6}\approx 1,35$
$4^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$
$28^{\frac{1}{3}}: 3,5^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$
$7^{2,25}: 7^{1,25}=7^{2,25-1,25}=7^1 =7$
$\sqrt 5 \cdot \sqrt [3]{25}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=5^{\frac{7}{6}}=\sqrt[6]{5^7}=5\cdot\sqrt[6]{5}\approx 6,54$

Radiziere so weit als möglich (teilweises Radizieren)
$\sqrt [5]{3072} = \sqrt [5]{3\cdot 1024}=\sqrt [5]{3\cdot 4^5}=4\cdot \sqrt[5]{3}\approx4,98$
$\sqrt[6]{640}=\sqrt [6]{10\cdot 2^6}=2\sqrt [6]{10}\approx 2,94$

  Aufgabe 2

Schaue dir dieses Video an und mache die Rechnungen mit.

Merke Noch ein paar Tipps bevor es ans Rechnen geht! Wenn ein Minuszeichen im Exponenten steht, dann beachte, dass $a^{-r}=\left ( \frac{1}{a} \right )^r$ ist. Bei der Einführung der rationalen Exponenten ist $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt [n]{a^m}=(\sqrt [n] {a})^m$. Hier sieht man, dass der Nenner n des Exponenten für die Wurzel zuständig ist und der Zähler m potenziert. Man hat auch zwei Möglichkeiten $a^{\frac{m}{n}}$ zu berechnen: 1. $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt [n]{a^m}$, d.h. es wird zuerst die Basis mit m potenziert und dann die m-te Wurzel gezogen. 2. $a^{\frac{m}{n}} =(\sqrt [n] {a})^m$, d.h. man zieht zuerst aus der Basis die n-te Wurzel und potenziert dann. Am Beispiel $81^{\frac{3}{4}}$ sieht man, dass oft der zweite Weg der günstigere ist: 1. $81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{531441} = 27$ Hier hilft nur noch der Taschenrechner, das ist im Kopf nicht machbar! 2. $81^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$ Hier blieben die Zahlen klein und überschaubar. Wenn der Term z.B. $79^{\frac{3}{4}}$ ist, dann weiß man, dass 79 eine Primzahl ist und es ist keine Wurzel möglich. Dann lässt man den Term auch gleich als Ergebnis $79^{\frac{3}{4}}$ stehen. Man kann auch noch die Schreibweise ändern $79^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{79^3} = \sqrt[4]{493039}$, das bringt aber nichts. Einzig einen Näherungswert mit dem Taschenrechner berechnen ist eventuell sinnvoll $79^{\frac{3}{4}} \approx 26,5$.

  Aufgabe 3

Berechne ohne Taschenrechner.
a) $81^{\frac{1}{4}}; 216^{\frac{1}{3}}; 25^{\frac{3}{2}}; 32^{\frac{3}{5}}; 0,25^2$

b) $10000^{-\frac{1}{4} }; 512^{\frac{2}{3} }; 4^{-2,5}; 1024^{1,1}; 343^{\frac{2}{3}}$

c) $0,25^{\frac{3}{2}}; 0,008^{-\frac{2}{3}}; \left ( \frac{1}{9}\right )^{\frac{3}{2}}; \left ( -\frac{1}{27} \right )^{\frac{2}{3}}; 0,01^3$

d) $-\left ( \frac{27}{64}\right) ^{\frac{1}{3}}; \left ( \frac{27}{64}\right) ^{-\frac{1}{3}}; \left ( \frac{36}{49}\right) ^{-0,5}; - \left ( \frac{81}{256}\right) ^{-0,25}; -64^{\frac{1}{3}}; \left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}$

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a) ) $81^{\frac{1}{4}} = \sqrt [4]{3^4}=3$
$216^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{6^3}=6$
$25^{\frac{3}{2}}=(\sqrt {25})^3=5^3=125$
$32^{\frac{3}{5}}=(\sqrt[5]{2^5})^3=2^3=8$
$0,25^2=0,0625$

b) Es ist oft sinnvoll zuerst die Wurzel zu ziehen (Nenner) und dann zu Potenzieren (Zähler).
$10000^{-\frac{1}{4}}=\left ( \frac{1}{10000} \right )^{\frac{1}{4}}=\sqrt [4]{\frac{1}{10^4}}=\frac{1}{10}$
$512^{\frac{2}{3}}=(\sqrt [3] {512}^2=8^2=64$
$4^{-2,5}=4^{-\frac{5}{2}}=\left( \frac{1}{4} \right )^{\frac{5}{2}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^5=\frac{1}{32}$
$1024^{1,1}=(2^10)^{\frac{11}{10}}=2^{11}=2048$
$343^{\frac{2}{3}}=(7^3)^{\frac{2}{3}}=7^2=49$

c) Auch hier zuerst (mit den Nenner) radizieren und dann (mit dem Zähler) potenzieren.
$0,25^{\frac{3}{2}}=0,5^3=0,125$
$0,008^{-\frac{2}{3}}=0,2^{-2}=(\frac{1}{5})^{-2}=25$
$\left ( \frac{1}{9}\right )^{\frac{3}{2}}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2=\frac{1}{9}$
$\left ( -\frac{1}{27} \right )^{\frac{2}{3}}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2 = \frac{1}{9}$
$0,01^3=0,000001$

d) $-\left ( \frac{27}{64}\right) ^{\frac{1}{3}}=- \sqrt[3]{\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}$
$\left ( \frac{27}{64}\right) ^{-\frac{1}{3}}=\left ( \frac{64}{27}\right) ^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}$
$\left ( \frac{36}{49}\right) ^{-0,5}=\left ( \frac{49}{36}\right) ^{0,5}=\sqrt { \frac{49}{36}}=\frac{7}{6}$
$- \left ( \frac{81}{256}\right) ^{-0,25}= - \left ( \frac{256}{81}\right) ^{\frac{1}{4}}=-\sqrt[4]{\frac{256}{81}}=-\frac{4}{3}$
$-64^{\frac{1}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4$

$\left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}=\left ( -\frac{16}{625} \right )^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{ -\frac{16}{625}}$ kann man nicht vereinfachen, da bei einer 4. Wurzel (geraden Wurzel) der Radikand nicht negativ sein darf!

  Aufgabe 4

Buch S. 116 / 2, 3

Tipps: Dezimalzahlen in Brüche umwandeln!
Wenn möglich die Brüche im Exponenten kürzen! Es ist $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ und damit kann man vielleicht leichter weitermachen.

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116/2 a) $\sqrt 6; \sqrt[3]{12}; \sqrt [4]{8}; \sqrt [3]{0,0625};\sqrt [5] {5}; \sqrt 2; \sqrt {0,5}; 0,0625$

b) $0,5; 0,25; \sqrt 2; 125; \frac{1}{9}; 25; 1; 36$

c) $\sqrt [3] {a}; \sqrt [4] {b^3};\sqrt [4]{\frac{1}{c^3}}; \sqrt [5]{\frac{1}{d^2}}; \sqrt[5]{e^4}; \sqrt[5]{\frac{1}{f^{13}}}; \sqrt [4]{g}; \sqrt [5]{h^{36}}$

116/3 a) $2^{\frac{4}{5}}$
b) $2^{\frac{4}{5}}$
c) $0,2^{\frac{1}{3}}=5^{-\frac{1}{3}}$ - Die Basis soll eine natürliche Zahl sein!
d) $\left ( \frac{1}{40} \right)^{\frac{1}{12}}=40^{-\frac{1}{12}}$
Hier kann man das Ergebnis noch teilweise radizieren. Es ist $40 = 2^3 \cdot 5$, also $40^{-\frac{1}{12}}=(2^3 \cdot 5)^{-\frac{1}{12}}=2^{-\frac{3}{12}}\cdot 5^{-\frac{1}{12}}=2^{-\frac{1}{4}}\cdot 5^{-\frac{1}{12}}$
e) $2^{\frac{5}{4}}$

f) $3^{\frac{1}{2}}=3^{0,5}$

  Aufgabe 5

Teilweises Radizieren: Buch S. 116 / 6

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a) $54 = 2\cdot 27 = 2 \cdot 3^3$. Damit ist $\sqrt [3]{54}=\sqrt [3]{3^3\cdot 2}=3\sqrt [3]{2}$
b) $480 = 32\cdot 15 = 2^5 \cdot 15$. Damit ist $\sqrt [5]{480}=2\sqrt [5]{15}$
c) $320 = 64\cdot 5 = 2^6 \cdot 5$ Damit ist $\sqrt[3]{320}=\sqrt[3]{2^6\cdot 5}=2^2\cdot \sqrt[3]{5}=4\sqrt[3]{5}$
d) $1250 = 625\cdot 2=5^4 \cdot 2$. Damit ist $\sqrt [4]{1250}=\sqrt [4]{5^4\cdot 2}=5\sqrt[4]{2}$
e) $1083 = 3\cdot 361=3\cdot 19^2$. Damit ist $\sqrt {1083}=\sqrt {19^2\cdot 3}=19\sqrt 3$

f) $7776=32\cdot 243=2^5 \cdot 3^5$. Damit ist $\sqrt [4]{7776}=\sqrt [4]{2^5\cdot 3^5}=2\cdot3\cdot\sqrt[5]{2\cdot 3}=6\sqrt[4]{6}$

  Aufgabe 6

Und nun geht es zum Üben der Potenzgesetze: Buch S. 116 / 7

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a) $3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{3+2}{6}}=3^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{3^5}=\sqrt[6]{243}$;
$2^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{4}{5}}=2^{\frac{3-4}{5}}=2^{-\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{0,5}$
... = $125^{\frac{2}{3}}=5^2=25$
... = $a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}=a^{\frac{4}{12}}=a^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{a}$

b) $27^{\frac{5}{3}}:27^2 =27^{\frac{5}{3}-2}=27^{-\frac{1}{3}}=3^{-1}=\frac{1}{3}$
$81^{1,5}:81^{1,25}=81^{1,5-1,25}=81^{0,25}=81^{\frac{1}{4}}=\sqrt [4]{3^4}=3$
... = $16^{0,75-1,25}=16^{-0,5}=4^{-1}=\frac{1}{4}=0,25$
... = $b^{\frac{3}{2}} : b^{\frac{3}{6}}=b^{1,5-0,5}=b$

c) $\left ( 32^{\frac{10}{3}} \right )^{\frac{3}{5}}=32^{\frac{10}{3}\cdot \frac{3}{5}}=32^{\frac{10\cdot 3}{3\cdot 5}}=32^2= 1024$
... = $64^{\frac{1\cdot 21}{114\cdot 4}}=64^{\frac{3}{8}}=\left ( 2^6 \right )^{\frac{3}{8}}=2^{6\cdot \frac{3}{8}}=2^{\frac{9}{4}}=\sqrt [4]{2^9}=\sqrt [4]{512}$
... = $243^{1,1\cdot frac{2}{11}}=\left ( 3^5 \right)^{\frac{2,2}{11}}=3^{5\cdot \frac{1}{5}}=3$
... = $a^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{a^3}$ - in der Klammer steht eine Wurzel und Wurzelziehen und Quadrieren heben sich auf!

d) $4^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=(4\cdot 2)^{\frac{2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}=2^2=4$
$32^{0,75}:2^{0,75}=16^{\frac{3}{4}}=2^3 = 8$
$3^{-\frac{1}{2}}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{-\frac{1}{2}}=2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt 2}$
$a^{\frac{4}{3}}\cdot(a^2)^{\frac{4}{3}}=a^(a^3)^{\frac{4}{3}}=a^{3\cdot \frac{4}{3}}=a^4$

e) $\sqrt [3]{4} \cdot \sqrt [4]{4} =4^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=4^{\frac{7}{12}}=(2^2)^{\frac{7}{12}}=2^{2\cdot \frac{7}{12}} =2^{\frac{7}{6}}=\sqrt [6]{2^7}=\sqrt [6]{128}$
... = $7^{-\frac{3}{10}}$
... = $1$
... = $b^{\frac{7}{6}}$

f) ... = $\sqrt [3]{18}=18^{\frac{1}{3}}$
... = $\sqrt [5]{243} = 3$
... = $\sqrt [4]{16}=2$
... = $1$ - es ist stets $a^0 = 1$

g) $\sqrt {\sqrt [3]{6}}=\left ( 6^{\frac{1}{3}} \right ) ^{\frac{1}{2}}=6^{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}}=6^{\frac{1}{6}}=\sqrt [6]{6}$
... = $512^{\frac{1}{9}}=(2^9)^\frac{\frac{1}{9}}=2^{\frac{9}{9}}=2$
... = $(2^5)^{\frac{1}{20}}=2^{5\cdot \frac{1}{20}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt [4]{2}$

... = $(a^{12})^{\frac{1}{12}}=a^{12\cdot \frac{1}{12}}=a$

  Aufgabe 7

Und nun noch ein paar Anwendungsaufgaben: Buch S. 117 / 9, 11

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117/9
a) Ein Kubikmeterwürfel hat das Volumen V = 1 m³. Ein Würfel der doppeltes Volumen hat hat das Volumen V_neu = 2 m³ und die Seitenlänge $b = \sqrt [3]{2} m \approx 1,26$

b) TR liefert $b \approx 1,260$

c) ---

d)

e) In Aufgabe a) wird die Seitenlänge a = 1m zu Grunde gelegt und man rechnet die Seitenlänge des neuen Altars aus.
Bei b) wird die Gleichung x³ = 2, die sich algebraisch als Lösung ergibt nach x aufgelöst und man erhält die Seitenlänge des "doppelten Kubikmeterwürfels".
Bei d) führt die Frage nach dem Schnittpunkt auf die Gleichung x³ = 2, die man in b) schon gelöst hat.

Allgemein kann man die Problemstellung lösen. Der "alte Altar" hat das Volumen V = a³. Der neue Altar mit Seitenlänge b soll doppeltes Volumen haben, also V = b³ = 2 · a³. Dies führt zur Gleichung b³ = 2 · a³ und zur Lösung $b = \sqrt [3] {2} \cdot a$.

117 /11
a)
b)

Die Werte stimmen näherungsweise überein.