Schwingungen

Das neue Thema lautet:

Schwingungen

Schaue dir zuerst die ersten 2 Minuten dieses Films an. Du siehst anfangs viele Beispiele mit Kreisbewegungen und Teilen von Kreisbewegungen, die auch mit Schwingungen zu tun haben.

Wie kommt man von der Kreisbewegung zur Schwingung?
Projektziert man eine Kreisbewegung an die Wand, dann sieht man einen Körper sich auf und ab bewegen. Man kann ein Federpendel daneben stellen und die Kreisbewegung so einstellen, dass der Schatten des Körpers sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie der Schatten des Pendelkörpers auf der Wand bewegt.

Dies siehst du in diesem Film:

Projektion der Kreisbewegung

  Aufgabe 1

Beschreibe mit eigenen Worten was du in dem Film gesehen hast.

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In der Projektion an der Wand machen der Schatten des Pendelkörpers und der Schatten des Körpers, der sich auf der Kreisbahn bewegt dieselbe Auf- und Abbewegung.

Wir betrachten nun die Projektion einer Kreisbewegung. Betrachte dir auf dieser Seite das erste Applet (Abb.1). Klicke zuerst auf den Button "Projektion". Da wird der Versuch, den du gerade im Video gesehen hast simuliert und ein Punkt der Kreisbewegung projeziert.

Merke: Die Projektion einer Kreisbewegung liefert eine Schwingung. Eine Schwingung ist eine periodische Bewegung, die sich in gleichen Zeitabständen auf gleiche Weise wiederholt.

Für den nächsten Durchgang klicke auf den Button "Projektion und Zeit-Orts-Kurve". Im t-y-Diagramm wird über die Zeit t der Ort des Schattens aufgetragen. Du kennst dies schon aus der Mathematik. Dort hat man auch bei der Bewegung eines Punktes auf dem Einheitkreis die y-Koordinate über dem Winkel aufgetragen. Damals hast du eine Sinuskurve erhalten. In dem t-y-Diagramm des Applets siehst du auch eine Sinuskurve.

Dieses Verfahren kennst du bereits aus der Mathematik als du die Sinus- und Kosinusfunktion durch Betrachtung am 

Einheitskreises bekommen hast. Die y-Koordinate ergab die Sinusfunktion, die x-Koordinate die Kosinusfunktion. 

Das Argument der Funktionen war der Winkel x im Bogenmaß.

Hier nimmt der  Winkel $\varphi$ proportional zur Zeit t zu, die Proportionalitätskonstante ist die Winkel-

geschwindigkeit $\omega$. Sie kommt später bei den Größen der Schwinung wieder vor. 

$\varphi$ wird auch wieder im Bogenmaß angegeben. 

Auf der Seite wird im folgenden noch erklärt wie die Sinuskurve zustande kommt. Startpunkt zur Zeit t = 0s ist auf der x-Achse, also y=0. Bei einer Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist der zurückgelegte Winkel $\varphi$ zur Zeit t proportional und es gilt $\varphi = \omega t$. Für die Projektion gilt dann $y = r \cdot sin(\varphi) = r \cdot sin(\omega t)$.

Startet man die Zeitmessung, wenn der Körper der Kreisbewegung unten ist, dann erhält man für die Projektion eine Kosinuskurve $y = -r \cdot cos(\varphi) = -r \cdot cos(\omega t)$.

  Aufgabe 2

Welche Funktion erhälst du, wenn die Zeitmessung beginnt sobald der Körper der Kreisbewegung oben ist?

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Es ist dann $y = r \cdot cos(\varphi) = r \cdot cos(\omega t)$.

Die Begriffe der Kreisbewegung übertragen wir nun auf die Schwingung.
Bei der Kreisbewegung hatten wir Umlaufdauer T, Winkelgeschwindigkeit $\omega$ und Frequenz f. Diese Begriffe gibt es auch bei der Schwingung.

Merke: Die Umlaufdauer T wird zur Periodendauer T einer Schwingung. Die Frequenz f gibt an, wie oft sich die Schwingung in einer Sekunde wiederholt. $f = \frac{n}{t} = \frac{1}{T}$. Man spricht bei der Schwingung auch von der Winkelgeschwindigkeit $\omega$. Es ist $\omega = 2\pi f$.

Die Einheit der Frequenz f ist auch hier 1 Hz (Hertz). Es ist $1 Hz =\frac{1}{s}$.

Wenn wir unsere bisherigen Überlegungen zusammenfassen, dann spricht man von einer Schwingung, wenn sich physikalische Größen bei periodischen Vorgängen um einen Mittelwert herum ändern. Solche physikalische Größen können wie in unserem Beispiel der Ort, aber auch Geschwindigkeit, Beschleunigung, Stromstärke, Spannung, Töne, ... sein. In der Musik hast du sicher schon mal das Diagramm eines reinen Tons als Sinuskurve gesehen. Dies ist genau das, was wir nun als Schwingung verstehen.

  Aufgabe 3

Als Beispiel einer Schwingung ist auch die Bewegung des Kolbens eines Zylinders eines Motors anzusehen.
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Es ist n = 46500, t = 3 min = 180s. Also ist die Frequenz $f = \frac{n}{t}=\frac{46500}{180s}=258\frac{1}{3}Hz$

  Aufgabe 4

Was bedeutet für den Kammerton a die Angabe 440Hz?

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440Hz ist die Angabe der Frequenz. Der Ton wird in einer Sekunde 440 mal erzeugt.

Die Periodendauer T ist dann $T=\frac{1}{f}=0,0023s = 2,3ms$.

  Aufgabe 5

Schaue dir diesen Film an und beantworte dann die folgenden Fragen.
a) Was ist die Ruhelage?
b) Wie erfolgt in der Realität eine Schwingung?
c) Was ist die Periodendauer.
d) Was ist die Elongation?
e) Was ist die Amplitude?
f) Was ist eine Schwingung?

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a) Die Ruhelage ist die Anfangslage bei der der Körper in Ruhe ist und durch Auslenkung zum Schwingen gebracht wird. In der Ruhelage ist ein schwingungsfähiger Körper im Kräftegleichgewicht.
b) In der Realität erfolgt eine Schwingung gedämpft.
Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Amplitude im Laufe der Zeit ab und der Körper kommt in die Ruhelage.
c) Die Periodendauer T ist die Zeit, die ein Körper für eine Schwingung braucht.
d) Die Elongation y ist die Auslenkung zu einer bestimmten Zeit t, also y(t).
e) Die Amplitude A bezeichnet die maximale Auslenkung.

f) Eine Schwingung ist ein periodischer Vorgang, der sich stets nach der Zeit T wiederholt. Es gibt einen Ruhepunkt, der zwischen den beiden maximalen Auslenkungen liegt.

Geschwindigkeit und Beschleunigung

Bei einer Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist auch der Betrag der Bahngeschwindigkeit v konstant. Allerdings ändert sich dauernd die Richtung der Bahngeschwindigkeit. Die Bahngeschwindigkeit ist eine gerichtete Größe von der man Betrag und Richtung wissen muss. Ändert sich ihr Betrag oder ihre Richtung oder beides, dann wirkt auf den Körper eine Kraft (2. Newtonsche Gesetz).

Durch die Projektion der Kreisbewegung haben wir die Zeit-Orts-Funktion einer Schwingung erhalten.

  Aufgabe 6

Wie lautet die Zeit-Orts-Funktion einer Schwingung, die zur Zeit t=0s die Ruhelage passiert?

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$y = r \cdot sin(\omega t)$

Für diese Projektion der Kreisbewegung wollen wir nun die Projektion der Geschwindigkeit und Beschleunigung ansehen. Auf dieser Seite findest du auch Begründungen für das Geschwindigkeits- und Beschleunigungsgesetz.

  Aufgabe 7

a) Starte zuerst das Applet (Abb.2) zur Geschwindigkeit. Lies dabei auch alle Erklärungen! Wie lautet für die gerade notierte Schwingung die Zeit-Geschwindigkeits-Funktion?
b) Starte dann das Applet (Abb.3) zur Beschleunigung. Lies auch hier alle Erklärungen. Wie lautet die Zeit-Beschleunigungs-Funktion?

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a) $v = r \omega \cdot cos(\omega t)$

b} $a = -r \omega^2 \cdot sin(\omega t)$

  Aufgabe 8

ÜbertrageAbb.5 in dein Heft und erkläre die dargestellten Funktionen.

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Über die Zeit t werden der Ort des Schwingungskörpers, seine Geschwindigkeit und Beschleunigung aufgetragen.
Zum Zeitpunkt t = 0s durchläuft der Körper die Ruhelage y = 0. Die Bewegung geht nach oben und man hat $y = r \cdot sin(\omega t)$.
Die Geschwindigkeit des Körpers ist in Richtung der positive y-Achse, also hat positive Richtung und ist beim Durchgang durch die Ruhelage von maximalem Betrag. (Denke an den Energieerhaltungssatz der 8. Klasse!) Die Geschwindigkeit nimmt ab, bis der Körper maximal ausgelenkt ist und dort Geschwindigkeit 0 m/s hat. (EES: oben ist E_kin = 0J.) Danach bewegt sich der Körper nach unten, die Richtung der Geschwindigkeit ist negativ. Die tv-Funktion ist $v = r \omega \cdot cos(\omega t)$.

Beim Durchgang durch die Ruhelage geht die Bewegung nach oben, der Körper wird abgebremst durch eine Kraft, die nach unten wirkt, also ist die Richtung der Kraft negativ. Wegen F = m·a gilt dies auch für die Beschleunigung. Die Beschleunigung ist beim Durchgang durch die Ruhelage Null, da in diesem Zustand der Körper im Kräftegleichgewicht ist, also keine resultierende Kraft wirkt. Also hat man die ta-Funktion $a = -r \omega^2 \cdot sin(\omega t)$.

Merke: Für eine Schwingung, die zum Zeitpunkt t = 0s die Ruhelage passiert gilt: $y = A \cdot sin(\omega t)$ $v = A \omega \cdot cos(\omega t)$ $a = -A \omega^2 \cdot sin(\omega t)$ Dabei ist A die Amplitude der Schwingung, $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit ($\omega = \varphi \cdot t$). Die Frequenz f der Schwingung ist $f = \frac{1}{T}$, wobei T die Dauer einer Schwingung ist. Schwingungen, deren Zeit-Ortsfunktion eine Sinus- oder Kosinusfunktion ist, heißen harmonische Schwingungen.

  Aufgabe 9

a) Bestimme die y(t)-Funktion einer Schwingung der Frequenz f = 0,5Hz und der Amplitude 5cm.
b) Wo ist der Körper nach 0,5s, 1s, 1,5s, 2s?
c) Zeichne das ty-Diagramm.
d) Gib die Terme für v(t) und a(t) an.

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$y(t) = 5cm \cdot sin(\pi\frac{1}{s} t)$ (Beachte $\omega = 2\pi \cdot f$ und wenn f = 0,5Hz ist, dann ist T=2s!)
b) Es ist y(0,5) = 5cm, der Körper ist nach oben maximal ausgelenkt.
y(1s) = 0cm, der Körper bewegt sich durch die Ruhelage.
y(1,5s) = -5cm, der Körper ist maximal nach unten ausgelenkt
y(2s) = 0cm, der Körper bewegt sich durch die Ruhelage.
c)
d) $v(t) = 2\pi \cdot 0,5\frac{1}{s}\cdot 5cm \cdot cos(\pi\frac{1}{s} t)= 5\pi\frac{cm}{s}\cdot cos(\pi\frac{1}{s}t$ und $a(t) = -(2\pi \cdot 0,5\frac{1}{s})^2 \cdot 5cm \cdot sin(\pi\frac{1}{s} t)= - 5\pi^2\frac{cm^2}{s}\cdot sin(\pi\frac{1}{s} t)$

Beachte, dass die Einheiten für v und a richtig sind. Im Argument von Kosinus und Sinus ist jeweils $\frac{1}{s}\cdot t$, also die Zeiteinheit kürzt sich und es steht eine Zahl. Vor dem Kosinus und Sinus steht jeweils ein Term mit der Einheit für v $\frac{cm}{s}$ (Einheit einer Geschwindigkeit) und für a $\frac{cm^2}{s}$ (Einheit einer Beschleunigung).