W-Seminar Mathematik - Ordnung und Chaos - Fraktale Geometrie - Nichtlineare Prozesse

Angebot 2012/2013

Allgemeines

Kursleiter: OStR Heim
Leitfach: Mathematik
Seminartyp:W-Seminar

Thematik

Die Maler der kubistischen Stilrichtung reduzierten in ihren Bildern die Realität auf geometrische Grundformen: Dreieck, Kreis, Vierecke usw.

Die klassische Physik geht davon aus, dass nur geringe Veränderungen in den Versuchsanordnungen nur geringe Veränderungen in den Ergebnissen bewirken:

Doch unsere Welt ist anders:

• Bäume sind keine Kreise oder Dreiecke
• Das Wetter kann sich bei sehr ähnlicher Wettersituation vollkommen anders entwickeln als im gleich gelagerten Fall
• Die Zahl der Individuen einer Tierart lässt sich kaum vorhersagen.
  

Beispiele:

Romanescua - Varietät des Blumenkohles

Ein einfacher Versuch, der den Übergang zu chaotischen Prozessen kennzeichnet: Das Doppelpendel

In den 1980-er Jahren begeisterten die computergenerierten Bilder von RICHTER und PEITGEN in einer Wanderausstellung des Sparkassenverbandes die Republik und die Welt:nämlich die einer nichtlinearen Rekursion in der Menge der komplexen Zahlenebene - die sogenannte Mandelbrotmenge nach BENOIT MANDELBROT - hier animiert wiedergegeben.

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Das Analogon in der Menge der reellen Zahlen ist der sogenannte Feigenbrotbaum nach dem Mathematiker FEIGENBAUM

Zwar waren iterative Prozesse und Mengen bereits seit den 20-er Jahren des 20. Jahrhunderts bekannt, fristeten jedoch ein unbeachtetes Dasein in der Mathematik.Erst in den 80-er Jahren des 20. Jahrhunderts revolutionierten im Sturm mit die computerexperimentellen Ergebnisse von PEITGEN & RICHTER auf den Ergebnissen von MANDELBROT und anderen sämtliche Wissenschaften, angefangen mit Physik und deren angewandten Wissenschaftszweigen - den Ingenieurswissenschaft, die Medizin und Biologie, die Psyschologie, Chemie, Geographie und selbst die Filmindustrie, wenn man an virtuelle Landschaften denkt:

Ein sog. Farnfraktal - Vergleiche mit der Natur

In der Mathematik untersuchte man in der Folgezeit inwieweit im Chaos der Fraktal dennoch gewisse Gesetzmäßigkeiten zu finden sind: Unter anderem erkannte man die sog. Selbstähnlichkeit, d.h. ein Teil der Gesamtfigur sieht ähnlich aus wie das ganze Fraktal. Eine Eigenschaft, die dem Farnfraktal genauso gemeinsam ist wie einer der einfachsten Fraktale: der nach dem Mathematiker KOCH benannten Schneeflockenkurve.

Heute gibt es an vielen Universitäten Lehrstühle für fraktale Geometrie bzw. ist die Zusammenarbeit verschiedener Disziplinen für die Erforschung zahlreicher Phänomene erforderlich:

• So ist das ENSO-Phänomen oder die NOA, also die El-Nino-Zirkulation als nichtlinearer Prozess mit chaotischen Strukturen erkannt.
• Modelle der Klimaveränderung kommen ohne nichtlineare Prozesse und damit sog. deterministisch-chatotischen Prozessen nicht aus
• Bei der Simulation von Strömungsverhältnissen im Windkanal zur Ermittlung beispielsweise des CW-Wertes treten nichtlineare deterministisch-chaotische Prozesse auf
• Das Räuber-Beute-Modell ist ein nichtlinearer Prozess
• In der Kardiologie (Teilwissenschaft der Medizin) sind chaotische Prozesse bekannt

um nur einige Anwendungen der eigentlich mathematischen Disziplin zu nennen.

Voraussetzungen

• Befriedigende bis sehr gute mathematische Kenntnisse
• Freude an entdeckender und experimenteller Vorgehensweise
• Basale Kenntnisse in Englisch und Französisch sind förderlich, aber nicht zwingend notwendig. Ein Teil der Literatur ist in Französisch und Engelisch
• Kenntnis einer (objektorientierten) Programmiersprache ermöglicht experimentelle Arbeiten am Computer.

Mögliche Themen der Seminararbeit

1. Der Menger-Schwamm – fraktale Eigenschaften – Volumen und Oberfläche – Grundlage eines Lungenmodelles
2. Nichtlineare Wachstumsprozesse – Modellierung und Anwendung in bekannten Modellen der Biologie (z.B. Räuber-Beute-Modell).
3. Untersuchung unterschiedlicher Schneeflockenkurven hinsichtlich ihrer fraktalen Eigenschaften, Umfang und Flächeninhalt.
4. Feigenbaumstrukturen und ihre Bedeutung in verschiedenen Wissenschaftszweigen.
5. Sierpinski-Dreieck und Sierpinski-Schwamm als fraktale Gebilde und ihre Eigenschaften
6. Die Mandelbrotmenge als fraktales Gebilde.
7. Mathematische Grundlagen des goldenen Schnittes bzw. der goldenen Zahl.
8. Kettenbrüche.
9. Unendliche Reihen (Konvergenz, Divergenz, Umordnungskriterien)
10. Anwendungen endlicher Reihen in der Wirtschaftsmathematik
11. Fibonnaccifolgen und Spiralen
12. El Nino – ein chaotisches System?
13. Wetter – Grenzen der Vorhersagbarkeit!
14. Übergang von der Ordnung ins Chaos: Pendel und Doppelpendel
15. Börsenkurse und Konjunkturzyklen – chaotische Prozesse?
16. Juliamengen

Zum Reinschnuppern - keine zitierfähige Literatur

• [1]
• [2]

Programme zur Veranschaulichung von Fraktalen Gebilden

• Mandelbrotmenge