Wiederholung und Aufgaben zu Schwingungen

  Aufgabe

Schaue dir zur Wiederholung das anfangs genannte Video

vollständig an.
a) Welche andere Bezeichnung gibt es für Amplitude?
b) Wodurch ist die Ruhelage ausgzeichnet?
c) Warum bewegt sich die Kugel bei einer Schwingung durch die Ruhelage?
d) Welche Aussage kannst du über die Beschleunigung der Kugel bei einer Federschwingung treffen?
Was bedeutet das für den Quotienten $\frac{a}{s}$?
Wie heißt eine solche Schwingung?
e) Benenne die Bewegungsgleichungen für eine harmonische Schwingung, wenn der Körper nach oben ausgelenkt und zur Zeit t = 0s im oberen Umkehrpunkt losgelassen wird.
Gib die Bewegungsgleichungen auch für den konkreten Fall einer Schwingung mit s₀ = 0,1m und T = 2s an und zeichne ein ts-Diagramm.
f) Für eine harmonische Schwingung gilt ein besonderes Kraftgesetz. Benenne es und erkläre es am Beispiel des Federpendels.

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a) Scheitelwert
b) In der Ruhelage wirkt keine resultierende Kraft auf die Kugel.
Die Ruhelage ist die Lage in die der Körper bei einer gedämpften Schwingung zur Ruhe kommt.
c) Aufgrund ihrer Trägheit bewegt sich die Kugel im Verlauf einer Schwingung durch die Ruhelage weiter.
d) Bei einer Federschwingung ist die Beschleunigung $a =\frac{F}{m}=\frac{-DS}{m}$
Der Quotient $\frac{a}{s}=-\frac{D}{m}$ ist konstant, da sich bei der Schwingung D und m nicht ändern. Also ist die Beschleunigung a direkt proportional zur Auslenkung s.
Eine solche Schwingung heißt harmonische Schwingung.
e) $s(t) = s_0 \cdot cos(\omega \cdot t)$, dabei ist s₀ die Amplitude der Schwingung und $\omega = \frac{2\pi}{T}$ die Winkelgeschwindigkeit und T die Schwingungsdauer. Zum Zeitpunkt t = 0s befindet sich der Pendelkörper im oberen Scheitelpunkt und wird dort losgelassen.
$v(t) = - s_0 \cdot \omega \cdot sin(\omega \cdot t)$
$a(t) = - s_0 \cdot \omega^2 \cdot cos(\omega \cdot t)$
Für s₀ = 0,1m und T = 2s ist $\omega = \frac{2\pi}{2s}=\pi \frac{1}{s}$ und

$s(t) = 0,1m \cdot cos(\pi \frac{1}{s} \cdot t)$ 

$v(t) = - 0,1m \cdot \pi \frac{1}{s} \cdot sin(\pi \frac{1}{s} \cdot t)$

$a(t) = - 0,1m \cdot \pi^2 \frac{1}{s^2} \cdot cos(\pi \frac{1}{s} \cdot t)$

Beachte, dass das Minuszeichen die Richtung angibt!

f) Bei einer harmonischen Schwingung gilt ein lineares Kraftgesetz. Das heißt, dass die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung s ist. Es ist $F \sim s$

Bei einer Feder gilt das Hookesche Gesetz $F = - D\cdot s$. D ist die Federkonstante, die für eine bestimmte Feder konstant ist. Also ist $F \sim s$ oder $\frac{F}{s} = -D$, was ein Kennzeichen einer direkten Proportionalität ist. Das Minuszeichen bei D bedeutet, dass die Richtung der Kraft F entgegengesetzt der Auslenkung s ist. Es handelt sich also um eine rücktreibende Kraft, die immer versucht den Körper wieder in die Ruhelage zu bringen.

In diesem Video wird alles nochmals erklärt. (Die mathematischen Begriffe wie Ableitung oder Differentialgleichung braucht ihr nicht zu wissen, das kommt erst noch in Mathematik in der Oberstufe.)

Und nun noch ein paar Aufgaben aus dem Buch.

S. 91/3

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a) in 1s gibt es 2,5 Schwingungen, also $T=\frac{t}{n}=\frac{1s}{2,5}=0,4s$.
Die Frequenz f ist $f = \frac{1}{T}=\frac{1}{0,4s} = 2,5$. (Das hat man ja eigentlich schon gerade aus dem Diagramm abgelesen.)
Die 100. Schwingung ist nach t = 100 ·0,4s = 40s erfolgt.
In einer Minute finden $n = \frac{t}{T}=\frac{60s}{0,4s}=150$ Schwingungen statt.

b)
Das Wägestück ist am schnellsten, wenn es sich durch die Ruhelage bewegt.

Man kann es auch berechnen. Es ist $\omega=\frac{2\pi}{T}=15,7\frac{1}{s}$ und $v(t)= -0,92\frac{m}{s}\cdot sin(15,7\frac{1}{s}\cdot t)$

c)
Es scheint das tx-Diagramm an der x-Achse gespiegelt zu sein. Es ist im ta-Diagramm ein -cos !

d)Das Wägestück hat die betragsmäßig größte Beschleunigungen in den Umkehrpunkten oben und unten.
Unten ist die Beschleunigung am größten, da sie dort positiv ist (sie geht nach oben in positive x-Richtung).
Die beschleunigende Kraft F unten ist F= m·a = 0,1kg ·15 m/s² = 1,5N und oben F = -1,5N.

e) Die Federkonstante D ist durch $D=\frac{F}{s}$ gegeben. Setzt man F = 1,5N und s = 0,06m ein ergibt sich $D=\frac{1,6N}{0,06m}=25\frac{N}{m}$

S. 92/1

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F = D·s, also $s=\frac{F}{D}=\frac{0,5kg\cdot 9,8\frac{m}{s^2}}{25\frac{N}{m}}=0,196m \approx 0,2m$

b) Die Beschleunigung ist beim Durchgang durch die Ruhelage $0\frac{m}{s^2}$.

In den Umkehrpunkten ist die Beschleunigung $a=\frac{F}{m}=\frac{D\cdot s}{m}=\frac{25\frac{N}{m} \cdot 0,05m}{0,5kg} =2,5\frac{m}{s^2}$

S. 92/2

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1° entspricht 0,017; 10° entspricht 0,175; 15° entspricht 0,262; 90° entspricht 1,57;
0,1 entspricht 5,7°; 0,5 entspricht 28,6°; $\frac{1}{3} \pi$ entspricht 60°; $\frac{1}{2} \pi$ entspricht 90°.

b) Es ist $s = l\cdot \varphi = 67m \cdot \varphi$ wobei der Winkel $\varphi$ im Bogenmaß sein muss.
1° entspricht 0,0175, also s = 67m ·0,0175 = 1,17m
10° entspricht 0,175, also s = 67m · 0,175 = 11,7m

$s=\frac{1}{6} \pi \cdot 67m=35m$

S. 92/3

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a) Es ist im bogenmaß $\alpha = \frac{s}{l}$, also $\alpha_1 = \frac{0,25m}{1m}=0,25$ entspricht 14,3°, $\alpha_2 = \frac{0,5m}{1m}=0,5$ entspricht 28,6°, $\alpha_3 = \frac{0,75m}{1m}=0,75$ entspricht 43,0°.

b) Bei s = 0,75m ist der Wert auf der blauen Kurve circa 0,65N und auf der Näherungsgerade circa 0,75N, also ist der Unterschied etwas 0,1N. Damit weicht der Wert um $\frac{0,1N}{0,75N}=13,3%$ von der Näherungsgeraden ab.

c) 15° entspricht $\alpha = 0,262$, also s = - 0,262m oder s = 0,262m. Die Kraft, die man zu diesem s-Wert im Diagramm abliest ist F = 0,25N. Wegen $a = \frac{F}{m}$ erhält mana a = 0,245m/s².

d) $\alpha = 15^o$ liefert eine Starthöhe h = 1m - 1m·cos(15°)=0,034m. Also ist die Lageenergie dort E_L=m·g·h=1,02kg · 9,8m/s² ·0,034m = 0,34J.

S. 96/1

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Bei harmonischen Schwingungen sind im Graphen s(t), v(t) und a(t) je nach Startwert Sinus- oder Kosinuskurven.

Im linken Bild ist a(t) kein Sinus oder Kosinus. Im mittleren Bild sind v(t) bzw. a(t) eine Dreiecksschwingung bzw. Rechtecktsschwingung. Im rechten Bild sind alle drei durch Sinus- oder Kosinuskurven dargestellt. Also handelt es sich nur im rechten Bild um eine harmonische Schwingung.

S. 101/3

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Mit der Formel für die Schwingungsdauer berechnet man $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{20m}{9,8\frac{m}{s^2}}} = 9,0s$. Geht man davon aus, dass die Liane in der Mitte des Flusses von einem Baum herunterhängt, dann macht Jane eine Halbschwingung, welche 4,5s dauert und weniger als 5s ist. Damit entgeht sie dem schnappenden Krokodil.

S. 101/4

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10° im Gradmaß entspricht 0,175 im Bogenmaß. Die Amplitude ist dann s₀=0,35m
Die Schwingungsdauer ist $T=2\pi \sqrt{\frac{2m}{9,8\frac{m}{s^2}}}=2,84s$ und $\omega = \frac{2\pi}{T}=2,2\frac{1}{s}$.
Die Zeit-Ortsfunktions s(t) ist dann $s(t)= 0,35m\cdot cos(2,2\frac{1}{s} \cdot t)$
$v(t)= -0,35m\cdot 2,2\frac{1}{s}\cdot sin(2,2\frac{1}{s} \cdot t) = -0,77\frac{m}{s}\cdot sin(2,2\frac{1}{s} \cdot t)$

$a(t)= -0,35m\cdot 2,2^2\frac{1}{s^2} cos(2,2\frac{1}{s} \cdot t)=-1,7\frac{1}{s^2} cos(2,2\frac{1}{s} \cdot t)$

S. 101/5

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Bei großen Auslenkungen ist die rücktreibende Kraft auch sinusförmig (vgl. S. 92 Bild 2 zur Aufgabe 3). Also ist die rücktreibende Kraft kleiner als bei einer direkten Proportionalität. Wenn die Kraft kleiner ist, dann ist auch die Beschleunigung kleiner und das Pendel braucht dann mehr Zeit für eine Schwingung, also nimmt die Schwingungsdauer bei großen Auslenkungen zu.