M11 dreidimensionales Koordinatensystem: Unterschied zwischen den Versionen

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VIII. Oktant: x<sub>1</sub> > 0, x<sub>2</sub> < 0, x<sub>3 ></sub> < 0<br>
 
VIII. Oktant: x<sub>1</sub> > 0, x<sub>2</sub> < 0, x<sub>3 ></sub> < 0<br>
 
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Durch die Achsen werden drei Ebenen festgelegt: <br>
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* x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>-Ebene (rot), <br>
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* x<sub>1</sub>x<sub>3</sub>-Ebene (blau), <br>
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* x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>-Ebene (gelb).

Version vom 11. Dezember 2020, 12:09 Uhr

Wir erweitern unser zweidimensionales xy-Koordinatensystem durch eine dritte z-Koordinate.

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In Geogebra klicken Sie das Fenster "Grafik" weg und wählen im Menü "Ansicht" die Auswahl "3D Grafik" aus. Geben Sie unten in der Eingabezeile A=(1,2,3) ein. Nun wird der Punkt A eingezeichnet. Sie können nun durch Drehen die Lage des Koordinatensystems ändern und erkennen, dass die rote Achse, die x-Achse, die grüne Achse die y-Achse und die blaue Achse die z-Achse ist. Es wird nun ein räumliches Koordinatensystem angezeigt.

Um mit unserem Buch konform zu sein nennen wir die x-Koordinate nun x1-Koordinate, die y-Koordinate nun x2-Koordinate und die z-Koordinate nun x3-Koordinate.
Für unseren Punkt A(1;2;3) bedeutet dies, dass x1=1, x2=2 und x3=3 ist.
In GeoGebra ist die x1-Achse rot, die x2-Achse grün und die x3-Achse blau.

Die x1-Koordinate des Punktes P(2;4;5) ist (!4) (2) (!5)

Die x3-Koordinate des Punktes P(-1;24;5) ist (!-1) (5) (!24)

Die x2-Koordinate des Punktes P(2;-4;-5) ist (!2) (-4) (!-5)


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Berechne die Länge der Strecke [OA], wobei O(0;0;0) der Ursprung ist.

Es ist \overline {OA}=\sqrt {1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}


Um weiter mit unserem Buch konform zu sein, vereinbaren wir, dass wir ein dreidimensionales Koordinagensystem so zeichnen, dass die x1-Achse schräg nach vorne zeigt, die x2-Achse nach rechts und die x3-Achse nach oben. Die Koordinatenebenen zerlegen den Raum in acht Teile, sogenannte Oktanten.

Oktanten.jpg


Bei den Oktanten I bis IV ist x3 stets positiv, bei den Oktanten V bis VIII ist 3 negativ.

I. Oktant: x1 > 0, x2 > 0, x3 > > 0
II. Oktant: x1 < 0, x2 > 0, x3 > > 0
III. Oktant: x1 < 0, x2 < 0, x3 > > 0
IV. Oktant: x1 > 0, x2 < 0, x3 > > 0

V. Oktant: x1 > 0, x2 > 0, x3 > < 0
VI. Oktant: x1 < 0, x2 > 0, x3 > < 0
VII. Oktant: x1 < 0, x2 < 0, x3 > < 0
VIII. Oktant: x1 > 0, x2 < 0, x3 > < 0

Durch die Achsen werden drei Ebenen festgelegt:

  • x1x2-Ebene (rot),
  • x1x3-Ebene (blau),
  • x2x3-Ebene (gelb).
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