M11 dreidimensionales Koordinatensystem: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | {{Aufgaben-blau|1|2=1. Berechne die Länge der Strecke [OA], wobei O(0;0;0) der Ursprung ist. | + | {{Merke|1=Wir vereinbaren zum Zeichnen eines dreidimensionalen Koordinatensystems die x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>-Ebene als Zeichenebene (Heftebene). Die x<sub>1</sub>- und x<sub>2</sub>-Achse werden normalerweise jeweils nach 2 Kästchen vom Ursprung mit 1 bezeichnet.<br> |
| + | Die x<sub>1</sub>-Achse geht unter einem 45°-Winkel schräg nach vorne links. Eine Kästchendiagonale hat die Längeneinheit 1. }} | ||
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| + | {{Aufgaben-blau|1|2=Bearbeiten Sie im Buch S. 89/5. }} | ||
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| + | {{Lösung versteckt|1=a) R(2;-2;0), H(2;2;0), A(-2;2;0), E(-2;-2;0), T(2;-2;4), I(2;2;4), C(-2;2;4), U(-2;-2;4), S(0;0;7)<br> | ||
| + | b) S(4;-4;0), T(4;4;0), E(0;4;0), V(0;-4;0), I(0;-4;3), N(0;4;3) }} | ||
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| + | {{Merke|1=Der Abstand zweier Punkte P(p<sub>1</sub>;p<sub>2</sub>;p<sub>3</sub>) und Q(q<sub>1</sub>;q<sub>2</sub>;q<sub>3</sub>) ist nach dem Satz von Pythagoras<br> | ||
| + | <center><math>\overline {PQ}=\sqrt{(q_1 - p_1)^2+(q_2 - p_2)^2+(q_3 - p_3)^2}</math></center> }} | ||
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| + | {{Aufgaben-blau|2|2=1. Berechne die Länge der Strecke [OA], wobei O(0;0;0) der Ursprung ist. | ||
2. Berechne die Länge der Strecke [AB] mit A(1;2,3) und B(4;5;6)<br> | 2. Berechne die Länge der Strecke [AB] mit A(1;2,3) und B(4;5;6)<br> | ||
3. Berechne die Länge der Strecke [AC] mit A(1;2;3) und C(-1;2;-3).<br> | 3. Berechne die Länge der Strecke [AC] mit A(1;2;3) und C(-1;2;-3).<br> | ||
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[[Datei:Diagonale ks 4.jpg|300px]] | [[Datei:Diagonale ks 4.jpg|300px]] | ||
| − | <math>\overline {AD}=\sqrt {2^2+3^2+6^2} = \sqrt{49}=7</math> | + | <math>\overline {AD}=\sqrt {2^2+3^2+6^2} = \sqrt{49}=7</math> }} |
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Version vom 12. Dezember 2020, 08:24 Uhr
Wir erweitern unser zweidimensionales xy-Koordinatensystem durch eine dritte z-Koordinate.
In Geogebra klicken Sie das Fenster "Grafik" weg und wählen im Menü "Ansicht" die Auswahl "3D Grafik" aus. Geben Sie unten in der Eingabezeile A=(1,2,3) ein. Nun wird der Punkt A eingezeichnet. Sie können nun durch Drehen die Lage des Koordinatensystems ändern und erkennen, dass die rote Achse die x-Achse, die grüne Achse die y-Achse und die blaue Achse die z-Achse ist. Es wird nun ein räumliches Koordinatensystem angezeigt.
Um mit unserem Buch konform zu sein, nennen wir die x-Koordinate nun x1-Koordinate, die y-Koordinate nun x2-Koordinate und die z-Koordinate nun x3-Koordinate.
Für unseren Punkt A(1;2;3) bedeutet dies, dass x1=1, x2=2 und x3=3 ist.
In GeoGebra ist die x1-Achse rot, die x2-Achse grün und die x3-Achse blau.
Die x1-Koordinate des Punktes P(2;4;5) ist (!4) (2) (!5)
Die x3-Koordinate des Punktes P(-1;24;5) ist (!-1) (5) (!24)
Die x2-Koordinate des Punktes P(2;-4;-5) ist (!2) (-4) (!-5)
Beim Punkt P(-3;4;12) ist 12 welche Koordinate? (!x1) (!x2) (x3)
Bei P(-1;24;5) ist 24 welche Koordinate? (!x1) (x2) (!x3)
Bei P(-3;21;2) ist -3 welche Koordinate? (x1) (!x2) (!x3)
 Merke
Wir vereinbaren zum Zeichnen eines dreidimensionalen Koordinatensystems die x2x3-Ebene als Zeichenebene (Heftebene). Die x1- und x2-Achse werden normalerweise jeweils nach 2 Kästchen vom Ursprung mit 1 bezeichnet. |
a) R(2;-2;0), H(2;2;0), A(-2;2;0), E(-2;-2;0), T(2;-2;4), I(2;2;4), C(-2;2;4), U(-2;-2;4), S(0;0;7)
| Merke
Der Abstand zweier Punkte P(p1;p2;p3) und Q(q1;q2;q3) ist nach dem Satz von Pythagoras  |
1. Die Strecke [OA] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen 1, 2 und 3.
Es ist 
2. Die Strecke [AB] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen, 3, 3 und 3
Es ist 
3. Die Strecke [AC] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen 2, 0 und 6, also einem Rechteck.
4. Die Strecke [AD] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen 2, 3 und 6, also einem Rechteck.
Um weiter mit unserem Buch konform zu sein, vereinbaren wir, dass wir ein dreidimensionales Koordinagensystem so zeichnen, dass die x1-Achse schräg nach vorne zeigt, die x2-Achse nach rechts und die x3-Achse nach oben.
Die Koordinatenebenen zerlegen den Raum in acht Teile, sogenannte Oktanten.
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V. Oktant: x1 > 0, x2 > 0, x3 > < 0 |
Durch die Achsen werden drei Ebenen festgelegt:
- x1x2-Ebene (rot),
- x1x3-Ebene (blau),
- x2x3-Ebene (gelb).
In der Zeichenebene werden durch das xy-Diagramm die Koordinaten von Punkten festgelegt. Die Zeichenebene ist eine Punktmenge von Punkten P(x;y), wobei die Ebeme durch R2={(x;y)|x, y sind reelle Zahlen} beschrieben wird.
Dies übertragen wir auf unseren neuen Raum, den Anschauungsraum. Jeder Punkt P(x1;x2;x3) ist durch seine drei Koordinaten x1, x2 und x3 festgelegt. Die Punktmenge aller Punkte des Raumes ist dann R3={(x1;x2;x3)|x1, x2, x3 sind reelle Zahlen}.
