M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Rechnerisch geht es darum die Gleichung <math>x^2-2x =3x-6</math> zu lösen. Dazu formt man sie um in die für quadratische Gleichungen übliche Form, alles auf die linke Seite und 0 auf der rechten Seite, <math>x^2 | + | Rechnerisch geht es darum die Gleichung <math>x^2-2x =3x-6</math> zu lösen. Dazu formt man sie um in die für quadratische Gleichungen übliche Form, alles auf die linke Seite und 0 auf der rechten Seite, <math>x^2-5x+6=0</math> und versucht diese Gleichung zu lösen.<br> |
Mit der Diskriminante D =25-24=1 weiß man, dass es zwei Lösungen gibt und mit der Lösungsformel erhält man x<sub>1</sub> = 2 und x<sub>3</sub> = 3.<br> | Mit der Diskriminante D =25-24=1 weiß man, dass es zwei Lösungen gibt und mit der Lösungsformel erhält man x<sub>1</sub> = 2 und x<sub>3</sub> = 3.<br> | ||
Version vom 1. Februar 2021, 11:16 Uhr
Bruchgleichungen
Bei den Bruchgleichungen der 8. Klasse hast du schon Gleichungen wie 
gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie 
mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies?
Wenn du die Bruchgleilchung mit dem Produkt der Nenner (x2-x)(x2-1) multiplizierst, dann erhältst du:
und gekürzt ("über Kreuz multiplizieren"):
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: 
--> 
--> 
das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.
. Allerdings ist 
nicht in der Definitionsmenge, also ist L={-6}.
}, HN = (x+
)(x-
, also L={
}Anwendungsaufgaben
mit der positven Lösung 
.
mit den Lösungen 
. Nun löst man die Klammern auf und fasst zusammen. Es ergibt sich die quadratische Gleichung 
, welche die Lösungen 
. Wegen a = b-7 ist b1=4 keine Lösung, also hat das Dreieck die Seitenlängen a = 5, b = 12, c = 13. 
, 
(Thaleskreis!), also ist 
.
. Diese Gleichung hat nun zwei Unbekannte n und x. Wir kennen aber einen Zusammenhang zwischen n und x, nämlich 
. Setzt man die letzte Gleichung für n in die Gleichung 
.
Die Gleichung 
multipliziert (und dabei auf der rechten Seite die erste Klammer als 
schreibt, dann fällt nämlich beim Multiplizieren mit x der Nenner weg.)
mit den zwei Lösungen 
. Und zum Anschauen (du kannst natürlich auch immer anhalten und selbst mitrechnen und lösen!):
und 
ergibt sich 
, also 
, also 
.Schnittprobleme
1. Man hat zwei Funktionen, eine quadratische Funktion 
und eine lineare Funktion 
. Für diese zwei Funktionen stellt sich die Frage, haben sie gemeinsame Punkte oder nicht.
Für die Graphen der Funktionen bedeutet das, schneiden sie sich, berühren sie sich oder haben sie keine gemeinsamen Punkte.
Dies kann man versuchen graphisch zu lösen:
Aus der Grafik liest man ab, dass die beiden Graphen sich in den Punkten (2;0) und (3;3) schneiden.
Rechnerisch geht es darum die Gleichung 
zu lösen. Dazu formt man sie um in die für quadratische Gleichungen übliche Form, alles auf die linke Seite und 0 auf der rechten Seite, 
und versucht diese Gleichung zu lösen.
Mit der Diskriminante D =25-24=1 weiß man, dass es zwei Lösungen gibt und mit der Lösungsformel erhält man x1 = 2 und x3 = 3.
2. Die Graphen der Funktionen 
und 
schneiden sich.
3. Ermittle die gemeinsamen Punkte der Graphen von 
und 
. Zeichnet man die Graphen in ein Koordinatensystem so hat man dieses Bild:
Aus der Graphik kann man die Schnittpunkte schlecht ablesen. Also muss man sie berechnen. Es ist dabei die Gleichung 
zu lösen. Dies führt zu der quadratischen Gleichung 
, die man löst und die Lösungen 
hat, also 
4. Wo schneiden sich die beiden Graphen?
Man kann es aus der Graphik nur ungenau ablesen. Also muss man rechnen. Aber man hat ja nur die zwei Graphen.
Aus den Graphen kann man die Funktonsterme bestimmen. Bestimme die Funktionsgleichungen für f und g.
[Lösung anzeigen]
und 
Um die Schnittpunkte zu bestimmen muss man die Gleichung 
lösen. Dazu formt man die linke Seite zuerst um in 
und hat dann die Gleichung 
. Diese Gleichung bringt man in die übliche Form einer quadratischen Gleichung 
. Mit der Lösungsformel erhält man 
und 
Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind dann S1(-6,796;6,398) und S2(2,796;1,602)
