M11 Die Kettenregel: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 25. Februar 2021, 19:29 Uhr

Die Ableitung einer Funktion , die die Verkettung der Funktionen und ist, erhält man mit der Kettenregel. Es ist .
Nach der Definition der Ableitung ist .
Nun muss man dabei beachten was die Funktionen und dabei machen.
Wenn ist, dann ist .
sind die Argumente, die in u eingesetzt werden. Dabei ist dann, wenn ist , auch .

Damit kann man den Differenzenquotienten schreiben:
.
Beim letzten Term stimmt der Nenner des ersten Bruches mit den Zähler des 2. Bruches überein.
Der erste Bruch bedeutet, dass man nach ableitet und der zweite Bruch bedeutet, dass man nach ableitet.

Also hat man .

Merke: Kettenregel . Man leitet zuerst die äußere Funktion ab und multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion. Dies nennt man Nachdifferenzieren.

Beispiele:
1.Wir nehmen das Anfangsbeispiel der Seite M11_Verkettung_von_Funktionen
Es ist . Dabei ist die Funktionsgleichung der äußeren Funktion. Das Argument der Funktion wurde mit bezeichnet, damit man sieht, dass die Variable von nun (eigentlich ) ist.
Die innere Funktion hat die Funktionsgleichung .
Für die Ableitung der Funktion differenziert man die äußere Funktion nach . Also ist und multipliziert dieses Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion nach , also mit .
Insgesamt erhält man nun . Nun ersetzt man wieder durch und kürzt 2, dann ist das Ergebnis

.

2. mit ist die Verkettung der Funktion mit mit der Funktion mit .
Die Ableitung von ist (Ableitung der äußeren Funktion)
und die Ableitung von ist (Ableitung der inneren Funktion).
Die Ableitungsfunktion erhält man durch .
Nun ersetzt man weider durch und hat dann die Ableitung der Funktion

.

Und das ging doch deutlich besser als die Potenz auszurechnen und ein Polynom vom Grad 2021 abzuleiten!

Man kann die Schreibweise auch verkürzen, indem man die Schreibweise mit "v" weglässt und gleich nur mit den Funktionen von x schreibt. Dabei wird gleich v durch den Funktionsterm v(x) ersetzt.
Das Beispiel 1 ergibt dann .
Das Beispiel 2 schreibt sich dann .

Schauen Sie sich auch die Beispiele 2 bis 4 im Buch auf S. 130 an. Beim Beispiel 3 kann man das Quadrat ausrechnen und ableiten. Man erhält das gleiche Ergebnis, wie wenn man den ursprünglichen Term mit der Kettenregel ableitet.
Das Beispiel 4 verdeutlicht die Auswirkung auf die Definitionsmenge, was sehr selten vorkommt.

Merke Als sehr praktikabel hat sich dieses Verfahren erwiesen: Bei der Funktion ersetzt man die innere Funktion durch z. Im ersten Beispiel: mit . im zweiten Beispiel: mit . Die Ableitung ergibt sich dann durch . Obwohl in dem Term auf der rechten Seite gar kein x vorkommt, ist es eine Funktion von x, da z eine Funktion von x ist. Man leitet f zuerst nach z ab und multipliziert dann mit der Ableitung von z nach x. Man spricht "z wird nachdifferenziert". In unseren Beispielen: 1. ergibt und dann ersetzt man für z durch und z' durch die Ableitung , also . 2. ergibt .

  Aufgabe 1

Buch S. 131 / 4

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a) und
b) und
c) und
d) und
e) und
f) Hier berechnet man zuerst in der runden Klammer (3x)² = 9x² und leitet dann ab.
und
g) und
h) und
i) und
j) Wenn man den Funktionsterm nicht ausmultiplizieren will, muss man die Produktregel verwenden. Bei der Ableitung des zweiten Faktors braucht man die Kettenregel.
und
k) und
l) und
m) Hier braucht man die Quotientenregel und für die Ableitung des Nenners die Kettenregel.
und
n) Hier ist und .
und
o) Hier ist und
und
p) Hier ist und .

und

  Aufgabe 2

Buch S. 131 / 6

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a) Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist, also für x = -2.

, da der Grad des Zählerpolynoms = Grad des Nennerpolynoms ist und der Quotient der Koeffizienten von x 1 ist.
Asymptoten: senkrechte Asymptote x = 0 bei der Polstelle und waagrechte Asymptote y = 1 für .

b)
Es ist wenn x = -2 ist.
Der Zähler 4(x+2) hat bei x = -2 einen VZW -/+, also ist bei x = -2 ein Minimum und G_f hat bei (-2;0) einen Tiefpunkt.

Für x < -2 ist f'(x) < 0, also G_f streng monoton fallend,
für -2 < x < 0 ist f'(x) > 0, also G_f streng monoton steigend,
für 0 < x ist f'(x) < 0, also G_f streng monoton fallend.

b) Da der Funktionsterm ein Quadrat ist mit Nullstelle ist f(x) ≥ 0. Da D = R\{0}, verläuft G_f im I. und II. Quadranten.

d) Es ist und
Also ist y = -2x + t und t erhält man, indem man die Koordinaten von A(2;4) einsetzt. 4 = -4 + t, also t = 8.
Die Gleichung der Tangente in (2;4) ist y = -2x + 8.

Aus der Graphik sieht man, dass g = 6 und h = 4 ist, also .
Die Seitenlängen des Dreiecks sind und
Der kleinste Winkel im Dreieck QER ist bei E. Es ist (im rechtwinkligen Dreieck ABF, wenn F der Höhenfusspunkt ist), also .

e)