M11 Ableitung der trigonometrischen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen
  
 
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Version vom 4. März 2021, 11:17 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Ableitung der Sinusfunktion

In dem folgenden Applet wird zu jedem Punkt P auf dem Graph der Sinusfunktion f:x \to sin(x) über der x-Koordinate von P die Steigung der Tangente aufgetragen. Bewegt man P auf dem Graphen, dann wird die Spur von A angezeigt.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Es ist (sin x)' = cos x .

Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen

Die Ableitung der Kosinusfunktion

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion. Es ist (cos x)' = - sin x .

Man erhält die Ableitung der Kosinusfunktion auch mit Hilfe der Kettenregel. Es ist cos(x)=sin(\frac{\pi}{2}-x) und sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x). Damit ist die Ableitung (cos(x))'=(\left ( sin(\frac{\pi}{2}-x) \right)' =cos(\frac{\pi}{2}-x) \cdot (-1)= - cos(\frac{\pi}{2}-x)=- sin(x)

Die Ableitung der Tangensfunktion

Man weiß tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}. Mit der Quotientenregel kann man tan(x) ableiten. Es ist (tan(x))'=\frac{cos(x)\cdot cos(x) - sin(x)\cdot (-sin(x))}{(cos(x))^2}=\frac{(cos(x))^2+(sin(x))^2}{(cos(x))^2}=\frac{1}{(cos(x))^2}

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Ableitung der Tangensfunktion ist (tan(x))'= \frac{1}{(cos(x))^2} .


Stammfunktionen

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Menge aller Stammfunktionen F der

  • Sinusfunktion f:x \to sin(x) ist F:x \to - cos(x) + C
  • Kosinusfunktion f:x \to cos(x) ist F:x \to sin(x) + C

Die Stammfunktionen weist man nach, indem man sie ableitet:

  • \left ( - cos(x) + C \right )' = sin(x)
  • \left ( sin(x) + C \right )' = cos(x).

Aufgaben

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