M11 Ableitung der trigonometrischen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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p) <math>y' = cos(\frac{\pi}{3}x)\cdot \frac{\pi}{3}</math><br> | p) <math>y' = cos(\frac{\pi}{3}x)\cdot \frac{\pi}{3}</math><br> | ||
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+ | Bei <math>x = -1,5\pi</math> hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.<br> | ||
+ | Bei <math>x = -0,5\pi</math> hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.<br> | ||
+ | Bei <math>x = 0,5\pi</math> hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.<br> | ||
+ | Bei <math>x = 1,5\pi</math> hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.<br> | ||
+ | (2) f'(x) = cos(x) = 1 für <math>x = -\pi; 0, \pi</math><br> | ||
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+ | b) f(x) = cos(2x), D = ]-2;2[. die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = - 2·sin(2x)<br> | ||
+ | (1) f'(x) = - 2·sin(2x) = 0 für <math>x = -0,5\pi; 0; 0,5\pi</math><br> | ||
+ | Bei <math>x = -0,5\pi</math> hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.<br> | ||
+ | Bei <math>x = 0</math> hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.<br> | ||
+ | Bei <math>x = 0,5\pi</math> hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.<br> | ||
+ | (2) f'(x) = - 2·sin(2x) = 1 für sin(2x) = - 0,5 und <math>2x = -\frac{\pi}{6}</math> und <math>x = -\frac{5\pi}{6}</math>, also <math>x = -\frac{5\pi}{12}</math> und <math>-\frac{\pi}{12}</math>. <br> | ||
+ | [[Datei:135-3b.jpg]] | ||
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+ | c) f(x) = tan(x) mit <math>f'(x)=\frac{1}{(cos(x))^2}</math><br> | ||
+ | In D ist f' stets positiv und nirgends 0, also hat f kein Extremum.<br> | ||
+ | f'(x) = 1 für <math>(cos(x))^2 = 1</math>, also für x = 0. | ||
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+ | d) f(x) = 0,5 cos(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>) | ||
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Version vom 8. März 2021, 13:15 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Die Ableitung der Sinusfunktion
In dem folgenden Applet wird zu jedem Punkt P auf dem Graph der Sinusfunktion über der x-Koordinate von P die Steigung der Tangente aufgetragen. Bewegt man P auf dem Graphen, dann wird die Spur von A angezeigt.
Merke:
Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Es ist . |
Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen
Die Ableitung der Kosinusfunktion
Merke:
Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion. Es ist . |
Man erhält die Ableitung der Kosinusfunktion auch mit Hilfe der Kettenregel. Es ist und . Damit ist die Ableitung
Die Ableitung der Tangensfunktion
Man weiß . Mit der Quotientenregel kann man ableiten. Es ist
Merke:
Die Ableitung der Tangensfunktion ist . |
Stammfunktionen
Merke:
Die Menge aller Stammfunktionen F der
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Die Stammfunktionen weist man nach, indem man sie ableitet:
- .
Aufgaben
Zur Wiederholung: und
und
|
a) y' = - sin(x-3)
b) y' = cos(x2)· 2x = 2x cos(x2)
c) y' = cos(x) · cos(x) + sin(x) · (-cos(x)) = (cos(x))2 - (sin(x))2
d) y' = 2 sin(x) · cos(x) (nachdifferenzieren!)
e) y' = 2 cos(x) · ( - sin(x)) = - 2 sin(x)·cos(x)
f) y' = - a· sin(ax + b)
g) y' = 2x · sin(x) + x2 · cos(x)
h) Es ist 1 - (sin x)2 = (cos x)2. Daher ist y' = ((cos x)4)' = 4·(cos x)3· ( - sin x) = - 4 sin x · (cos x)3.
i) y' = 0
j)
k)
l) y' = 2[1- sin(2x)] · [ - 2 cos(2x)] oder y = (cos(2x))2 und y' = 2·cos(2x)·(-2sin(x))
m) y' = 0
n)
o)
p)
a)f(x) = sin(x), die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = cos(x)
f hat einen Extrempunkt in x0, wenn f#(x0 = 0 ist und ein VZW vorliegt.
(1) Im Intervall [] ist cos(x)= 0 für
Bei hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
Bei hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
(2) f'(x) = cos(x) = 1 für
b) f(x) = cos(2x), D = ]-2;2[. die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = - 2·sin(2x)
(1) f'(x) = - 2·sin(2x) = 0 für
Bei hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
Bei hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
(2) f'(x) = - 2·sin(2x) = 1 für sin(2x) = - 0,5 und und , also und .
c) f(x) = tan(x) mit
In D ist f' stets positiv und nirgends 0, also hat f kein Extremum.
f'(x) = 1 für , also für x = 0.
d) f(x) = 0,5 cos(2x + )