M9 Potenzen mit rationalen Exponenten: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>-64^{\frac{1}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4</math><br>
 
<math>-64^{\frac{1}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4</math><br>
 
<math>\left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}=\left ( -\frac{16}{625} \right )^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{ -\frac{16}{625}}</math> kann man nicht vereinfachen, da bei einer 4. Wurzel (geraden Wurzel) der Radikand nicht negativ sein darf! }}
 
<math>\left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}=\left ( -\frac{16}{625} \right )^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{ -\frac{16}{625}}</math> kann man nicht vereinfachen, da bei einer 4. Wurzel (geraden Wurzel) der Radikand nicht negativ sein darf! }}
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{{Aufgaben-blau|4|2=Buch S. 116 / 2, 3
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Tipps: Dezimalzahlen in Brüche umwandeln!<br>
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Wenn möglich die Brüche im Exponenten kürzen! Es ist <math>\frac{4}{6}=\frac{2}{3}</math> und damit kann man vielleicht leichter weitermachen.}}
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116/3 a) <math>2^{\frac{4}{5}}</math><br>
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c) <math>0,2^{\frac{1}{3}}=2^{-\frac{1}{3}}</math> - Die Basis soll eine natürliche Zahl sein!<br>
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d) <math>\left ( \frac{1}{40} \right)^{\frac{1}{12}}=40^{-\frac{1}{12}}</math><br>
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c) <math>320 = 64\cdot 5 = 2^6 \cdot 5</math> Damit ist <math>\sqrt[3]{320}=\sqrt[3]{2^6\cdot 5}=2^2\cdot \sqrt[3]{5}=4\sqrt[3]{5}</math><br>
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d) <math> 1250 = 625\cdot 2=5^4 \cdot 2</math>. Damit ist <math>\sqrt [4]{1250}=\sqrt [4]{5^4\cdot 2}=5\sqrt[4]{2}</math><br>
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e) <math>1083 = 3\cdot 361=3\cdot 19^2</math>. Damit ist <math>\sqrt {1083}=\sqrt {19^2\cdot 3}=19\sqrt 3</math><br>
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f) <math>7776=32\cdot 243=2^5 \cdot 3^5</math>. Damit ist <math>\sqrt [4]{7776}=\sqrt [4]{2^5\cdot 3^5}=2\cdot3\cdot\sqrt[5]{2\cdot 3}=6\sqrt[4]{6}</math> }}
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{{Aufgaben-blau|6|2=Und nun geht es zu Üben der Potenzgesetze: Buch S. 116 / 7 }}
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{{Lösung versteckt|1=a) <math>3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{3+2}{6}}=3^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{3^5}=\sqrt[6]{243}</math>;<br>
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<math>2^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{4}{5}}=2^{\frac{3-4}{5}}=2^{-\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{0,5}</math><br>
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... = <math>125^{\frac{2}{3}}=5^2=25</math><br>
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... = <math>a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}=a^{\frac{4}{12}}=a^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{a}</math>
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b) <math>27^{\frac{5}{3}}:27^2 =27^{\frac{5}{3}-2}=27^{-\frac{1}{3}}=3^{-1}=\frac{1}{3}</math><br>
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<math>81^{1,5}:81^{1,25}=81^{1,5-1,25}=81^{0,25}=81^{\frac{1}{4}}=\sqrt [4]{3^4}=3</math><br>
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... = <math>16^{0,75-1,25}=16^{-0,5}=4^{-1}=\frac{1}{4}=0,25</math><br>
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... = <math>b^{\frac{3}{2}} : b^{\frac{3}{6}}=b^{1,5-0,5}=b</math>
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c) <math>\left ( 32^{\frac{10}{3}} \right )^{\frac{3}{5}}=32^{\frac{10}{3}\cdot \frac{3}{5}}=32^{\frac{10\cdot 3}{3\cdot 5}}=32^2= 1024</math><br>
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... = <math>64^{\frac{1\cdot 21}{114\cdot 4}}=64^{\frac{3}{8}}=\left ( 2^6 \right )^{\frac{3}{8}}=2^{6\cdot \frac{3}{8}}=2^{\frac{9}{4}}=\sqrt [4]{2^9}=\sqrt [4]{512}</math><br>
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... = <math> 243^{1,1\cdot frac{2}{11}}=\left ( 3^5 \right)^{\frac{2,2}{11}}=3^{5\cdot \frac{1}{5}}=3</math><br>
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... = <math>a^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{a^3}</math> - in der Klammer steht eine Wurzel und Wurzelziehen und Quadrieren heben sich auf!
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d) <math>4^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=(4\cdot 2)^{\frac{2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}=2^2=4</math><br>
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<math>32^{0,75}:2^{0,75}=16^{\frac{3}{4}}=2^3 = 8</math><br>
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<math>3^{-\frac{1}{2}}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{-\frac{1}{2}}=2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt 2}</math><br>
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<math>a^{\frac{4}{3}}\cdot(a^2)^{\frac{4}{3}}=a^(a^3)^{\frac{4}{3}}=a^{3\cdot \frac{4}{3}}=a^4</math>
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e) <math>\sqrt [3]{4} \cdot \sqrt [4]{4} =4^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=4^{\frac{7}{12}}=(2^2)^{\frac{7}{12}}=2^{2\cdot \frac{7}{12}} =2^{\frac{7}{6}}=\sqrt [6]{2^7}=\sqrt [6]{128}</math><br>
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... = <math>7^{-\frac{3}{10}}</math><br>
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... = <math> 1</math><br>
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... = <math> b^{\frac{7}{6}}</math>
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Version vom 11. März 2021, 10:42 Uhr


Maehnrot.jpg
Merke:

Für die allgemeine Wurzel \sqrt[n]{a} kann man auch eine Potenz a^{\frac{1}{n}} schreiben. Es ist für a \in R_0^+, n \in N \ {1}

\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}

Weiter ist \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

Insbesondere ist \sqrt[n]{a^n}=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a

Beispiele:

27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3
8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt [3]{64}=4
512^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{512} = 2
625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5
625^{-\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625^{-1}} = \sqrt[4]{\frac{1}{625}}=\frac{1}{5}
256^{\frac{3}{8}} = \sqrt[8]{256^3} = \sqrt[8]{(2^8)^3}=\sqrt[8]{2^{24}}=\sqrt[8]{(2^3)^8}=2^3=8
256^{0,375}=256^{\frac{3}{8}} =8

Nuvola apps kig.png   Merke

Im Exponent kann nun ein Bruch stehen.
Auch dann gelten die bisher bekannten Potenzgesetze:
a^{\frac{m}{n}}\cdot a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}
a^{\frac{m}{n}}: a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}
a^{\frac{m}{n}}\cdot b^{\frac{m}{n}}=(ab)^{\frac{m}{n}}
a^{\frac{m}{n}}: b^{\frac{m}{n}}=(a:b)^{\frac{m}{n}}
\left ( a^{\frac{m}{n}} \right ) ^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}


Sind r und s rationale Zahlen, dann schreibt es sich einfacher


a^r \cdot a^s = a^{r+s}
a^r : a^s = a^{r-s}
a^r \cdot b^r = (ab)^r
a^r : b^r = (a:b)^r
(a^r)^s = a^{r\cdot s}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Schaue dir die Beispiel im Buch auf S. 114 in der unteren Hälfte und auf S. 115 an.

Beispiele:

Vereinfache so weit als möglich:
\sqrt 5 \cdot \sqrt [3]{5}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=5^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{5^5}\approx 3,82
6^{\frac{1}{2}}: 6^{\frac{1}{3}}=6^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=6^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{6}\approx 1,35
4^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2
28^{\frac{1}{3}}: 3,5^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2
7^{2,25}\cdot 7^{1,25}=7^{2,25-1,25}=7^1 =7
\sqrt 5 \cdot \sqrt [3]{25}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=5^{\frac{7}{6}}=\sqrt[6]{5^7}=5\cdot\sqrt[6]{5}\approx 6,54

Radiziere so weit als möglich (teilweises Radizieren)
\sqrt [5]{3072} = \sqrt [5]{3\cdot 1024}=\sqrt [5]{3\cdot 4^5}=4\cdot \sqrt[5]{3}\approx4,98
\sqrt[6]{640}=\sqrt [6]{10\cdot 2^6}=2\sqrt [6]{10}\approx 2,94


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Schaue dir dieses Video an und mache die Rechnungen mit.


Nuvola apps kig.png   Merke

Noch ein paar Tipps bevor es ans Rechnen geht!

Wenn ein Minuszeichen im Exponenten steht, dann beachte, dass a^{-r}=\left ( \frac{1}{a} \right )^r ist.

Bei der Einführung der rationalen Exponenten ist a^{\frac{m}{n}}=\sqrt [n]{a^m}=(\sqrt [n] {a})^m. Hier sieht man, dass der Nenner n des Exponenten für die Wurzel zuständig ist und der Zähler m potenziert.
Man hat auch zwei Möglichkeiten a^{\frac{m}{n}} zu berechnen:
1. a^{\frac{m}{n}} = \sqrt [n]{a^m}, d.h. es wird zuerst die Basis mit m potenziert und dann die m-te Wurzel gezogen.
2. a^{\frac{m}{n}} =(\sqrt [n] {a})^m, d.h. man zieht zuerst aus der Basis die n-te Wurzel und potenziert dann.

Am Beispiel 81^{\frac{3}{4}} sieht man, dass oft der zweite Weg der günstigere ist:
1. 81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{531441} = 27 Hier hilft nur noch der Taschenrechner, das ist im Kopf nicht machbar!
2. 81^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27 Hier blieben die Zahlen klein und überaschaubar.


Wenn der Term z.B. 79^{\frac{3}{4}} ist, dann weiß man, dass 79 eine Primzahl ist und es ist keine Wurzel möglich. Dann lässt man den Term auch gleich als Ergebnis 79^{\frac{3}{4}} stehen.
Man kann auch noch die Schreibweise ändern 79^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{79^3} = \sqrt[4]{493039}, das bringt aber nichts. Einzig einen Näherungswert mit dem Taschenrechner berechnen ist eventuell sinnvoll 79^{\frac{3}{4}} \approx 26,5.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Berechne ohne Taschenrechner.
a) 81^{\frac{1}{4}}; 216^{\frac{1}{3}}; 25^{\frac{3}{2}}; 32^{\frac{3}{5}}; 0,25^2

b) 10000^{-\frac{1}{4} }; 512^{\frac{2}{3} }; 4^{-2,5}; 1024^{1,1}; 343^{\frac{2}{3}}

c) 0,25^{\frac{3}{2}}; 0,008^{-\frac{2}{3}}; \left ( \frac{1}{9}\right )^{\frac{3}{2}}; \left ( -\frac{1}{27} \right )^{\frac{2}{3}}; 0,01^3

d) -\left ( \frac{27}{64}\right) ^{\frac{1}{3}}; \left ( \frac{27}{64}\right) ^{-\frac{1}{3}}; \left ( \frac{36}{49}\right) ^{-0,5}; - \left ( \frac{81}{256}\right) ^{-0,25}; -64^{\frac{1}{3}}; \left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}

a) ) 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt [4]{3^4}=3
216^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{6^3}=6
25^{\frac{3}{2}}=(\sqrt {25})^3=5^3=125
32^{\frac{3}{5}}=(\sqrt[5]{2^5})^3=2^3=8
0,25^2=0,0625

b) Es ist oft sinnvoll zuerst die Wurzel zu ziehen (Nenner) und dann zu Potenzieren (Zähler).
10000^{-\frac{1}{4}}=\left ( \frac{1}{10000} \right )^{\frac{1}{4}}=\sqrt [4]{\frac{1}{10^4}}=\frac{1}{10}
512^{\frac{2}{3}}=(\sqrt [3] {512}^2=8^2=64
4^{-2,5}=4^{-\frac{5}{2}}=\left( \frac{1}{4} \right )^{\frac{5}{2}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^5=\frac{1}{32}
1024^{1,1}=(2^10)^{\frac{11}{10}}=2^{11}=2048
343^{\frac{2}{3}}=(7^3)^{\frac{2}{3}}=7^2=49

c) Auch hier zuerst (mit den Nenner) radizieren und dann (mit dem Zähler) potenzieren.
0,25^{\frac{3}{2}}=0,5^3=0,125
0,008^{-\frac{2}{3}}=0,2^{-2}=(\frac{1}{5})^{-2}=25
\left ( \frac{1}{9}\right )^{\frac{3}{2}}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2=\frac{1}{9}
\left ( -\frac{1}{27} \right )^{\frac{2}{3}}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2 = \frac{1}{9}
0,01^3=0,000001

d) -\left ( \frac{27}{64}\right) ^{\frac{1}{3}}=- \sqrt[3]{\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}
\left ( \frac{27}{64}\right) ^{-\frac{1}{3}}=\left ( \frac{64}{27}\right) ^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}
\left ( \frac{36}{49}\right) ^{-0,5}=\left ( \frac{49}{36}\right) ^{0,5}=\sqrt { \frac{49}{36}}=\frac{7}{6}
- \left ( \frac{81}{256}\right) ^{-0,25}= - \left ( \frac{256}{81}\right) ^{\frac{1}{4}}=-\sqrt[4]{\frac{256}{81}}=-\frac{4}{3}
-64^{\frac{1}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4

\left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}=\left ( -\frac{16}{625} \right )^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{ -\frac{16}{625}} kann man nicht vereinfachen, da bei einer 4. Wurzel (geraden Wurzel) der Radikand nicht negativ sein darf!


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Buch S. 116 / 2, 3

Tipps: Dezimalzahlen in Brüche umwandeln!
Wenn möglich die Brüche im Exponenten kürzen! Es ist \frac{4}{6}=\frac{2}{3} und damit kann man vielleicht leichter weitermachen.

116/2 a) \sqrt 6; \sqrt[3]{12}; \sqrt [4]{8}; \sqrt [3]{0,0625};\sqrt [5] {5}; \sqrt 2; \sqrt {0,5}; 0,0625

b) 0,5; 0,25; \sqrt 2; 125; \frac{1}{9}; 25; 1; 36

c) \sqrt [3] {a}; \sqrt [4] {b^3};\sqrt [4]{\frac{1}{c^3}}; \sqrt [5]{\frac{1}{d^2}}; \sqrt[5]{e^4}; \sqrt[5]{\frac{1}{f^{13}}}; \sqrt [4]{g}; \sqrt [5]{h^{36}}

116/3 a) 2^{\frac{4}{5}}
b) 2^{\frac{4}{5}}
c) 0,2^{\frac{1}{3}}=2^{-\frac{1}{3}} - Die Basis soll eine natürliche Zahl sein!
d) \left ( \frac{1}{40} \right)^{\frac{1}{12}}=40^{-\frac{1}{12}}
e) 2^{\frac{5}{4}}

f) 3^{\frac{1}{2}}=3^{0,5}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Teilweises Radizieren: Buch S. 116 / 6

a) 54 = 2\cdot 27 = 2 \cdot 3^3. Damit ist \sqrt [3]{54}=\sqrt [3]{3^3\cdot 2}=3\sqrt [3]{2}
b) 480 = 32\cdot 15 = 2^5 \cdot 15. Damit ist \sqrt [5]{480}=2\sqrt [5]{15}
c) 320 = 64\cdot 5 = 2^6 \cdot 5 Damit ist \sqrt[3]{320}=\sqrt[3]{2^6\cdot 5}=2^2\cdot \sqrt[3]{5}=4\sqrt[3]{5}
d) 1250 = 625\cdot 2=5^4 \cdot 2. Damit ist \sqrt [4]{1250}=\sqrt [4]{5^4\cdot 2}=5\sqrt[4]{2}
e) 1083 = 3\cdot 361=3\cdot 19^2. Damit ist \sqrt {1083}=\sqrt {19^2\cdot 3}=19\sqrt 3

f) 7776=32\cdot 243=2^5 \cdot 3^5. Damit ist \sqrt [4]{7776}=\sqrt [4]{2^5\cdot 3^5}=2\cdot3\cdot\sqrt[5]{2\cdot 3}=6\sqrt[4]{6}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 6

Und nun geht es zu Üben der Potenzgesetze: Buch S. 116 / 7

a) 3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{3+2}{6}}=3^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{3^5}=\sqrt[6]{243};
2^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{4}{5}}=2^{\frac{3-4}{5}}=2^{-\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{0,5}
... = 125^{\frac{2}{3}}=5^2=25
... = a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}=a^{\frac{4}{12}}=a^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{a}

b) 27^{\frac{5}{3}}:27^2 =27^{\frac{5}{3}-2}=27^{-\frac{1}{3}}=3^{-1}=\frac{1}{3}
81^{1,5}:81^{1,25}=81^{1,5-1,25}=81^{0,25}=81^{\frac{1}{4}}=\sqrt [4]{3^4}=3
... = 16^{0,75-1,25}=16^{-0,5}=4^{-1}=\frac{1}{4}=0,25
... = b^{\frac{3}{2}} : b^{\frac{3}{6}}=b^{1,5-0,5}=b

c) \left ( 32^{\frac{10}{3}} \right )^{\frac{3}{5}}=32^{\frac{10}{3}\cdot \frac{3}{5}}=32^{\frac{10\cdot 3}{3\cdot 5}}=32^2= 1024
... = 64^{\frac{1\cdot 21}{114\cdot 4}}=64^{\frac{3}{8}}=\left ( 2^6 \right )^{\frac{3}{8}}=2^{6\cdot \frac{3}{8}}=2^{\frac{9}{4}}=\sqrt [4]{2^9}=\sqrt [4]{512}
... = 243^{1,1\cdot frac{2}{11}}=\left ( 3^5 \right)^{\frac{2,2}{11}}=3^{5\cdot \frac{1}{5}}=3
... = a^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{a^3} - in der Klammer steht eine Wurzel und Wurzelziehen und Quadrieren heben sich auf!

d) 4^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=(4\cdot 2)^{\frac{2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}=2^2=4
32^{0,75}:2^{0,75}=16^{\frac{3}{4}}=2^3 = 8
3^{-\frac{1}{2}}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{-\frac{1}{2}}=2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt 2}
a^{\frac{4}{3}}\cdot(a^2)^{\frac{4}{3}}=a^(a^3)^{\frac{4}{3}}=a^{3\cdot \frac{4}{3}}=a^4

e) \sqrt [3]{4} \cdot \sqrt [4]{4} =4^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=4^{\frac{7}{12}}=(2^2)^{\frac{7}{12}}=2^{2\cdot \frac{7}{12}} =2^{\frac{7}{6}}=\sqrt [6]{2^7}=\sqrt [6]{128}
... = 7^{-\frac{3}{10}}
... = 1

... = b^{\frac{7}{6}}
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