M11 Ableitung der Logarithmusfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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* Der Graph der ln-Funktion ist streng monoton steigend.
 
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Die Ableitung der ln-Funktion erhält man aus der Tatsache, dass die ln-Funktion Umkehrfunktion zur e-Funktion ist. Für <math>f:x\to e^x</math> ist <math>f^{-1}:x \to ln(x)</math> die Umkehrfunktion. Damit ist <math>f \circ f^{-1}(x)=x</math>. Für die Ableitung gilt hier (<math>f \circ f^{-1'} = 1</math> und mittels der Kettenregel erhält man<br>
 
Die Ableitung der ln-Funktion erhält man aus der Tatsache, dass die ln-Funktion Umkehrfunktion zur e-Funktion ist. Für <math>f:x\to e^x</math> ist <math>f^{-1}:x \to ln(x)</math> die Umkehrfunktion. Damit ist <math>f \circ f^{-1}(x)=x</math>. Für die Ableitung gilt hier (<math>f \circ f^{-1'} = 1</math> und mittels der Kettenregel erhält man<br>
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a) <math>f'(x) = \frac{4}{4x}=\frac{1}{x}</math><br>
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Oder mit den Rechengesetzen des Logarithmus ist f(x) = ln(4) + ln(x) und die Ableitung ist <math>f'(x)=0 + \frac{1}{x} =\frac{1}{x}</math><br>
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Damit ist <math>f'(x) =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2+5}\cdot 2x=\frac{x}{x^2+5}</math><br>
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d) Es ist (sin x)<sup>2</sup> +  (cos x)<sup>2</sup> = 1, also ist f(x) = ln(1) = 0 und f'(x) = 0.}}

Version vom 19. März 2021, 15:18 Uhr


30px   Merke

Die natürliche Logarithmusfunktion (ln-Funktion) ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

Die ln-Funktion f:x \to ln(x) hat folgende Eigenschaften:

  • D = R+, W = R
Ln-funktion.jpg
  • Der Graph hat genau eine Nullstelle (1;0), es ist ln(1) = 0.
  • ln(e) = 1
  • Der Graph der ln-Funktion ist streng monoton steigend.
  • Die negative y-Achse ist Asymptote.
  • Für x \to \infty ist ln(x) \to \infty.


Die Ableitung der ln-Funktion erhält man aus der Tatsache, dass die ln-Funktion Umkehrfunktion zur e-Funktion ist. Für f:x\to e^x ist f^{-1}:x \to ln(x) die Umkehrfunktion. Damit ist f \circ f^{-1}(x)=x. Für die Ableitung gilt hier (f \circ f^{-1'} = 1 und mittels der Kettenregel erhält man
f'(f^{-1}(x))\cdot f^{-1'}(x) = 1. Dies führt wieder zur Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}.
Die Ableitung der e-Funktion ist f '(x) = e^x.
Damit erhält man für die Umkehrfunktion f^{-1}:x \to ln(x) als Ableitung:
f'(x) = \frac{1}{f'(ln(x))}=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}.
Also ist die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ( ln(x))' = \frac{1}{x}.

Im folgenden Applet kann man diese Aussage über die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion \frac{1}{x} verifizieren. Über dem x-Wert des Punktes auf dem Graphen der ln-Funktion wird die Steigung der Tangente in dem Punkt an den Graphen angetragen. Dieser Punkt liegt auf der Hypberbel \frac{1}{x}.

30px   Merke

Zur Wiederholung: Die Rechengesetze des Logarithmus

Produkt: \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y
Quotient: \log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y
Potenz: \log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.

Wurzel: \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac 1n\log_b x.

Basisumrechnung: \log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}


30px   Aufgabe 1

Leiten Sie ab
a) f(x) = ln(4x)
b) f(x) = ln(\sqrt{x^2 + 5})
c) f(x) = ln(cos(x)) für cos(x) > 0
d) f(x) = ln((sin x)^2 + (cos x)^2)

Mit der Kettenregel erhält man
a) f'(x) = \frac{4}{4x}=\frac{1}{x}
Oder mit den Rechengesetzen des Logarithmus ist f(x) = ln(4) + ln(x) und die Ableitung ist f'(x)=0 + \frac{1}{x} =\frac{1}{x}
b) Es ist ln(\sqrt{x^2 + 5})=ln((x^2+5)^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}\cdot ln(x^2+5)
Damit ist f'(x) =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2+5}\cdot 2x=\frac{x}{x^2+5}
c) f'(x) = \frac{1}{cos(x)}\cdot (-sin(x) = - \frac{sin(x)}{cos(x)}=-tan(x)

d) Es ist (sin x)2 + (cos x)2 = 1, also ist f(x) = ln(1) = 0 und f'(x) = 0.
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