M9 Potenzen mit rationalen Exponenten: Unterschied zwischen den Versionen

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c) <math>0,2^{\frac{1}{3}}=5^{-\frac{1}{3}}</math> - Die Basis soll eine natürliche Zahl sein!<br>
 
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d) <math>\left ( \frac{1}{40} \right)^{\frac{1}{12}}=40^{-\frac{1}{12}}</math><br>
 
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Hier kann man das Ergebnis noch teilweise radizieren. Es ist <math>40 = 2^3 \cdot 5</math>, also <math>40^{-\frac{1}{12}}=(2^3 \cdot 5)^{-\frac{1}{12}}=2^{-\frac{3}{12}}\cdot 5^{-\frac{1}{12}}=2^{-\frac{1}{4}}\cdot 5^{-\frac{1}{12}}</math><br>
 
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Bei d) führt die Frage nach dem Schnittpunkt auf die Gleichung x<sup>3</sup> = 2, die man in b) schon gelöst hat.  
 
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Allgemein kann man die Problemstellung lösen. Der "alte Altar" hat das Volumen V = <<sup>3</sup>. Der neue Altar mit Seitenlänge b soll doppeltes Volumen haben, also v = b<sup>3</sup> = 2 · a<sup>3</sup>. Dies führt zur Gleichung b<sup>3 /sup> = 2 · a<sup>3</sup> und zur Lösung <math>b = \sqrt [3] {2} \cdot a</math>.
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Allgemein kann man die Problemstellung lösen. Der "alte Altar" hat das Volumen V = a<sup>3</sup>. Der neue Altar mit Seitenlänge b soll doppeltes Volumen haben, also V = b<sup>3</sup> = 2 · a<sup>3</sup>. Dies führt zur Gleichung b<sup>3 </sup> = 2 · a<sup>3</sup> und zur Lösung <math>b = \sqrt [3] {2} \cdot a</math>.
  
 
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Aktuelle Version vom 24. März 2021, 17:53 Uhr


Maehnrot.jpg
Merke:

Für die allgemeine Wurzel \sqrt[n]{a} kann man auch eine Potenz a^{\frac{1}{n}} schreiben. Es ist für a \in R_0^+, n \in N \ {1}

\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}

Weiter ist \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

Insbesondere ist \sqrt[n]{a^n}=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a

Beispiele:

27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3
8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt [3]{64}=4
512^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{512} = 2
625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5
625^{-\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625^{-1}} = \sqrt[4]{\frac{1}{625}}=\frac{1}{5}
256^{\frac{3}{8}} = \sqrt[8]{256^3} = \sqrt[8]{(2^8)^3}=\sqrt[8]{2^{24}}=\sqrt[8]{(2^3)^8}=2^3=8
256^{0,375}=256^{\frac{3}{8}} =8

Nuvola apps kig.png   Merke

Für a^{\frac{m}{n}} hat man zwei mögliche Wurzelschreibweisen:

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} oder a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt [n]{a})^m.
Nuvola apps kig.png   Merke

Im Exponent kann nun ein Bruch stehen.
Auch dann gelten die bisher bekannten Potenzgesetze:
a^{\frac{m}{n}}\cdot a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}
a^{\frac{m}{n}}: a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}
a^{\frac{m}{n}}\cdot b^{\frac{m}{n}}=(ab)^{\frac{m}{n}}
a^{\frac{m}{n}}: b^{\frac{m}{n}}=(a:b)^{\frac{m}{n}}
\left ( a^{\frac{m}{n}} \right ) ^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}


Sind r und s rationale Zahlen, dann schreibt es sich einfacher


a^r \cdot a^s = a^{r+s}
a^r : a^s = a^{r-s}
a^r \cdot b^r = (ab)^r
a^r : b^r = (a:b)^r
(a^r)^s = a^{r\cdot s}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Schaue dir die Beispiele im Buch auf S. 114 in der unteren Hälfte und auf S. 115 an.

Beispiele:

Vereinfache so weit als möglich:
\sqrt 5 \cdot \sqrt [3]{5}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=5^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{5^5}\approx 3,82
6^{\frac{1}{2}}: 6^{\frac{1}{3}}=6^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=6^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{6}\approx 1,35
4^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2
28^{\frac{1}{3}}: 3,5^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2
7^{2,25}: 7^{1,25}=7^{2,25-1,25}=7^1 =7
\sqrt 5 \cdot \sqrt [3]{25}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=5^{\frac{7}{6}}=\sqrt[6]{5^7}=5\cdot\sqrt[6]{5}\approx 6,54

Radiziere so weit als möglich (teilweises Radizieren)
\sqrt [5]{3072} = \sqrt [5]{3\cdot 1024}=\sqrt [5]{3\cdot 4^5}=4\cdot \sqrt[5]{3}\approx4,98
\sqrt[6]{640}=\sqrt [6]{10\cdot 2^6}=2\sqrt [6]{10}\approx 2,94


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Schaue dir dieses Video an und mache die Rechnungen mit.


Nuvola apps kig.png   Merke

Noch ein paar Tipps bevor es ans Rechnen geht!

Wenn ein Minuszeichen im Exponenten steht, dann beachte, dass a^{-r}=\left ( \frac{1}{a} \right )^r ist.

Bei der Einführung der rationalen Exponenten ist a^{\frac{m}{n}}=\sqrt [n]{a^m}=(\sqrt [n] {a})^m. Hier sieht man, dass der Nenner n des Exponenten für die Wurzel zuständig ist und der Zähler m potenziert.
Man hat auch zwei Möglichkeiten a^{\frac{m}{n}} zu berechnen:
1. a^{\frac{m}{n}} = \sqrt [n]{a^m}, d.h. es wird zuerst die Basis mit m potenziert und dann die m-te Wurzel gezogen.
2. a^{\frac{m}{n}} =(\sqrt [n] {a})^m, d.h. man zieht zuerst aus der Basis die n-te Wurzel und potenziert dann.

Am Beispiel 81^{\frac{3}{4}} sieht man, dass oft der zweite Weg der günstigere ist:
1. 81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{531441} = 27 Hier hilft nur noch der Taschenrechner, das ist im Kopf nicht machbar!
2. 81^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27 Hier blieben die Zahlen klein und überschaubar.


Wenn der Term z.B. 79^{\frac{3}{4}} ist, dann weiß man, dass 79 eine Primzahl ist und es ist keine Wurzel möglich. Dann lässt man den Term auch gleich als Ergebnis 79^{\frac{3}{4}} stehen.
Man kann auch noch die Schreibweise ändern 79^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{79^3} = \sqrt[4]{493039}, das bringt aber nichts. Einzig einen Näherungswert mit dem Taschenrechner berechnen ist eventuell sinnvoll 79^{\frac{3}{4}} \approx 26,5.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Berechne ohne Taschenrechner.
a) 81^{\frac{1}{4}}; 216^{\frac{1}{3}}; 25^{\frac{3}{2}}; 32^{\frac{3}{5}}; 0,25^2

b) 10000^{-\frac{1}{4} }; 512^{\frac{2}{3} }; 4^{-2,5}; 1024^{1,1}; 343^{\frac{2}{3}}

c) 0,25^{\frac{3}{2}}; 0,008^{-\frac{2}{3}}; \left ( \frac{1}{9}\right )^{\frac{3}{2}}; \left ( -\frac{1}{27} \right )^{\frac{2}{3}}; 0,01^3

d) -\left ( \frac{27}{64}\right) ^{\frac{1}{3}}; \left ( \frac{27}{64}\right) ^{-\frac{1}{3}}; \left ( \frac{36}{49}\right) ^{-0,5}; - \left ( \frac{81}{256}\right) ^{-0,25}; -64^{\frac{1}{3}}; \left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}

a) ) 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt [4]{3^4}=3
216^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{6^3}=6
25^{\frac{3}{2}}=(\sqrt {25})^3=5^3=125
32^{\frac{3}{5}}=(\sqrt[5]{2^5})^3=2^3=8
0,25^2=0,0625

b) Es ist oft sinnvoll zuerst die Wurzel zu ziehen (Nenner) und dann zu Potenzieren (Zähler).
10000^{-\frac{1}{4}}=\left ( \frac{1}{10000} \right )^{\frac{1}{4}}=\sqrt [4]{\frac{1}{10^4}}=\frac{1}{10}
512^{\frac{2}{3}}=(\sqrt [3] {512}^2=8^2=64
4^{-2,5}=4^{-\frac{5}{2}}=\left( \frac{1}{4} \right )^{\frac{5}{2}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^5=\frac{1}{32}
1024^{1,1}=(2^10)^{\frac{11}{10}}=2^{11}=2048
343^{\frac{2}{3}}=(7^3)^{\frac{2}{3}}=7^2=49

c) Auch hier zuerst (mit den Nenner) radizieren und dann (mit dem Zähler) potenzieren.
0,25^{\frac{3}{2}}=0,5^3=0,125
0,008^{-\frac{2}{3}}=0,2^{-2}=(\frac{1}{5})^{-2}=25
\left ( \frac{1}{9}\right )^{\frac{3}{2}}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2=\frac{1}{9}
\left ( -\frac{1}{27} \right )^{\frac{2}{3}}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2 = \frac{1}{9}
0,01^3=0,000001

d) -\left ( \frac{27}{64}\right) ^{\frac{1}{3}}=- \sqrt[3]{\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}
\left ( \frac{27}{64}\right) ^{-\frac{1}{3}}=\left ( \frac{64}{27}\right) ^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}
\left ( \frac{36}{49}\right) ^{-0,5}=\left ( \frac{49}{36}\right) ^{0,5}=\sqrt { \frac{49}{36}}=\frac{7}{6}
- \left ( \frac{81}{256}\right) ^{-0,25}= - \left ( \frac{256}{81}\right) ^{\frac{1}{4}}=-\sqrt[4]{\frac{256}{81}}=-\frac{4}{3}
-64^{\frac{1}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4

\left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}=\left ( -\frac{16}{625} \right )^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{ -\frac{16}{625}} kann man nicht vereinfachen, da bei einer 4. Wurzel (geraden Wurzel) der Radikand nicht negativ sein darf!


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Buch S. 116 / 2, 3

Tipps: Dezimalzahlen in Brüche umwandeln!
Wenn möglich die Brüche im Exponenten kürzen! Es ist \frac{4}{6}=\frac{2}{3} und damit kann man vielleicht leichter weitermachen.

116/2 a) \sqrt 6; \sqrt[3]{12}; \sqrt [4]{8}; \sqrt [3]{0,0625};\sqrt [5] {5}; \sqrt 2; \sqrt {0,5}; 0,0625

b) 0,5; 0,25; \sqrt 2; 125; \frac{1}{9}; 25; 1; 36

c) \sqrt [3] {a}; \sqrt [4] {b^3};\sqrt [4]{\frac{1}{c^3}}; \sqrt [5]{\frac{1}{d^2}}; \sqrt[5]{e^4}; \sqrt[5]{\frac{1}{f^{13}}}; \sqrt [4]{g}; \sqrt [5]{h^{36}}

116/3 a) 2^{\frac{4}{5}}
b) 2^{\frac{4}{5}}
c) 0,2^{\frac{1}{3}}=5^{-\frac{1}{3}} - Die Basis soll eine natürliche Zahl sein!
d) \left ( \frac{1}{40} \right)^{\frac{1}{12}}=40^{-\frac{1}{12}}
Hier kann man das Ergebnis noch teilweise radizieren. Es ist 40 = 2^3 \cdot 5, also 40^{-\frac{1}{12}}=(2^3 \cdot 5)^{-\frac{1}{12}}=2^{-\frac{3}{12}}\cdot 5^{-\frac{1}{12}}=2^{-\frac{1}{4}}\cdot 5^{-\frac{1}{12}}
e) 2^{\frac{5}{4}}

f) 3^{\frac{1}{2}}=3^{0,5}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Teilweises Radizieren: Buch S. 116 / 6

a) 54 = 2\cdot 27 = 2 \cdot 3^3. Damit ist \sqrt [3]{54}=\sqrt [3]{3^3\cdot 2}=3\sqrt [3]{2}
b) 480 = 32\cdot 15 = 2^5 \cdot 15. Damit ist \sqrt [5]{480}=2\sqrt [5]{15}
c) 320 = 64\cdot 5 = 2^6 \cdot 5 Damit ist \sqrt[3]{320}=\sqrt[3]{2^6\cdot 5}=2^2\cdot \sqrt[3]{5}=4\sqrt[3]{5}
d) 1250 = 625\cdot 2=5^4 \cdot 2. Damit ist \sqrt [4]{1250}=\sqrt [4]{5^4\cdot 2}=5\sqrt[4]{2}
e) 1083 = 3\cdot 361=3\cdot 19^2. Damit ist \sqrt {1083}=\sqrt {19^2\cdot 3}=19\sqrt 3

f) 7776=32\cdot 243=2^5 \cdot 3^5. Damit ist \sqrt [4]{7776}=\sqrt [4]{2^5\cdot 3^5}=2\cdot3\cdot\sqrt[5]{2\cdot 3}=6\sqrt[4]{6}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 6

Und nun geht es zum Üben der Potenzgesetze: Buch S. 116 / 7

a) 3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{3+2}{6}}=3^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{3^5}=\sqrt[6]{243};
2^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{4}{5}}=2^{\frac{3-4}{5}}=2^{-\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{0,5}
... = 125^{\frac{2}{3}}=5^2=25
... = a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}=a^{\frac{4}{12}}=a^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{a}

b) 27^{\frac{5}{3}}:27^2 =27^{\frac{5}{3}-2}=27^{-\frac{1}{3}}=3^{-1}=\frac{1}{3}
81^{1,5}:81^{1,25}=81^{1,5-1,25}=81^{0,25}=81^{\frac{1}{4}}=\sqrt [4]{3^4}=3
... = 16^{0,75-1,25}=16^{-0,5}=4^{-1}=\frac{1}{4}=0,25
... = b^{\frac{3}{2}} : b^{\frac{3}{6}}=b^{1,5-0,5}=b

c) \left ( 32^{\frac{10}{3}} \right )^{\frac{3}{5}}=32^{\frac{10}{3}\cdot \frac{3}{5}}=32^{\frac{10\cdot 3}{3\cdot 5}}=32^2= 1024
... = 64^{\frac{1\cdot 21}{114\cdot 4}}=64^{\frac{3}{8}}=\left ( 2^6 \right )^{\frac{3}{8}}=2^{6\cdot \frac{3}{8}}=2^{\frac{9}{4}}=\sqrt [4]{2^9}=\sqrt [4]{512}
... = 243^{1,1\cdot frac{2}{11}}=\left ( 3^5 \right)^{\frac{2,2}{11}}=3^{5\cdot \frac{1}{5}}=3
... = a^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{a^3} - in der Klammer steht eine Wurzel und Wurzelziehen und Quadrieren heben sich auf!

d) 4^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=(4\cdot 2)^{\frac{2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}=2^2=4
32^{0,75}:2^{0,75}=16^{\frac{3}{4}}=2^3 = 8
3^{-\frac{1}{2}}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{-\frac{1}{2}}=2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt 2}
a^{\frac{4}{3}}\cdot(a^2)^{\frac{4}{3}}=a^(a^3)^{\frac{4}{3}}=a^{3\cdot \frac{4}{3}}=a^4

e) \sqrt [3]{4} \cdot \sqrt [4]{4} =4^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=4^{\frac{7}{12}}=(2^2)^{\frac{7}{12}}=2^{2\cdot \frac{7}{12}} =2^{\frac{7}{6}}=\sqrt [6]{2^7}=\sqrt [6]{128}
... = 7^{-\frac{3}{10}}
... = 1
... = b^{\frac{7}{6}}

f) ... = \sqrt [3]{18}=18^{\frac{1}{3}}
... = \sqrt [5]{243} = 3
... = \sqrt [4]{16}=2
... = 1 - es ist stets a^0 = 1

g) \sqrt {\sqrt [3]{6}}=\left ( 6^{\frac{1}{3}} \right ) ^{\frac{1}{2}}=6^{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}}=6^{\frac{1}{6}}=\sqrt [6]{6}
... = 512^{\frac{1}{9}}=(2^9)^\frac{\frac{1}{9}}=2^{\frac{9}{9}}=2
... = (2^5)^{\frac{1}{20}}=2^{5\cdot \frac{1}{20}}=2^{\frac{1}{4}}=\sqrt [4]{2}

... = (a^{12})^{\frac{1}{12}}=a^{12\cdot \frac{1}{12}}=a


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 7

Und nun noch ein paar Anwendungsaufgaben: Buch S. 117 / 9, 11

117/9
a) Ein Kubikmeterwürfel hat das Volumen V = 1 m3. Ein Würfel der doppeltes Volumen hat hat das Volumen Vneu = 2 m3 und die Seitenlänge b = \sqrt [3]{2} m \approx 1,26

b) TR liefert b \approx 1,260

c) ---

d) 117-9d.jpg

e) In Aufgabe a) wird die Seitenlänge a = 1m zu Grunde gelegt und man rechnet die Seitenlänge des neuen Altars aus.
Bei b) wird die Gleichung x3 = 2, die sich algebraisch als Lösung ergibt nach x aufgelöst und man erhält die Seitenlänge des "doppelten Kubikmeterwürfels".
Bei d) führt die Frage nach dem Schnittpunkt auf die Gleichung x3 = 2, die man in b) schon gelöst hat.

Allgemein kann man die Problemstellung lösen. Der "alte Altar" hat das Volumen V = a3. Der neue Altar mit Seitenlänge b soll doppeltes Volumen haben, also V = b3 = 2 · a3. Dies führt zur Gleichung b3 = 2 · a3 und zur Lösung b = \sqrt [3] {2} \cdot a.

117 /11
a) 117--11a.jpg
b) 117--11b.jpg

Die Werte stimmen näherungsweise überein.
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