M9 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „Am Straßenrand sieht man oft Verkehrszeichen, die Auf eine Steigung oder ein Gefälle hinweisen. <center>Datei:Zeichen_110-58_-_Steigung%2C_StVO_1992.svg|25…“)
 
Zeile 14: Zeile 14:
 
Es ist also <math>tan(\alpha) = \frac{a}{b}</math> und <math>tan(\beta) = \frac{b}{a}</math>.  }}
 
Es ist also <math>tan(\alpha) = \frac{a}{b}</math> und <math>tan(\beta) = \frac{b}{a}</math>.  }}
  
−
{{Aufgaben-blau|1|2=Die Tangenswerte berechnet man meist mit dem Taschenrechner. Auf dem Taschenrechner findest du die Taste ''tan''.
+
{{Aufgaben-blau|1|2=1. Die Tangenswerte berechnet man meist mit dem Taschenrechner. Auf dem Taschenrechner findest du die Taste ''tan''.
  
−
Berechne tan(45°), tan(60°), tan (15°), tan(80°), tan(30°), tan(90°) }}
+
Berechne tan(45°), tan(60°), tan (15°), tan(80°), tan(30°), tan(90°)  
  
−
{{Lösung versteckt|1=tan(45°)= 1<br>
+
2. Die Zweitbelegung der Taste ''tan'' rufst du auf, indem du vorher die Taste ''shift'' oder ''inv'' betätigst. Welche Taste es ist hängt von dem Typ deines Taschenrechners ab. Damit erhältst du zu einem gegebenen Tangenswert den zugehörigen Winkel.
 +
 
 +
Bestimme den <math>tan(\alpha)=1; tan(\beta) = 2; tan(\gamma) = 0,5</math>}}
 +
 
 +
{{Lösung versteckt|1=1. tan(45°)= 1<br>
 
tan(60°)= 1,732...<br>
 
tan(60°)= 1,732...<br>
 
tan (15°)=0,2679... <br>
 
tan (15°)=0,2679... <br>
 
tan(80°)=5,6712...<br>
 
tan(80°)=5,6712...<br>
 
tan(30°)=0,5773...<br>
 
tan(30°)=0,5773...<br>
−
tan(90°) der TR liefert ''Error'', dieser Tangens ist nicht definiert! }}
+
tan(90°) der TR liefert ''Error'', dieser Tangens ist nicht definiert!  
 +
 
 +
2. <math>\alpha = 45^o</math><br>
 +
<math>\beta = 63,4^o</math><br>
 +
<math>\gamma =26,6^o</math>}}
  
 
'''Beispiele'''  
 
'''Beispiele'''  

Version vom 31. März 2021, 06:50 Uhr

Am Straßenrand sieht man oft Verkehrszeichen, die Auf eine Steigung oder ein Gefälle hinweisen.

Zeichen 110-58 - Steigung, StVO 1992.svg

Bei der Behandlung der linearen Funktionen und ihrer Graphen hatten wir bereits den Begriff der Steigung. 12% Steigung bedeutet, dass pro 100 m in waagerechter Richtung die Höhe um 12 m zunimmt.
Aus der Geometrie würde man Steigung eher mit einem Winkel verbinden. Unter welchem Winkel ist die Gerade gegen die Waagrechte?

Maehnrot.jpg
Merke:

Für ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC kennt man diese Bezeichnungen.

Rechtwinkliges Dreieck.jpg

Das Verhältnis aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete eines der beiden spitzen Winkel wird als Tangens dieses Winkels bezeichnet.

Tangens.jpg

Für den Tangens des Winkels \alpha schreibt man tan(\alpha) und spricht "Tangens von Alpha".

Es ist also tan(\alpha) = \frac{a}{b} und tan(\beta) = \frac{b}{a}.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

1. Die Tangenswerte berechnet man meist mit dem Taschenrechner. Auf dem Taschenrechner findest du die Taste tan.

Berechne tan(45°), tan(60°), tan (15°), tan(80°), tan(30°), tan(90°)

2. Die Zweitbelegung der Taste tan rufst du auf, indem du vorher die Taste shift oder inv betätigst. Welche Taste es ist hängt von dem Typ deines Taschenrechners ab. Damit erhältst du zu einem gegebenen Tangenswert den zugehörigen Winkel.

Bestimme den tan(\alpha)=1; tan(\beta) = 2; tan(\gamma) = 0,5

1. tan(45°)= 1
tan(60°)= 1,732...
tan (15°)=0,2679...
tan(80°)=5,6712...
tan(30°)=0,5773...
tan(90°) der TR liefert Error, dieser Tangens ist nicht definiert!

2. \alpha = 45^o
\beta = 63,4^o

\gamma =26,6^o

Beispiele

Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man
1. die Längen der Katheten a = 5m und b = 7m. Wie groß sind die Innenwinkel des Dreiecks?
Lösung: Es ist tan(\alpha) = \frac{a}{b}=\frac{5m}{7m}=0,714285..... Mit der INV-tan-Taste am TR erhält man \alpha = 35,5^o
2. die Länge der Kathete a = 5m und den Winkel \beta = 65^o. Wie lang ist die Kathete b, die Hypotenuse c und wie groß ist der Winkel \alpha?
Lösung: Es ist tan(\beta) = \frac{b}{a}. Diese Gleichung löst man nach b auf und erhält b = a\cdot tan(\beta). Setzt man die Werte ein erhält man b = 10,7m und mit dem Satz von Pythagoras c = \sqrt{(5m)^2+(10,7m)^2}=\sqrt {139,49m^2}\approx 11,8m.
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden spitzen Winkel 90°, also ist \alpha = 25^o


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Berechne die Größe des Winkels \varphi, den die Gerade g: y = \frac{2}{3}x -1 mit der x-Achse einschließt.

Man zeichnet das Steigungsdreieck und liest daraus ab, dass die zwei Katheten die Längen 3 und 2 haben.

127-bsp3.jpg
Es ist tan(\varphi)=\frac{2}{3}. Mit dem TR erhält man \varphi \approx 33,7^o.


Maehnrot.jpg
Merke:

Für ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC mit diesen Bezeichnungen

Rechtwinkliges Dreieck.jpg

führt man weitere Verhältnisse ein.

Das Verhältnis aus der Länge der Gegenkathete eines der beiden spitzen Winkel und der Länge der Hypotenuse wird als Sinus dieses Winkels bezeichnet.

Sinus1.jpg

Das Verhältnis aus der Länge der Ankathete eines der beiden spitzen Winkel und der Länge der Hypotenuse wird als Kosinus dieses Winkels bezeichnet.

Kosinus.jpg

Für den Sinus des Winkels \alpha schreibt man sin(\alpha) und spricht "Sinus von Alpha",
für den Kosinus des Winkels \alpha schreibt man cos(\alpha) und spricht "Kosinus von Alpha".

Es ist sin(\alpha)=\frac{a}{c}, cos(\alpha)=\frac{b}{c} und sin(\beta)=\frac{b}{c}, cos(\beta)=\frac{a}{c}.

Von „http://rsg.zum.de/index.php?title=M9_Trigonometrie_am_rechtwinkligen_Dreieck&oldid=11661“