M9 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen

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Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}, cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math> und <math>sin(\beta)=\frac{b}{c}, cos(\beta)=\frac{a}{c}</math>. }}
 
Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}, cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math> und <math>sin(\beta)=\frac{b}{c}, cos(\beta)=\frac{a}{c}</math>. }}
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{{Aufgaben-blau|3|2=Auf dem Taschenrechner findest du die ''sin''-Taste und die ''cos''-Taste, die du ähnlich wie die ''tan''-Taste bedienst.
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1. Berechne sin(30°), sin(45°), sin(60°), sin(37°).
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2. Berechne den Winkel <math>sin(\alpha) = 0,5; sin(\beta) = 0,7071; sin(\gamma)=0,8660</math>.
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3. Berechne cos(30°), cos(45°), cos(60°), cos(37°).
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4. Berechne den Winkel <math>cos(\alpha) = 0,5; cos(\beta) = 0,7071; cos(\gamma)=0,8660</math>. }}
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3. cos(30°)= 0,87<br>
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4. <math>\alpha = 60^o; \beta = 45^o; \gamma = 30^o</math> }}
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{{Aufgaben-blau|4|2=1. Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Länge 5cm der Hypotenuse und die Größe 30° des Winkels <math>\alpha</math>. Ermittle die Längen der beiden Katheten.
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2. Ein 10m langes Brett wird an einem Ende auf ein 1m hohes Podest gelegt und bildet eine schiefe Ebene. Wie groß ist der Steigungswinkel <math>\alpha></math>?
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{{Lösung versteckt|1=1. Der rechte Winkel sei bei C. Damit hat man die üblichen Bezeichnungen.<br>
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Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math> und <math>cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math>.<br>
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Die Gleichungen löst man nach a bzw. b auf. Es ist <math>a = c\cdot sin(\alpha), b = c \cdot cos(\alpha)</math>.<br>
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Setzt man die bekannten Werte ein, so ist <math>a = 5cm \cdot sin(30^o)= 2,5cm</math> und <math>b = 5cm \cdot cos(30^o) = 4,3cm</math>.
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2. Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{1m}{10m}=0,1</math> und <math>\alpha = 5,73917...^o\approx 6^o</math>. }}

Version vom 31. März 2021, 10:15 Uhr

Am Straßenrand sieht man oft Verkehrszeichen, die Auf eine Steigung oder ein Gefälle hinweisen.

Zeichen 110-58 - Steigung, StVO 1992.svg

Bei der Behandlung der linearen Funktionen und ihrer Graphen hatten wir bereits den Begriff der Steigung. 12% Steigung bedeutet, dass pro 100 m in waagerechter Richtung die Höhe um 12 m zunimmt.
Aus der Geometrie würde man Steigung eher mit einem Winkel verbinden. Unter welchem Winkel ist die Gerade gegen die Waagrechte?

Maehnrot.jpg
Merke:

Für ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC kennt man diese Bezeichnungen.

Rechtwinkliges Dreieck.jpg

Das Verhältnis aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete eines der beiden spitzen Winkel wird als Tangens dieses Winkels bezeichnet.

Tangens.jpg

Für den Tangens des Winkels \alpha schreibt man tan(\alpha) und spricht "Tangens von Alpha".

Es ist also tan(\alpha) = \frac{a}{b} und tan(\beta) = \frac{b}{a}.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

1. Die Tangenswerte berechnet man meist mit dem Taschenrechner. Auf dem Taschenrechner findest du die Taste tan.

Berechne tan(45°), tan(60°), tan (15°), tan(80°), tan(30°), tan(90°)

2. Die Zweitbelegung der Taste tan rufst du auf, indem du vorher die Taste shift oder inv betätigst. Welche Taste es ist hängt von dem Typ deines Taschenrechners ab. Damit erhältst du zu einem gegebenen Tangenswert den zugehörigen Winkel.

Bestimme den tan(\alpha)=1; tan(\beta) = 2; tan(\gamma) = 0,5

1. tan(45°)= 1
tan(60°)= 1,732...
tan (15°)=0,2679...
tan(80°)=5,6712...
tan(30°)=0,5773...
tan(90°) der TR liefert Error, dieser Tangens ist nicht definiert!

2. \alpha = 45^o
\beta = 63,4^o

\gamma =26,6^o

Beispiele

Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man
1. die Längen der Katheten a = 5m und b = 7m. Wie groß sind die Innenwinkel des Dreiecks?
Lösung: Es ist tan(\alpha) = \frac{a}{b}=\frac{5m}{7m}=0,714285..... Mit der INV-tan-Taste am TR erhält man \alpha = 35,5^o
2. die Länge der Kathete a = 5m und den Winkel \beta = 65^o. Wie lang ist die Kathete b, die Hypotenuse c und wie groß ist der Winkel \alpha?
Lösung: Es ist tan(\beta) = \frac{b}{a}. Diese Gleichung löst man nach b auf und erhält b = a\cdot tan(\beta). Setzt man die Werte ein erhält man b = 10,7m und mit dem Satz von Pythagoras c = \sqrt{(5m)^2+(10,7m)^2}=\sqrt {139,49m^2}\approx 11,8m.
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden spitzen Winkel 90°, also ist \alpha = 25^o


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Berechne die Größe des Winkels \varphi, den die Gerade g: y = \frac{2}{3}x -1 mit der x-Achse einschließt.

Man zeichnet das Steigungsdreieck und liest daraus ab, dass die zwei Katheten die Längen 3 und 2 haben.

127-bsp3.jpg
Es ist tan(\varphi)=\frac{2}{3}. Mit dem TR erhält man \varphi \approx 33,7^o.


Maehnrot.jpg
Merke:

Für ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC mit diesen Bezeichnungen

Rechtwinkliges Dreieck.jpg

führt man weitere Verhältnisse ein.

Das Verhältnis aus der Länge der Gegenkathete eines der beiden spitzen Winkel und der Länge der Hypotenuse wird als Sinus dieses Winkels bezeichnet.

Sinus1.jpg

Das Verhältnis aus der Länge der Ankathete eines der beiden spitzen Winkel und der Länge der Hypotenuse wird als Kosinus dieses Winkels bezeichnet.

Kosinus.jpg

Für den Sinus des Winkels \alpha schreibt man sin(\alpha) und spricht "Sinus von Alpha",
für den Kosinus des Winkels \alpha schreibt man cos(\alpha) und spricht "Kosinus von Alpha".

Es ist sin(\alpha)=\frac{a}{c}, cos(\alpha)=\frac{b}{c} und sin(\beta)=\frac{b}{c}, cos(\beta)=\frac{a}{c}.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Auf dem Taschenrechner findest du die sin-Taste und die cos-Taste, die du ähnlich wie die tan-Taste bedienst.

1. Berechne sin(30°), sin(45°), sin(60°), sin(37°).

2. Berechne den Winkel sin(\alpha) = 0,5; sin(\beta) = 0,7071; sin(\gamma)=0,8660.

3. Berechne cos(30°), cos(45°), cos(60°), cos(37°).

4. Berechne den Winkel cos(\alpha) = 0,5; cos(\beta) = 0,7071; cos(\gamma)=0,8660.

1. sin(30°)= 0,5
sin(45°)=0,71
sin(60°)=0,87
sin(37°)= 0,60

2. \alpha = 30^o; \beta = 45^o; \gamma = 60^o

3. cos(30°)= 0,87
cos(45°)= 0,71
cos(60°)= 0,5
cos(37°) = 0,8

4. \alpha = 60^o; \beta = 45^o; \gamma = 30^o


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

1. Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Länge 5cm der Hypotenuse und die Größe 30° des Winkels \alpha. Ermittle die Längen der beiden Katheten.

2. Ein 10m langes Brett wird an einem Ende auf ein 1m hohes Podest gelegt und bildet eine schiefe Ebene. Wie groß ist der Steigungswinkel \alpha>?

131-bspl3.jpg

1. Der rechte Winkel sei bei C. Damit hat man die üblichen Bezeichnungen.
Es ist sin(\alpha)=\frac{a}{c} und cos(\alpha)=\frac{b}{c}.
Die Gleichungen löst man nach a bzw. b auf. Es ist a = c\cdot sin(\alpha), b = c \cdot cos(\alpha).
Setzt man die bekannten Werte ein, so ist a = 5cm \cdot sin(30^o)= 2,5cm und b = 5cm \cdot cos(30^o) = 4,3cm.

2. Es ist sin(\alpha)=\frac{1m}{10m}=0,1 und \alpha = 5,73917...^o\approx 6^o.
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