M9 Aufgaben zur Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 14: Zeile 14:
 
Nun kennt man im rechtwinkligen Dreieck SOB den Winkel <math>\alpha + \beta = 57^o</math> und seine Ankathete 45m. Die Gegenkathete ist 12m + x. In dem Dreieck SOB ist also <math>\tan(57^o)=\frac{12m + x}{45m}</math>.<br>
 
Nun kennt man im rechtwinkligen Dreieck SOB den Winkel <math>\alpha + \beta = 57^o</math> und seine Ankathete 45m. Die Gegenkathete ist 12m + x. In dem Dreieck SOB ist also <math>\tan(57^o)=\frac{12m + x}{45m}</math>.<br>
 
Diese Gleichung kann man nach x auflösen. Es ist <math>x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=45,3m</math> }}
 
Diese Gleichung kann man nach x auflösen. Es ist <math>x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=45,3m</math> }}
 +
  
 
Buch S. 129 / 11
 
Buch S. 129 / 11
Zeile 23: Zeile 24:
 
[[Datei:129-11 !.jpg]]<br>
 
[[Datei:129-11 !.jpg]]<br>
 
Das gezeichnete Dreieck ist bei 100 rechtwinklig. Gesucht ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden. Die Gegenkathete des  Winkels ist im Bild 10. Also hat man für den Winkel An- und Gegenkathete. Damit ist <math>tan(\alpha)=\frac{10}{100}=0,1</math> und <math>\alpha = 5,7^o</math>
 
Das gezeichnete Dreieck ist bei 100 rechtwinklig. Gesucht ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden. Die Gegenkathete des  Winkels ist im Bild 10. Also hat man für den Winkel An- und Gegenkathete. Damit ist <math>tan(\alpha)=\frac{10}{100}=0,1</math> und <math>\alpha = 5,7^o</math>
 +
  
 
b) <math>tan(\beta)=\frac{25}{100}=0,25</math> und <math>\beta = 14^o</math>
 
b) <math>tan(\beta)=\frac{25}{100}=0,25</math> und <math>\beta = 14^o</math>
Zeile 29: Zeile 31:
  
 
d) <math>tan(\delta)=\frac{12}{100}=0,12</math> und <math>\alpha = 6,8^o</math>  }}
 
d) <math>tan(\delta)=\frac{12}{100}=0,12</math> und <math>\alpha = 6,8^o</math>  }}
 +
  
 
Buch S. 129 / 13
 
Buch S. 129 / 13
Zeile 47: Zeile 50:
 
Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{25cm}{5\sqrt{95}cm}\approx 0,518</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math><br>
 
Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{25cm}{5\sqrt{95}cm}\approx 0,518</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math><br>
 
Es ist <math>tan(\alpha)=\frac{25cm}{10\sqrt{17}cm}\approx 0,606</math> und <math>\alpha= 31,2^o</math>  }}
 
Es ist <math>tan(\alpha)=\frac{25cm}{10\sqrt{17}cm}\approx 0,606</math> und <math>\alpha= 31,2^o</math>  }}
 +
  
 
Buch S. 132 / 4a
 
Buch S. 132 / 4a
Zeile 59: Zeile 63:
 
Den Flächeninhalt A erhält man mit <math>A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 5,44cm \cdot 2,54cm=6,9cm^2</math>.<br>
 
Den Flächeninhalt A erhält man mit <math>A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 5,44cm \cdot 2,54cm=6,9cm^2</math>.<br>
 
Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Bei rechtwinkligen Dreiecken ist dies der Thaleskreis. Der Radius des Thaleskreises ist <math>r = \frac{1}{2}c = 3cm</math>. Damit ist <math>A_{Umkreis} = r^2\pi=9\pi cm^2\approx 28,3cm^2</math>. }}
 
Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Bei rechtwinkligen Dreiecken ist dies der Thaleskreis. Der Radius des Thaleskreises ist <math>r = \frac{1}{2}c = 3cm</math>. Damit ist <math>A_{Umkreis} = r^2\pi=9\pi cm^2\approx 28,3cm^2</math>. }}
 +
 +
 +
Buch S. 132 / 5
 +
 +
{{Lösung versteckt|1= Das gegebene Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig!
 +
 +
[[Datei:132-5.jpg|thumb|Dreieck]]
 +
Tipp: Zeichnet man von C die Höhe auf c ein, dann hat man 2 rechtwinklige Dreiecke, <math>\Delta</math>AFC und <math>\Delta</math>BFC. 
 +
Mache eine Skizze und trage die gegebenen Stücke jeweils farbig ein!
 +
 +
a) Im Dreieck AFC ist gegeben: <math>\gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o</math> und die Ankathete <math>c_1</math> von <math>\alpha</math>. Es ist <math>c_1= \frac{c}{2}=40cm</math><br>
 +
Den Winkel <math>\alpha</math> erhält man über die Winkelsumme, <math>\alpha=180^o-90^o-42^o=48^o</math>.<br>
 +
Die Seite b ist die Hypotenuse im Dreieck AFC. Dann ist <math>cos(\alpha)=\frac{c_1}{b}</math>. Diese Gleichung löst man nach b auf. Es ist <math>b=\frac{c_1}{cos(\alpha)}=\frac{40cm}{cos(48^o)}\approx60cm</math>.<br>
 +
Für den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC braucht man die Höhe h zur Seite c.<br>
 +
Es ist im Dreieck AFC: <math>h=\overline{FC}=\sqrt{b^2-c_1^2}=\sqrt{(60cm)^2-(40cm)^2}=\sqrt{2000cm^2}=20\sqrt 5 cm\approx45cm</math><br>
 +
Dann ist <math>A = \frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}20cm\cdot20\sqrt 5 cm=200\sqrt5 cm^2\approx447cm^2</math>
 +
 +
b) Im Dreieck AFC ist b die Hyptenuse, b = 80cm, und <math>\gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o</math> der Winkel bei C. <br>
 +
Damit ist <math>\alpha=48^o</math>, <br>
 +
<math>cos(\alpha)=\frac{c_1}{b} \rightarrow c_1=b\cdot cos(\alpha)=80cm\cdot cos(48^o)=53,5cm \rightarrow c = 2\cdot c_1 = 107cm</math><br>
 +
<math>sin(\alpha)=\frac{h}{b} \rightarrow h = b\cdot sin(\alpha)=70cm \cdot sin(48^o)=59,5cm</math><br>
 +
<math>A =\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 107cm \cdot 59,5cm = 3183,25cm^2 \approx 21dm^2</math>
 +
 +
c) Gegeben sind im Dreieck BFC die Hypotenuse a = 5,0cm und <math>\beta = \alpha = 47^o</math><br>
 +
<math>c_2=\overline {BF}=\frac{c}{2}</math><br>
 +
<math>cos(\beta)=\frac{c_2}{a} \rightarrow c_2=a\cdot cos(\beta)=5cm \cdot cos(47^o)=3,4cm</math> ---> <math>c = 6,8cm</math><br>
 +
<math>sin(\beta)=\frac{h}a} \rightarrow h = a\codt sin(\beta)=5cm \cdot sin(47^o)=3,7cm</math>.<br>
 +
<math>A=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 6,8cm \cdot 3,7cm = 12,6cm^2</math>.
 +
 +
}}

Version vom 19. April 2021, 12:47 Uhr

Nuvola apps kig.png   Merke

Sinus, Kosinus und Tangens kannst du nur in rechtwinkligen Dreiecken verwenden. Also suche dir bei den Aufgaben passende rechtwinklige Dreiecke, bei denen 2 Größen gegeben sind und rechne dann mit einer dieser Gleichungen

sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}
cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}
tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

die Unbekannte aus.

Buch S. 129 / 10

[Lösung anzeigen]


Buch S. 129 / 11

[Lösung anzeigen]


Buch S. 129 / 13

[Lösung anzeigen]


Buch S. 132 / 4a

[Lösung anzeigen]


Buch S. 132 / 5

[Lösung anzeigen]

Von „http://rsg.zum.de/index.php?title=M9_Aufgaben_zur_Trigonometrie_am_rechtwinkligen_Dreieck&oldid=11798“