M10 Grenzwert und Exponentialfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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125/3a) <math>\lim_{x\to \infty}= \infty</math>, die Funktion divergiert für <math>x \to \infty</math><br>
 
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g) Die Funktion divergiert unbestimmt.<br>
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g) Für diese Funktion kann man keinen Grenzwert angeben, da ihre Funktionswerte immer zwischen 1 und 3 hin und hergehen.<br>
 
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i) <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty</math> divergiert und  <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty</math> divergiert<br>
 
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Aktuelle Version vom 18. Juni 2021, 08:31 Uhr

Exponentialfunktionen

Maehnrot.jpg
Merke:

Für die Exponentialfunktion f: x \rightarrow a^x mit a > 0 gilt:

0 < a < 1: \lim_{x \to -\infty} a^x = \infty und \lim_{x \to \infty} a^x = 0 Exp 1.jpg
Die positive x-Achse ist Asymptote für x \to \infty.

1 < a: \lim_{x \to -\infty} a^x = 0\ \ und \lim_{x \to \infty} a^x = \infty \ \ Exp 2.jpg
Die negative x-Achse ist Asymptote für x \to -\infty.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 124 / 2
Buch S. 125 / 3

124/2 Man weiß von Exponentialfunktionen f:x\rightarrow a\cdot b^x, dass f(0)=a und f(1)=a\cdot b ist. Wenn a = 1 ist, dann ist f(0)=1, f(1)=b. Damit findet man leicht die Zuordnung Term - Graph.
A - k
B - f
C - m
D - h
E - g

125/3a) \lim_{x\to \infty}= \infty, die Funktion divergiert für x \to \infty
b) Die Funktion konvergiert für x \to \infty, es ist \lim_{x\to \infty}= -2 (?)
c) Die Funktion konvergiert für x \to \infty, es ist \lim_{x\to \infty}= 0
d) Die Funktion konvergiert für x \to \infty, es ist \lim_{x\to \infty}= 3 (?)
e) Die Funktion divergiert unbestimmt für x \to \infty

f) Die Funktion divergiert unbestimmt für x \to \infty


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Buch S. 126 / 6
Buch S. 126 / 7
Buch S. 126 / 8

126/6
a) \lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 konvergiert
b) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty divergiert
c) \lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = -2 konvergiert
d) \lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 3 konvergiert
e) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 2 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = -\infty divergiert
f) \lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = -2 konvergiert
g) Für diese Funktion kann man keinen Grenzwert angeben, da ihre Funktionswerte immer zwischen 1 und 3 hin und hergehen.
h) \lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty divergiert
i) \lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty divergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty divergiert
k) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 konvergiert
l) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 2 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 2 konvergiert
m) \lim_{x \to -\infty}f(x) = -3 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = -3 konvergiert
n) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 konvergiert
o) Die Funktion divergiert unbestimmt.
p) \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0 konvergiert und \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 konvergiert

126/7
a) Ist möglich, da z.B. f_a:x \rightarrow 1 - 2^{-x} stets unter der Geraden y = 1 verläuft.
126-7a1.jpg
b) Ist möglich, da die Funktion f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x} oberhalb und unterhalb der Geraden y = 1 verläuft.
c) Ist falsch, denn wenn der Graph von f stets oberhalb der Gerade y = 1 verläuft und die Funktionswerte mit wachsenden x auch größer werden, dann kann der Grenzwert für x \to \infty nicht 1 sein.
d) Ist möglich bei der Funktion f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}.
e) Ist möglich bei der Funktion f:x \rightarrow 1 + \frac{1}{x}.
Muss aber nicht sein, es gibt auch Funktionen, deren Abstand zur Geraden y = 1 erst ab Werten x > 1000 kleiner als 1/100 ist. Z.B. ist für die Funktion f:x \rightarrow 1 + \frac{10}{x} f(100)=1,1 und damit ist der Abstand zur Geraden 0,1 und f(1000)=1,01.
f) Der Term (-1)n nimmt für n = 1, 2, 3, 4, ... die Werte -1, 1, -1, 1, .... an. Die Funktionswerte alternieren stets und der Grenzwert ist nicht bestimmt. Also ist die Aussage falsch.
g) Diese Funktionswerte nähern sich mit wachsendem n immer mehr der Zahl 1 an, obwohl sie auch hier stets wechselndes Vorzeichen haben.
126-7g.jpg

126/8
a) f:x \rightarrow 2^{-x}
b) f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}
c) f:x \rightarrow x^2
d) f:x \rightarrow 2+2^{-x}
e) f:x \rightarrow 2+\frac{1}{x}
f) f:x \rightarrow \frac{1}{x^2}
g) f:x \rightarrow 1,5x
h) f:x \rightarrow -2cos(x)

Zum Überprüfen die Funktionsterme in GeoGebra eingeben!


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Buch S. 127 / 9

a,b)127-9a 1.jpg

c) Ansatz: w_n=a-b\cdot 0,6^n.
Für n = 1 ist w1 = 0, also I: 0 = a - b\cdot 0,6
Für n = 2 ist w2 = 6, also II: 6 = a - b \cdot 0,36
II - I: 6 = 0,24b ergibt b = 25, a = 15
w_n=15-25\cdot 0,6^n
127-9c.jpg
Bei diesem Ansatz geht man von einem Sättigungswert a aus, der durch die regelmäßige Einnahme erreicht wird.

d) Aus dem Graphen der Funktion aus c) sieht man, dass der Wirkstoff im Körper sich dem Wert 15 annähert.
Setzt man die Tabelle aus a) fort
127-9a 2.jpg
so sieht man, dass w vor der Einnahme gegen 15 konvergiert.
Der Grenzwert für die Wirkstoffmenge ist \lim_{n \to \infty} w_n = 15 Dies ist der Sättigungswert des Wirkstoffes im Körper, der sich auf lange Sicht einstellen wird.

e) w_n=15-25\cdot 0,6^n ist der Wirkstoff am Tag n vor der Einnahme. Nimmt man nun das Medikament ein, dann erhöht sich der Wert w_n + 10 und wird im Verlauf der nächsten 24 Stunden um 40% reduziert. Es ist dann w_{n+1}=(15-25\cdot 0,6^n+10)\cdot 0,6=(25 - 25\cdot 0,6^n)\cdot 0,6=15-25\cdot 0,6^n \cdot 0,6 =15 - 25\cdot 0,6^{n+1}
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