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| − | [[Datei:Innenhof_des_Sony_Centers_Berlin.jpg|400px]]<br>
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| − | "Ich schicke dir ein Rätsel.
| + | Eine parabelförmige Wasserfontäne hat die Höhe 10m und die Weite 8m. <br> |
| | + | Wie lautet die Gleichung dieser Wasserfontäne, wenn der Ursprung des Koordinatensystems<br> |
| | + | a) in der Düsenöffnung<br> |
| | + | b) in dem höchsten Punkt der Fontäne liegt.<br> |
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| | + | a) <math>f(x) = -\frac{5}{8}x^2 + 5x</math> <br> |
| | + | b) <math>f(x) = -\frac{5}{8}x^2</math><br> |
| | + | Scheitel zu a) S(4;10) zu b) S(0;0)<br> |
| | + | c) <math>f(x) = -\frac{5}{8}(x - 4)^2 + 10</math> |
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| − | Buch S. 104 / 6 }}
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| − | {{Lösung versteckt|1=Man legt ein Koordinatensystem an die Wasseraustrittsdüse. Dann sind die beiden Nullstellen der Parabel 3,2m voneinander entfernt. Der Scheitel ist bei 1,6m und hat die Höhe 1,7m. Diese Werte kann man in die Scheitelform der Parabelgleichung einsetzen. <math>y = a(x-1,6)^2 + 1,7</math>. <br>
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| − | Nun muss man noch a bestimmen. Die eine Nullstelle ist im Ursprung (0;0), die andere Nullstelle ist (3,2;0). Setzt man die Koordinaten der zweiten Nullstelle in die Gleichung ein, dann kann man a bestimmen. <br>
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| − | <math>0=a(3,2 - 1,6)^2 + 1,7</math> --> <math> a = -\frac{1,7}{2,56} = -\frac{85}{128}</math> und <math>y= -\frac{85}{128}(x-1,6)^2 + 1,7 = -\frac{85}{128} x^2 + \frac{17}{8}x</math>
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| − | Andere Lösung: Man legt das Koordinatensystem so, dass der Ursprung direkt unter dem Scheitel ist und die Wasseraustrittdüse und die Stelle, an der das Wasser wieder aufkommt auf der x-Achse liegen. Dann ist S(0;1,7) und die beiden Nullstellen (-1,6;0) und (1,6;0).<br>
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| − | Damit erhält man als Gleichung für die Parabel <math>y = a(x+1,6)(x-1,6)</math> oder <math>y = a(x^2 -2,56)</math>. <br>
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| − | Setzt man nun die Koordinaten des Scheitels in die Gleichung, dann erhält man <math>1,7 = a \cdot (-2,56)</math> und <math> a = -\frac{1,7}{2,56} = -\frac{85}{128}</math>. <br>
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| − | Die Gleichung der Parabel ist dann <math> y = -\frac{85}{128}x^2 + 1,7</math> .<br>
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| − | Dies ist nicht die Gleichung wie bei der ersten Lösung, aber wir haben ja auch das Koordinatensystem anders gelegt. }}
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| | {{Aufgaben-blau|5|2=Buch S. 105 / 8 }} | | {{Aufgaben-blau|5|2=Buch S. 105 / 8 }} |
Version vom 18. Februar 2022, 19:09 Uhr
Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen
 Merke
Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen findet man, indem man die Funktionsterme gleichsetzt und die Gleichung nach x auflöst.
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Aufgabe 1
Gemeinsame Punkte einer Parabel mit einer Geraden
Bestimme jeweils die Koordinaten der Punkte R und T, die die Gerade g und die Parabel P gemeinsam haben. Berechne jeweils die Länge der Strecke 
.
a) P: y = x² und g: y = -x + 2
b) P: y = 2x² - 2 und g: y = 6
c) P: y = -x² - 9 und g: y = -2x - 7
d) P: y = 4x² + x und g: y = 1,5x
e) P: 
und g: y = 2 - x
f) P: 
und g: y = -0,5x + 2,5
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Aufgabe 2
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
a) Die beiden Parabeln haben gemeinsame Punkte, da P2 schlanker als P1 ist und ihren Scheitel unterhalb vom Scheitel von P1 hat.
b) P1 ist nach oben geöffnet und P2 ist nach unten geöffnet und P2 hat ihren Scheitel oberhalb des Scheitels von P1, also müssen sich die beiden Parabeln schneiden.
c) P1 hat ihren Scheitel bei (0;0) und ist die Normalparabel, also nach oben geöffnet. P2 hat ihren Scheitel bei (2;-4) und ist nach unten geöffnet. Die beiden Parabeln können sich nicht schneiden.
d) P1 hat ihren Scheitel bei (1;0) und ist nach oben geöffnet, P2 bei (-1;0) und ist nachunten geöffnet. Da beide Scheitel den gleichen y-Wert 0 haben und verschiedene x-Werte, können sich die beiden Parabeln nicht schneiden.
e) P1 ist die Normalparabel, P2 ist eine schlankere Parabel mit Scheitel (0;1) und beide sind nach oben geöffnet, also können sie sich nicht schneiden.
f) P1 ist einen nach unten geöffnete weite Parabel mit Scheitel (0;1), P2 ist nach oben geöffnet mit Scheitel (0;-4). Wegen -4 < 0 schneiden sich die beiden Parabeln.
Rechnungen für a, b, f
a)
liefert 
mit den zwei Lösungen 
Die Schnittpunkte R(-2;4) und T(2;4) bilden mit den Scheiteln (0;0) und (0;-4) ein Viereck mit A = 8.
b) 
liefert 
mit den zwei Lösungen 
.
Die Schnittpunkte 
bilden mit den zwei Scheiteln (0;0) und (0;4) eine Raute mit 2 Symmetrieachsen. Ihr Flächeninhalt ist 
.
f) 
liefert mit den zwei Lösungen .
Die Schnittpunkte R(-2,0), T(2,0) bilden mit den zwei Scheiteln (0;1) und (0;-4) ein Drachenviereck mit einer Symmetrieachse.
Im folgenden Applet kannst du die Parabeln zu den Aufgaben und gegebenenfalls die Vierecke dir anzeigen lassen.
Aufgabe 3
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Textaufgaben
Aufgabe 4
Bei Wasserfontänen und Springbrunnen tritt der Wasserstrahl oftmals parabelförmig aus.
Eine parabelförmige Wasserfontäne hat die Höhe 10m und die Weite 8m.
Wie lautet die Gleichung dieser Wasserfontäne, wenn der Ursprung des Koordinatensystems
a) in der Düsenöffnung
b) in dem höchsten Punkt der Fontäne liegt.
Gib jeweils auch die Scheitelkoordinaten der Parabel an.
c) Wie lautet für Aufgabe a) die Scheitelform der Parabel?
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Aufgabe 5
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Aus der Zeichnung und dem Text kann man die Koordinaten der Punkte angeben: A(0;0), B(100;20), C(20,e). Der Ursprung des Koordinatensystems liegt in A. Aus der Zeichnung sieht man auch noch die zweite Nullstelle D(40;0).
a) Man hat die zwei Nullstellen, also ist 
.
Setzt man die Koordinaten von B in die Gleichung, dann ist 
und 
.
Die Gleichung der Parabel ist also 
und wenn man den Term ausmultipliziert 
.
Die Scheitelform ist 
.
Oder wenn man mit der Scheitelform beginnt: 
Vom Scheitel C(20;e) weiß man die x-Koordinate, also ist d = 20 und 
.
Setzt man die Koordinaten von A in die Gleichung: (1) 
Setzt man die Koordinaten von B in die Gleichung: (2) 
Subtrahiert man nun Gleichung (1) von Gleichung (2), so hat man 
und .
Setzt man a in Gleichung (1), dann erhält man 
und 
.
Die Scheitelform ist .
Durch Ausmultiplizieren und zussammenfassen erhält man .
In der letzten Gleichung kann man auf der rechten Seite 
ausklammern und erhält .
b) Der Durchhang h(x) ergibt sich als Differenz (bei gleichem x) der y-Koordinate der Geraden [AB] und der y-Koordinate der Parabel.
Die Gerade [AB] hat die Gleichung 
.
Die Gleichung der Parabel ist .
Damit ist 
.
Fasst man den Term auf der rechten Seite zusammen, dann erhält man 
.
Man will nun den größten Wert des Durchhangs wissen. Der Funktionsterm für h(x) ist eine nach unten geöffnete Parabel, die ihren größten y-Wert im Scheitel hat, also muss man den Scheitel bestimmen.
Die x-Koordinate des Scheitels erhält man, wenn man die Mitte der zwei Nullstellen nimmt. Dafür klammert man auf der rechten Seite 
aus und erhält 
.
Hier kann die Nullstellen ablesen: 
und genau in der Mitte ist die x-Koordinate des Scheitels 
.
Setzt man diesen Wert in h(x) ein, dann erhält man den größten Durchhang
.
Aufgabe 6
Buch S. 107 / IV
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
a) Für den freien Fall eines Körpers kennt man aus der Physik die Formel 
. Dabei ist g die Erdbeschleunigung 
.
Setzt man die gemessene Zeit t = 3,44s in die Gleichung für h, dann erhält man 
.
b) Sophie hat mit ihrem Einwand natürlich Recht. Die gemessene Zeit setzt sich zusammen aus der
- Fallzeit
des Steins und
- der Zeit
, die der Schall vom Boden bis zum Standort
braucht. Es ist 
.
Der Stein und der Schall legen beide jeweils den Weg 
zurück. Dabei macht der Stein eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung und der Schall eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
Der Stein wird mit konstanter Beschleunigung beschleunigt, dabei ist der zurückgelegte Weg 
.
Der Schall macht eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, dabei ist der zurückgelegte Weg 
, wobei 
ist.
Da in beiden Fällen der gleiche Weg zurückgelegt wird, kann man die beiden Gleichungen gleich setzen.
Dies ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten und .
Von Sophia wissen wir, dass ist. Das ist die zweite Gleichung.
Man hat ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:
(1)
(2)
Löst man (2) nach auf und setzt den erhaltenenen Term in (1) ein, dann hat man
Man erhält eine quadratische Gleichung für : 
Mit der Lösungsformel erhält man 
Das -Zeichen vor der Wurzel kann man weglassen, da sonst im Zähler etwas Negatives stehen würde und damit die Zeit negativ wäre. Dies kann nicht sein. Also kann man gleich nur mit dem + rechnen. Setzt man die Werte ein, dann erhält man <matsh>t_{Stein}=3,284s
und für den Schall 
.
Damit erhält man für die Tiefe des Brunnens
- bei der Bewegung mit konstanter Beschleunigung des Steins
- bei der Bewegung des Schalls mit konstanter Geschwindigkeit
.
Merke
liefert eine quadratische Gleichung 
. Die Gleichung lässt sich in Linearfaktoren zerlegen 
mit den zwei Lösungen 
. 
.
liefert 
liefert 
. Die Diskriminante D dieser Gleichung ist D = (-2)2 - 4·2 = 4 - 8 = -4 < 0. Also hat die Gleichung keine Lösung und die Graphen keine gemeinsamen Punkte.
liefert 
. Man kann 4x ausklammern: 
hat die zwei Löungen 
. 
) und die Streckenlänge 
liefert 
. Die linke Seite lässt sich umformen in 
und man löst die Gleichung 
mit den zwei Lösungen 
.
Multipliziert man die Gleichung mit 2, dann fällt der Bruch 
weg und man hat 
. Diese Gleichung auf die Form einer quadratischen Gleichung gebracht ergibt 
mit den Lösungen 
und 
.
und 
und 
und 
und 
und 
und 
und 
und 
und 
und 
und 
--> 
und 
. 
--> 
und 
--> 
und 
--> 
--> 
--> 
ist nicht lösbar, also kein Schnittpunkt.
--> 
und 
--> 
