M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 76 / 6 }}
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{{Aufgaben-blau|2|2=Bestimme für die Bruchgleichungen jeweils die maximale Definitionsmenge und den Hauptnenner. Löse dann die Gleichungen.
  
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{{Lösung versteckt|1=Man verwendet den neben der Aufgabe stehende Tipp. Man multipliziert die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner.<br>
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a) <math>\frac{x-\sqrt 2}{x + \sqrt 2}+\frac{x+\sqrt 2}{x-\sqrt 2} = 3</math>
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a) D=R\{-1;1}, HN=(n-1)(n+1)<br>
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n+1 + n-1 = n², also n²-2n=0, n<sub>1</sub>=0, n<sub>2</sub>=2<br>
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b) <math>\frac{x}{x-1}- \frac{15-x}{x^2-1}=0</math>     }}
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b)  D=R\{<math>.\sqrt 2 , \sqrt 2</math>}, HN = (x+<math>\sqrt 2</math>)(x-<math>\sqrt 2</math>)<br>
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{{Lösung versteckt|1= a) <math>D=R \setminus \{-\sqrt 2 , \sqrt 2 \}</math>, <br>
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Man bestimmt zuerst den Hauptnenner (HN) und multipliziert die Gleichung dann mit dem Hauptnenner.<br>
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<math>HN = (x+\sqrt 2)(x-\sqrt 2)</math><br>
 
<math>(x-\sqrt 2)^2 + (x+\sqrt 2)^2 =3(s-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)</math><br>
 
<math>(x-\sqrt 2)^2 + (x+\sqrt 2)^2 =3(s-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)</math><br>
 
<math>x^2-2\sqrt 2 x+2+x^2+2\sqrt 2 x +2 =3(x^2-2)</math> <br>
 
<math>x^2-2\sqrt 2 x+2+x^2+2\sqrt 2 x +2 =3(x^2-2)</math> <br>
 
<math> 2x^2 + 4 = 3x^2 -6</math> <br>
 
<math> 2x^2 + 4 = 3x^2 -6</math> <br>
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<math>10=x^2</math>, also L={<math>-\sqrt {10}, \sqrt {10} </math>}<br>
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<math>10=x^2</math>, also <math>L=-\sqrt {10}, \sqrt {10} </math>}<br>
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c) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x<sup>2</sup>-1=(x-1)(x+1)!) ,<br>
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b) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x<sup>2</sup>-1=(x-1)(x+1)!) ,<br>
 
Die zwei Brüche auf der linken Seite haben die Nenner x-1 und x²-1. Mit der dritten binomischen Formel kommt in beiden Nenner x-1 vor, also muss man den ersten Bruch mit x+1 erweitern. Dann haben beiden Brüche den gleichen Nenner (x+1)(x-1). Multipliziert man nun die Gleichung mit (x+1)(x-1) durch, dann fallen die Nenner weg und links bleibt stehen x(x+1)-(15-x). Bitte macht eine Klammer um den Zähler des zweiten Bruchs, weil vor dem Bruch ein - steht! Damit muss man die Gleichung x<sup>2</sup>+x-15+x=0 zu lösen, dies ist eine quadratische Gleichung x<sup>2</sup>+2x-15=0 mit den zwei Lösungen x<sub>1</sub>=-5; x<sub>2</sub>=3 }}
 
Die zwei Brüche auf der linken Seite haben die Nenner x-1 und x²-1. Mit der dritten binomischen Formel kommt in beiden Nenner x-1 vor, also muss man den ersten Bruch mit x+1 erweitern. Dann haben beiden Brüche den gleichen Nenner (x+1)(x-1). Multipliziert man nun die Gleichung mit (x+1)(x-1) durch, dann fallen die Nenner weg und links bleibt stehen x(x+1)-(15-x). Bitte macht eine Klammer um den Zähler des zweiten Bruchs, weil vor dem Bruch ein - steht! Damit muss man die Gleichung x<sup>2</sup>+x-15+x=0 zu lösen, dies ist eine quadratische Gleichung x<sup>2</sup>+2x-15=0 mit den zwei Lösungen x<sub>1</sub>=-5; x<sub>2</sub>=3 }}
  

Version vom 19. Februar 2022, 11:39 Uhr

Bruchgleichungen

Bei den Bruchgleichungen der 8. Klasse hast du schon Gleichungen wie \frac{x}{x+1}=x gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie \frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1} mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies?
Wenn du die Bruchgleilchung \frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1} mit dem Produkt der Nenner (x2-x)(x2-1) multiplizierst, dann erhältst du:
\frac{6(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-x}=\frac{5(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-1} und gekürzt ("über Kreuz multiplizieren"):
6(x^2-1)=5(x^2-x)
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: 6x^2-6 = 5x^2 -5x --> x^2 - 6 = -5x --> x^2+5x-6=0 das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Bestimme für die Bruchgleichung \frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1} die Definitionsmenge und ermittle dann die Lösungsmenge L.

[Lösung anzeigen]


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Bestimme für die Bruchgleichungen jeweils die maximale Definitionsmenge und den Hauptnenner. Löse dann die Gleichungen.

a) \frac{x-\sqrt 2}{x + \sqrt 2}+\frac{x+\sqrt 2}{x-\sqrt 2} = 3

b) \frac{x}{x-1}- \frac{15-x}{x^2-1}=0

[Lösung anzeigen]

Anwendungsaufgaben

Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Knobelaufgabe S. 76 / 9
Dreiecksaufgabe S. 76 / 11
Busfahrt S. 77 / 14

[Lösung anzeigen]

Und zum Anschauen (du kannst natürlich auch immer anhalten und selbst mitrechnen und lösen!):


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Schwimmbadaufgabe S. 77 / 18

[Lösung anzeigen]

Schnittprobleme

1. Man hat zwei Funktionen, eine quadratische Funktion f:x \rightarrow x^2-2x und eine lineare Funktion g:x \rightarrow 3x-6. Für diese zwei Funktionen stellt sich die Frage, haben sie gemeinsame Punkte oder nicht.
Für die Graphen der Funktionen bedeutet das, schneiden sie sich, berühren sie sich oder haben sie keine gemeinsamen Punkte.

Dies kann man versuchen graphisch zu lösen:
Schnitt 1.jpg
Aus der Grafik liest man ab, dass die beiden Graphen sich in den Punkten (2;0) und (3;3) schneiden.
Rechnerisch geht es darum die Gleichung x^2-2x =3x-6 zu lösen. Dazu formt man sie um in die für quadratische Gleichungen übliche Form, alles auf die linke Seite und 0 auf der rechten Seite, x^2-5x+6=0 und versucht diese Gleichung zu lösen.
Mit der Diskriminante D =25-24=1 weiß man, dass es zwei Lösungen gibt und mit der Lösungsformel erhält man x1 = 2 und x3 = 3.

2. Die Graphen der Funktionen f:x\rightarrow \frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x+1 und g:x\rightarrow -x^2+3x-1 schneiden sich.
Schnitt 2.jpg


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Kreuze richtig an

\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x+1=0

-x^2+3x-1=0

\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x+1= -x^2+3x-1

prüfen!

3. Ermittle die gemeinsamen Punkte der Graphen von f:x\rightarrow x^2-2x+2 und g:x\rightarrow \frac{1}{2}x+3. Zeichnet man die Graphen in ein Koordinatensystem so hat man dieses Bild:
Schnitt 3.jpg
Aus der Graphik kann man die Schnittpunkte schlecht ablesen. Also muss man sie berechnen. Es ist dabei die Gleichung x^2-2x+2=\frac{1}{2}x+3 zu lösen. Dies führt zu der quadratischen Gleichung x^2 -2,5x -1=0, die man löst und die Lösungen x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt {41}}{4} hat, also x_1\approx -0.35078105935821,x_2 \approx 2.85078105935821

4. Wo schneiden sich die beiden Graphen?
Schnitt 4.jpg
Man kann es aus der Graphik nur ungenau ablesen. Also muss man rechnen. Aber man hat ja nur die zwei Graphen.
Aus den Graphen kann man die Funktonsterme bestimmen. Bestimme die Funktionsgleichungen für f und g.
[Lösung anzeigen]

Um die Schnittpunkte zu bestimmen muss man die Gleichung \frac{1}{4}(x+1)^2-2= -\frac{1}{2}x+3 lösen. Dazu formt man die linke Seite zuerst um in \frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{7}{4} und hat dann die Gleichung \frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}=-\frac{1}{2}x+3. Diese Gleichung bringt man in die übliche Form einer quadratischen Gleichung \frac{1}{4}x^2+x-\frac{19}{4}=0. Mit der Lösungsformel erhält man x_1=-2-\sqrt {23}\approx -6,796 und x_2=-2+\sqrt{23}\approx 2,796
Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind dann S1(-6,796;6,398) und S2(2,796;1,602)


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 6

Bearbeite bei Mathegym den Arbeitsauftrag "quadratische Gleichungen - Schnittprobleme"

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