Aufgaben zur Lagebeziehung Gerade - Ebene: Unterschied zwischen den Versionen

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b) Damit die Gerade g echt parallel zur Ebene E verläuft muss ihr Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{u} \circ \vec{n} = 0</math> .<br>
 
b) Damit die Gerade g echt parallel zur Ebene E verläuft muss ihr Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{u} \circ \vec{n} = 0</math> .<br>
 
Desweiteren ragt der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E aus der Ebene E heraus, die Richtungsvektoren der Ebene und der Verbindungsvektor  <math>\vec{AB}</math> sind nicht komplanar.<br>
 
Desweiteren ragt der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E aus der Ebene E heraus, die Richtungsvektoren der Ebene und der Verbindungsvektor  <math>\vec{AB}</math> sind nicht komplanar.<br>
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Da in dieser Aufgabe die Richtungsvektoren der Ebene nicht gegeben sind, sondern es ist der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> vorgegeben, ist dies gleichbedeutend damit, dass der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> und der Normalenvektor <math>\vec{n}</math>  nicht senkrecht zueinander sind.<br>
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Da in dieser Aufgabe die Richtungsvektoren der Ebene nicht gegeben sind, sondern es ist der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> vorgegeben, ist dies gleichbedeutend damit, dass der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> und der Normalenvektor <math>\vec{n}</math>  nicht senkrecht zueinander sind, also ist <math>\vec{AB} \circ \vec{n} \neq 0</math> .<br>
  
  
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d) Damit die Gerade g die Ebene E schneidet, darf der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g nicht senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also muss <math>\vec{AB} \circ \vec{n} \neq 0</math> sein. Dies beinhaltet dann auch a)!<br>
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d) Damit die Gerade g die Ebene E schneidet, darf der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g nicht senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also muss <math>\vec{u} \circ \vec{n} \neq 0</math> sein. Dies beinhaltet dann auch a)!<br>
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Falls das Skalarprodukt <math>\vec{AB} \circ \vec{n} = 0</math> ist, hat man ja b) und c)!
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Falls das Skalarprodukt <math>\vec{u} \circ \vec{n} = 0</math> ist, hat man ja b) und c)!
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{{Lösung versteckt|1=
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k ist Scharparameter der Ebenenschar E<sub>k</sub>:  x<sub>1</sub> + (k-2)x<sub>2</sub> + (2k+1)x<sub>3</sub> = 5 - 2k . <br>
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a) (1) Eine Ebene E<sub>k</sub> enthält den Ursprung, wenn in der Normalenform die Konstante gleich Null ist, also 5-2k = 0 ist. Somit ist k = 2,5 und die Ebene E<sub>2,5</sub> enthält den Ursprung.<br>
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(2) Eine Ebene E<sub>k</sub> ist parallel zur x<sub>3</sub>-Achse, wenn in der Normalenform kein x<sub>3</sub> vorkommt, also muss der Koeffizient von x<sub>3</sub> gleich 0 sein, d.h. 2k+1 = 0 , also k = -0,5.<br>
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(3) Eine Ebene E<sub>k</sub> ist die x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>-Ebene, wenn ihr Normalenvektor der Richtungsvektor der <sub>x1</sub>-Achse ist. Die x<sub>1</sub>-Achse hat als Richtungsvektor <math>\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)</math>. Dies ist dann auch ein Normalenvektor der Ebene Ebene E<sub>k</sub>. Damit müssen in der Normalenform der Ebene E<sub>k</sub> die Koeffizienten von x<sub>2</sub>  und x<sub>3</sub> gleich 0 sein, also k-2 = 0 und 2k+1 = 0. Dies ist gleichzeitig nicht möglich, denn dann müsste gleichzeitig k = 2 und k = -0,5 sein.
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Also ist keine der Scharebenen die x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>-Ebene.
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b) Eine Ebene ist Lotebene zur x<sub>3</sub>-Achse, wenn der Richtungsvektor <math>\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1  \end{array}\right)</math> der x<sub>3</sub>-Achse auch ein Normalenvektor der Ebene ist. Also muss für den Normalenvektor <math>\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ k-2 \\\ 2k+1  \end{array}\right)</math> der Ebene E<sub>k</sub> die erste und zweite Koordinate gleich 0 sein, was nicht möglich ist, da die erste Koordinate immer 1 ist.
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c) Man setzt die Koordinaten der Geraden g:  <math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1+5m \\\ -2+2m \\\ -m  \end{array}\right)</math> in die Normalenform der Ebenengleichung ein.
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Die Gleichung 1+5m + (k-2)(-2+2m) + (2k+1)(-m) = 5-2k vereinfacht man zu 0 = 0. Dies ist eine allgemeingültige Gleichung unabhängig von k, was hier bedeutet, dass die Gerade g in allen Ebenen der Schar liegt.
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[[Datei:145-4c.jpg|gemeinsame Gerade einer Ebenenschar|300px]]
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d) Die Gerade h hat die Gleichung h:  <math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ -4 \\\ 1  \end{array}\right)+ k\left( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ -3  \end{array}\right)</math>. Die Ebene E<sub>1</sub> hat die Gleichung x<sub>1</sub>  - x<sub>2</sub> + 3x<sub>3</sub> = 3. <br>
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Man setzt die Koordinaten der Geraden in die Normalenform der Ebenengleichung ein und erhält folgende Gleichung: <br>
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3k - (-4+6k) + 3(1-3k) = 3.  Ihre Lösung ist k = 1/3 und der Schnittpunkt S(1;-2;0).
 
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Aktuelle Version vom 17. März 2020, 21:50 Uhr

S. 145/2

Die Normalform der Ebenengleichung lässt sich umformen zu 4x1 - 5x2 - 6x3 - (4-6t)=0.
a) Damit die Gerade g senkrecht zur Ebene E verläuft, ist ihr Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor der Ebene. Beim Normalenvektor der Ebene ist x3=-6, ebenso ist beim Richtungsvektor der Geraden x3=-6. Also müssen bei beiden Vektoren x1 und x2 übereinstimmen. Damit ist r = 4 und s = -5.

b) und c) Damit die Gerade (echt) parallel zur Ebene E ist oder in der Ebene E liegt, muss der Richtungsvektor der Gerade g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E sein. Also ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren 4r - 5s + 36 = 0, d.h. r und s müssen diese Gleichung erfüllen, z.B. (r = -9 und s = 0) oder (r=-14 und s=-4)

Für t = 3 stimmt der Stützpunkt A(1;0;3) der Ebene E mit dem Stützpunkt A(1;0;3) der Geraden g überein. Dann liegt g in der Ebene.

S. 145/3

a) Damit die Gerade g auf der Ebene E senkrecht steht, muss ihr Richtungsvektor \vec{u} kollinear zum Normalenvektor \vec{n} der Ebene E sein, also ist \vec{u} = k \cdot \vec{n}.


b) Damit die Gerade g echt parallel zur Ebene E verläuft muss ihr Richtungsvektor \vec{u} senkrecht zum Normalenvektor \vec{n} der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt \vec{u} \circ \vec{n} = 0 .
Desweiteren ragt der Verbindungsvektor \vec{AB} der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E aus der Ebene E heraus, die Richtungsvektoren der Ebene und der Verbindungsvektor \vec{AB} sind nicht komplanar.
Da in dieser Aufgabe die Richtungsvektoren der Ebene nicht gegeben sind, sondern es ist der Normalenvektor \vec{n} vorgegeben, ist dies gleichbedeutend damit, dass der Verbindungsvektor \vec{AB} und der Normalenvektor \vec{n} nicht senkrecht zueinander sind, also ist \vec{AB} \circ \vec{n} \neq 0 .


c) Auch hier muss wie in b) der Richtungsvektor \vec{u} der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor \vec{n} der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt \vec{u} \circ \vec{n} = 0 .
Damit die Gerade g in der Ebene E liegt, ist nun der Verbindungsvektor \vec{AB} der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E in der Ebene E, er ist also mit den Richtungsvektoren der Ebene komplanar.
Da aber wiederum der Normalenvektor \vec{n} der Ebene vorgegeben ist, ist nun der Verbindungsvektor \vec{AB} senkrecht zum Normalenvektor \vec{n}, also ist hier nun \vec{AB} \circ \vec{n} = 0 .


d) Damit die Gerade g die Ebene E schneidet, darf der Richtungsvektor \vec{u} der Geraden g nicht senkrecht zum Normalenvektor \vec{n} der Ebene E sein, also muss \vec{u} \circ \vec{n} \neq 0 sein. Dies beinhaltet dann auch a)!

Falls das Skalarprodukt \vec{u} \circ \vec{n} = 0 ist, hat man ja b) und c)!

S. 145/4

k ist Scharparameter der Ebenenschar Ek: x1 + (k-2)x2 + (2k+1)x3 = 5 - 2k .

a) (1) Eine Ebene Ek enthält den Ursprung, wenn in der Normalenform die Konstante gleich Null ist, also 5-2k = 0 ist. Somit ist k = 2,5 und die Ebene E2,5 enthält den Ursprung.
(2) Eine Ebene Ek ist parallel zur x3-Achse, wenn in der Normalenform kein x3 vorkommt, also muss der Koeffizient von x3 gleich 0 sein, d.h. 2k+1 = 0 , also k = -0,5.
(3) Eine Ebene Ek ist die x2x3-Ebene, wenn ihr Normalenvektor der Richtungsvektor der x1-Achse ist. Die x1-Achse hat als Richtungsvektor \vec{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right). Dies ist dann auch ein Normalenvektor der Ebene Ebene Ek. Damit müssen in der Normalenform der Ebene Ek die Koeffizienten von x2 und x3 gleich 0 sein, also k-2 = 0 und 2k+1 = 0. Dies ist gleichzeitig nicht möglich, denn dann müsste gleichzeitig k = 2 und k = -0,5 sein. Also ist keine der Scharebenen die x2x3-Ebene.

b) Eine Ebene ist Lotebene zur x3-Achse, wenn der Richtungsvektor \vec{v} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right) der x3-Achse auch ein Normalenvektor der Ebene ist. Also muss für den Normalenvektor \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ k-2 \\\ 2k+1 \end{array}\right) der Ebene Ek die erste und zweite Koordinate gleich 0 sein, was nicht möglich ist, da die erste Koordinate immer 1 ist.

c) Man setzt die Koordinaten der Geraden g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1+5m \\\ -2+2m \\\ -m \end{array}\right) in die Normalenform der Ebenengleichung ein.

Die Gleichung 1+5m + (k-2)(-2+2m) + (2k+1)(-m) = 5-2k vereinfacht man zu 0 = 0. Dies ist eine allgemeingültige Gleichung unabhängig von k, was hier bedeutet, dass die Gerade g in allen Ebenen der Schar liegt.

gemeinsame Gerade einer Ebenenschar

d) Die Gerade h hat die Gleichung h: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ -4 \\\ 1 \end{array}\right)+ k\left( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ -3 \end{array}\right). Die Ebene E1 hat die Gleichung x1 - x2 + 3x3 = 3.
Man setzt die Koordinaten der Geraden in die Normalenform der Ebenengleichung ein und erhält folgende Gleichung:

3k - (-4+6k) + 3(1-3k) = 3. Ihre Lösung ist k = 1/3 und der Schnittpunkt S(1;-2;0).
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