Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 24. März 2020, 19:22 Uhr

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.

Aufgaben

S. 153/1

a) Die Ebene E hat als HNF $\frac{2x_1+x_2+2x_3}{3}=0$ .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E $d(O,E)=\vert \frac{0+0+0-2}{3} \vert=\vert\frac{-2}{3}\vert=\frac{2}{3}$ .

Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hier  nimmt man hiervon den Betrag.

Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist $d(P,E)=\frac{2\cdot6-1+2\cdot9}{3})=\frac{27}{3}=9$

b) Die Ebene E hat als HNF $\frac{x_1-x_2+6}{\sqrt{2}}=0$ .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E $d(O,E)= \frac{0-0+6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ .
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand $d(P,E)=\frac{7-7+6}{\sqrt{2}})=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ .

c) Die Ebene E hat als HNF $\frac{x_1-2 \cdot x_2-2\cdot x_3}{3}=0$ .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E $d(O,E)= \frac{0-0-0}{3} = 0$ . Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand $d(P,E)=\vert \frac{-1-2-6}{3} \vert=\vert \frac{-9}{3}\vert =3$ .

d) Die Ebene E hat als HNF $\frac{3\cdot x_1+4\cdot x_3-10}{5}=0$ .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E $d(O,E)=\vert \frac{0+0-10}{5}\vert = \vert -2\vert = 2$ .
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand $d(P,E)=\frac{12+8-10}{5}=\frac{10}{5}=2$ .
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.

S. 153/2

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

S. 154/4

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Ebene E hat HNF  .

Für diese Gleichung hat man also einen Normaleneinheitsvektor $\vec{n^o}= \frac{1}{18} \left( \begin{array}{c} 16 \\\ 8 \\\ 2 \end{array}\right) = \frac{1}{9} \left( \begin{array}{c} 8 \\\ 4 \\\ 1 \end{array}\right)$ .
Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor $\vec{n^o}$ oder $-\vec{n^o}$ aneinandersetzt.
Deren HNF sind dann $\frac{16x_1+ 8x_2 + 2x_3}{18}+9=0$ oder $\frac{16x_1+ 8x_2 + 2x_3}{18}-9=0$ . (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)
Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie $16x_1+ 8x_2 + 2x_3 + 162 = 0$ und $16x_1+ 8x_2 + 2x_3 - 162 = 0$ .

@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 {{Lösung versteckt| Die Ebene E hat HNF <math> \frac{16x_1+ 8x_2 + 2x_3}{18}=0</math> .
 Für diese Gleichung hat man also einen Normaleneinheitsvektor <math>\vec{n^o}= \frac{1}{18} \left( \begin{array}{c} 16 \\\ 8 \\\ 2  \end{array}\right) = \frac{1}{9} \left( \begin{array}{c} 8 \\\ 4 \\\ 1  \end{array}\right) </math> . <br>
-Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor <math>\vec{n^o}</math> oder <math>-\vec{n^o}</math> aneinandersetzt. Deren HNF ist dann <math> \frac{16x_1+ 8x_2 + 2x_3}{18}±9=0</math>  oder als Normalenform analog der Ebenengleichung für E <math>16x_1+ 8x_2 + 2x_3 ± 162 = 0</math>
+Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor <math>\vec{n^o}</math> oder <math>-\vec{n^o}</math> aneinandersetzt. <br>
+Deren HNF sind dann <math> \frac{16x_1+ 8x_2 + 2x_3}{18}+9=0</math>  oder <math> \frac{16x_1+ 8x_2 + 2x_3}{18}-9=0</math> . (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)<br>
+Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie <math>16x_1+ 8x_2 + 2x_3 + 162 = 0</math> und <math>16x_1+ 8x_2 + 2x_3 - 162 = 0</math> .
 }}

Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 24. März 2020, 19:22 Uhr

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Aktionen

Suche

Navigation

Fächer

Hilfen

Werkzeuge