Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

a) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .

Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hier  nimmt man hiervon den Betrag.

Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist

b) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand .

c) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E . Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand .

d) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand .
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.

(1) Wegen steht der Richtungsvektor der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E. ist also komplanar zu den Richtungsvektoren der Ebene E.
Die Ebene E hat als HNF . Für den Stützpunkt A(7;-13;-4) der Gerade g berechnet man , also liegt A nicht in E und g ist echt parallel zu E. Das g echt parallel zu E ist, hat g auch den Abstand 18 zur Ebene E.
Wird g senkrecht auf E projeziert, dann wird in Richtung des Normalenvektors projeziert. Fällt man von A das Lot auf E, dann erhält man den Lotfusspunkt L durch 2(7+2k)-2(-13-2k)-(-4-k)+10=0 und k = -6 und L(-5;-1;2). Damit hat man für g^* den Stützpunkt. Ihr Richtungsvektor ist derselbe wie bei g, da er "in E liegt" (ist komplanar zu den Richtungsvektoren von E). Die senkrechte Projektion von g in die Ebene E ist dann .

(2) Analog geht man hier vor.
.
HNF von E: .


k + (7+k) + (-1+k) + 12 = 0 --> k = -6 und L(-6;1;-7)

Die Ebene E hat HNF . Für diese Gleichung hat man also einen Normaleneinheitsvektor .
Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor oder aneinandersetzt.
Deren HNF sind dann oder . (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)
Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie und .