Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 25. März 2020, 09:04 Uhr

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.

Aufgaben

S. 153/1

a) Die Ebene E hat als HNF $\frac{2x_1+x_2+2x_3}{3}=0$ .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E $d(O,E)=\vert \frac{0+0+0-2}{3} \vert=\vert\frac{-2}{3}\vert=\frac{2}{3}$ .

Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hier  nimmt man hiervon den Betrag.

Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist $d(P,E)=\frac{2\cdot6-1+2\cdot9}{3})=\frac{27}{3}=9$

b) Die Ebene E hat als HNF $\frac{x_1-x_2+6}{\sqrt{2}}=0$ .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E $d(O,E)= \frac{0-0+6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ .
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand $d(P,E)=\frac{7-7+6}{\sqrt{2}})=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ .

c) Die Ebene E hat als HNF $\frac{x_1-2 \cdot x_2-2\cdot x_3}{3}=0$ .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E $d(O,E)= \frac{0-0-0}{3} = 0$ . Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand $d(P,E)=\vert \frac{-1-2-6}{3} \vert=\vert \frac{-9}{3}\vert =3$ .

d) Die Ebene E hat als HNF $\frac{3\cdot x_1+4\cdot x_3-10}{5}=0$ .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E $d(O,E)=\vert \frac{0+0-10}{5}\vert = \vert -2\vert = 2$ .
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand $d(P,E)=\frac{12+8-10}{5}=\frac{10}{5}=2$ .
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.

S. 153/2

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S. 154/4

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S. 154/6

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a) Gleichsetzen der zwei Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt (S(1;-1;0).
Für den Schnittwinkel interessieren nur die Richtungsvektoren der Geraden. Man erhält ihn aus $cos\varphi=\vert \frac{\left( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 3 \end{array}\right)}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}} \vert = \frac{3}{\sqrt{50}}$ . Es ist $\varphi = 64,0^o$ .

Ich lasse die Betragsstriche meist weg. Ist das Ergebnis für cos oder sin negativ, dann nimmt man einfach hier den Betrag

und erhält dann den spitzen Winkel.

b) S(0;2;-1) und $\varphi = 32,3^o$

c) S(2;2;2) und $\varphi = 50,8^o$

S. 154/7

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S. 154/8

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 {{Lösung versteckt|1=a) Gleichsetzen der zwei Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt (S(1;-1;0).<br>
-Der Schnittwinkel ist <math> cos\varphi=\vert \frac{\left( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 3  \end{array}\right)}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}} \vert = \frac{3}{\sqrt{50}}</math>, also <math>\varphi = 64,0^o</math>.
+Für den Schnittwinkel interessieren nur die Richtungsvektoren der Geraden. Man erhält ihn aus <math> cos\varphi=\vert \frac{\left( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 3  \end{array}\right)}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}} \vert = \frac{3}{\sqrt{50}}</math>. Es ist <math>\varphi = 64,0^o</math>.
+ Ich lasse die Betragsstriche meist weg. Ist das Ergebnis für cos oder sin negativ, dann nimmt man einfach hier den Betrag<br>
+ und erhält dann den spitzen Winkel.
 b) S(0;2;-1) und <math>\varphi = 32,3^o</math>
@@ Zeile 69: / Zeile 72: @@
 {{Lösung versteckt|1=a) Setzt man g in E ein, erhält man diese Gleichung 3(1+k) - (-2) - (-k) = 1 und k = -1. S(0;-2;1)<br>
-<math> sin\varphi=\vert \frac{\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ -1  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -1 \\\ -1  \end{array}\right)}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{11}} \vert = \frac{4}{\sqrt{22}}</math> und <math>\varphi = 58,5^o</math>
+Für den Schnittwinkel interessieren der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor der Ebene E. <math> sin\varphi=\vert \frac{\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ -1  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -1 \\\ -1  \end{array}\right)}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{11}} \vert = \frac{4}{\sqrt{22}}</math> und <math>\varphi = 58,5^o</math>
 b) S(4;-1;-1) und <math>\varphi=71,5^o</math>}}
@@ Zeile 75: / Zeile 78: @@
 S. 154/8
-{{Lösung versteckt|1=
+{{Lösung versteckt|1=a) Für den Schnittwinkel interessieren die zwei Normalenvektoren der Ebene. <math> cos\varphi=\vert \frac{\left( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -6  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 5 \\\ 3  \end{array}\right)}{\sqrt{65}\cdot \sqrt{35}} \vert = \vert \frac{-3}{\sqrt{2275}}\vert = \frac{3}{\sqrt{2275}} </math> und <math>\varphi = 86,4^o</math>
+b) <math>\varphi = 90^o</math>
+c) <math>\varphi = 90^o</math>
-}}
+d) Hier ist es sinnvoll beide Ebenengleichungen in Normalenform zu schreiben;<br>
+E<sub>1</sub>: 5x<sub>1</sub> - 6x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> + 3 = 0 und E<sub>2</sub>: 2x<sub>1</sub> + x<sub>3</sub> -3 = 0<br>
+<math>\varphi = 63,7^o</math>}}

Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

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