M8 - Tests zu gebrochen-rationalen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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f) f mit <math>f(x) = \frac{3-x}{x-3}</math> hat bei x = 3 eine Definitionslücke, D = Q\{3}. Der Zähler nimmt für x = 3 den Wert 0 an, aber man darf die Definitionslücke ja gar nicht einsetzen, also ist 3 keine Nullstelle! <br>
 
g)  <math>f(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{x-1}</math> hat bei x = 1 eine Definitionslücke, D=Q\{1] und bei x = -1 und x = 2 Nullstellen.<br>
 
g)  <math>f(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{x-1}</math> hat bei x = 1 eine Definitionslücke, D=Q\{1] und bei x = -1 und x = 2 Nullstellen.<br>
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  Beachte: Ein Produkt hat den Wert 0, wenn ein Faktor den Wert 0 hat!
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Brüche kann man kürzen, wenn in Zähler und Nenner der gleiche Faktor vorkommt.<br>
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Am gekürzten Term sieht man, dass x = 2 keine Nullstelle ist, da der Zähler 1 nicht gleich 0 ist.
 
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{{Lösung versteckt|In Zähler und Nenner des Bruches kommt jeweils der Term <math>x-2</math> vor. Deshalb kann man <math>x-2</math> kürzen. Für die Definitionsmenge gilt aber weiterhin, dass man <math>x = 2</math> nicht einsetzen darf, da im ursprünglichen Term der Nenner 0 würde, also [[Bild:kh-rf-d-ohne2-2.jpg]].<br>
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{{Lösung versteckt|In Zähler und Nenner des Bruches kommt jeweils der Term <math>x-2</math> vor. Deshalb kann man <math>x-2</math> kürzen. (Siehe auch Lösung zu Aufgabe 2h) ) Für die Definitionsmenge gilt aber weiterhin, dass man <math>x = 2</math> nicht einsetzen darf, da im ursprünglichen Term der Nenner 0 würde, also [[Bild:kh-rf-d-ohne2-2.jpg]].<br>
 
Die Funktion stimmt bis auf die Stelle bei <math>x = 2</math> mit der Funktion mit dem Term <math>\frac{1}{x-2}\ </math> überein. <br><br>
 
Die Funktion stimmt bis auf die Stelle bei <math>x = 2</math> mit der Funktion mit dem Term <math>\frac{1}{x-2}\ </math> überein. <br><br>
 
Der Graph schaut dann so aus:<br>
 
Der Graph schaut dann so aus:<br>
 
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Beachte, dass der blaue Punkt (2; 0,25) im Graphen eine Lücke ist. An dieser Stelle gibt es keinen Punkt!}}
 
Beachte, dass der blaue Punkt (2; 0,25) im Graphen eine Lücke ist. An dieser Stelle gibt es keinen Punkt!}}
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Version vom 28. März 2020, 13:55 Uhr

Auf dieser Seite kommen noch ein paar Tests, mit denen du schauen kannst wie sicher du im Umgang mit gebrochen-rationalen Funktionen bist.

Zuerst zur Wiederholung:

30px   Merke

Die Funktion f hat in x0 eine Nullstelle, wenn f(x0) = 0 ist.

Das hast du bei linearen Funktionen schon kennengelernt.


30px   Aufgabe 1

Bestimme die Nullstellen der linearen Funktionen f mit
a) f(x) = x - 1
b) f(x) = 2x + 1
c) f(x) = 5x
d) f(x) = 12x - 48
e) f(x) = -2x + 10
f) f(x) = 4 - 0,5x
g) f(x) = -2x -0,25
h) Welche Bedeutung haben die Nullstellen beim Graphen der Funktion?

a) x = 1
b) x = - 0,5
c) x = 0
d) x = 4
e) x = 5
f) x = 8
g) x = -0,125

h) Die Nullstellen der Funktion geben beim Graphen den Schnittpunkt mit der x-Achse (y=0) an.


Auch für gebrochen-rationale Funktionen kann man falls es Nullstellen gibt diese angeben.

30px   Merke

Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist.

Beispiel: \frac{2x+1}{x} hat den Wert 0, wenn der Zähler 2x+1 = 0 ist, also für x = -0,5.

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine gebrochenrationale Funktion besitzt überall dort eine Nullstelle, wo der Zähler den Wert Null annimmt (und der Nenner jedoch ungleich Null ist).

Nimmt der Zähler einer gebrochen-rationalen Funktion für x0 den Wert 0 an und hat auch der Nenner für x0 den Wert 0, dann ist xo eine Definitionslücke und man darf x0 gar nicht einsetzen. Deshalb ist in dem Merksatz nur in Klammern angemerkt, dass der Nenner bei einer Nullstelle einen Wert ungleich 0 hat.


30px   Aufgabe 2

Bestimme für die gebrochen-rationale Funktion f zuerst die Definitonslücke und Definitionsmenge und dann die Nullstelle(n)
a) f mit f(x) = \frac{x}{x-1}
b) f mit f(x) = \frac{x-2}{x+1}
c) f mit f(x) = \frac{x+2}{x^2+1}
d) f mit f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}
e) f mit f(x) = \frac{2x+1}{x-5}
f) f mit f(x) = \frac{3-x}{x-3}
g) f mit f(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{x-1}
h) f mit f(x) = \frac{x-2}{x^2-4}

a) f(x) = \frac{x}{x-1} hat bei x = 1 eine Definitionslücke, D = Q\{1} und bei x = 0 eine Nullstelle.
b) f(x) = \frac{x-2}{x+1} hat bei x = -1 eine Definitionslücke und D = Q\{-1}; Nullstelle bei x = 2.
c) f mit f(x) = \frac{x+2}{x^2+1} hat keine Definitionslücke (x2 + 1 > 0), D = Q; Nullstelle bei x = -2
d) f(x) = \frac{x^2}{x^2-1} hat wegen x2-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken x = -1 und x = 1, also D = Q\{-1;1} und Nullstelle bei x = 0.
e) f(x) = \frac{2x+1}{x-5} hat bei x = 5 eine Definitionslücke, D = Q\{5} und Nullstelle bei x = - 0,5.
f) f mit f(x) = \frac{3-x}{x-3} hat bei x = 3 eine Definitionslücke, D = Q\{3}. Der Zähler nimmt für x = 3 den Wert 0 an, aber man darf die Definitionslücke ja gar nicht einsetzen, also ist 3 keine Nullstelle!
g) f(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{x-1} hat bei x = 1 eine Definitionslücke, D=Q\{1] und bei x = -1 und x = 2 Nullstellen.

Beachte: Ein Produkt hat den Wert 0, wenn ein Faktor den Wert 0 hat!

i) f(x) = \frac{x-2}{x^2-4} hat wegen x2-4=(x+2)(x-2) zwei Definitionslücken bei x = - und x = 2, D = Q\{-2;2}. Allerdings steht im Zähler auch der Term x-2. Damit kann man kürzen \frac{x-2}{x^2 - 4}==\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x+2}. 

Brüche kann man kürzen, wenn in Zähler und Nenner der gleiche Faktor vorkommt.
Am gekürzten Term sieht man, dass x = 2 keine Nullstelle ist, da der Zähler 1 nicht gleich 0 ist.


Für die folgenden Tests, in denen Graphen und Funktionsterme gegeben sind, ist es hilfreich sich den Term anzusehen und zu überlegen wo Definitionslücken und Nullstellen auftreten.
Bei einer Definitionslücke hat man oftmals eine senkrechte Asymptote.
Bei der Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse.
Waagrechte Asymptoten hat man, wenn x \rightarrow -\infty oder x \rightarrow -\infty geht.

Test 1

Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.

Kh-rf-graph-1.jpg Kh-rf-graph-2.jpg Kh-rf-graph-3.jpg Kh-rf-graph-4.jpg Kh-rf-graph-5.jpg Kh-rf-graph-10.jpg
Kh-rf-term-1.jpg Kh-rf-term-2.jpg Kh-rf-term-3.jpg Kh-rf-term-4.jpg Kh-rf-term-5.jpg Kh-rf-term-10.jpg

Test 2

Kh-rf-term-1.jpg Kh-rf-term-2.jpg Kh-rf-term-3.jpg Kh-rf-term-9.jpg Kh-rf-term-5.jpg
Kh-rf-graph-1.jpg Kh-rf-graph-2.jpg Kh-rf-graph-3.jpg Kh-rf-graph-9.jpg Kh-rf-graph-5.jpg

Test 3

Ordne die Definitionsmenge dem richtigen Graph zu.

Kh-rf-graph-4.jpg Kh-rf-graph-1.jpg Kh-rf-graph-2.jpg Kh-rf-graph-3.jpg Kh-rf-graph-5.jpg
Kh-rf-d-ohne-1.jpg Kh-rf-d-ohne1.jpg Kh-rf-d-ohne-2.jpg Kh-rf-d-ohne-1.jpg Kh-rf-d-ohne-1.jpg

Test 4

Ordne die Definitionsmenge dem richtigen Term zu.

Kh-rf-term-6.jpg Kh-rf-term-7.jpg Kh-rf-term-8.jpg Kh-rf-term-9.jpg Kh-rf-term-10.jpg
Kh-rf-d-ohne1.jpg Kh-rf-d-ohne15.jpg Kh-rf-d-ohne15.jpg Kh-rf-d-ohne0.jpg Kh-rf-d-ohne2-2.jpg

Bestimme zum Graph die richtigen Asymptoten.

Test 5

Kh-rf-graph-4.jpg Kh-rf-graph-1.jpg Kh-rf-graph-2.jpg Kh-rf-graph-3.jpg Kh-rf-graph-5.jpg
x = -1 und y = -1 x = 1 und y = 0 y = 0 und x = -2 x = -1 und y = 1 x = -1 und y = 2


Test 6

Bestimme zum Term die richtigen Asymptoten.

Kh-rf-term-6.jpg Kh-rf-term-7.jpg Kh-rf-term-8.jpg Kh-rf-term-9.jpg Kh-rf-term-10.jpg
x = 1 und y = 2 x = 1,5 und y = 1 x = 1,5 und y = 1,5 x = 0 und y = 0 x = -2 und x = 2

Für Spezialisten oder alle, die noch nicht genug haben:

Finde die richtigen Paare - je ein Funktionsterm und ein Funktionsgraph gehören zusammen. Achte auf die wesentlichen Eigenschaften der Funktion (Nullstelle, Asymptote, Polstelle, Definitionsmenge).

Kh-rf-term-1.jpg Kh-rf-graph-1.jpg
Kh-rf-term-2.jpg Kh-rf-graph-2.jpg
Kh-rf-term-3.jpg Kh-rf-graph-3.jpg
Kh-rf-term-4.jpg Kh-rf-graph-4.jpg
Kh-rf-term-5.jpg Kh-rf-graph-5.jpg
Kh-rf-term-6.jpg Kh-rf-graph-6.jpg
Kh-rf-term-7.jpg Kh-rf-graph-7.jpg
Kh-rf-term-8.jpg Kh-rf-graph-8.jpg

Zum Schluss noch ein paar Aufgaben zum Knobeln.


Aufgabe 3:

Gib zu diesem Graph
Kh-rf-graph-11.jpg
den richtigen Funktionsterm an.
Finde dazu die Asymptoten, Polstellen und Nullstellen und überlege dir wie diese Dinge im Funktionsterm eingehen.

senkrechte Asymptoten x = -2 und x = 2, also muss (x+2)(x-2) im Nenner des Bruches stehen
Nullstellen: x = -1, also muss x+1 im Zähler des Bruches stehen
waagrechte Asymptote y = 0, also ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners

Ergebnis: Kh-rf-term-11.jpg


Aufgabe 4:

Gegeben ist die Funktion f mit Kh-rf-term-12.jpg.
Zeichne den Graphen!

Kh-rf-graph-12.jpg


Aufgabe 5:

Gegeben ist die Funktion f mit Kh-rf-term-13.jpg.
Worin unterscheidet sich dieser Funktionsterm von Term der Aufgabe 2?
Wie macht sich das im Graph ersichtlich?
Zeichne den Graphen!

In Zähler und Nenner des Bruches kommt jeweils der Term x-2 vor. Deshalb kann man x-2 kürzen. (Siehe auch Lösung zu Aufgabe 2h) ) Für die Definitionsmenge gilt aber weiterhin, dass man x = 2 nicht einsetzen darf, da im ursprünglichen Term der Nenner 0 würde, also Kh-rf-d-ohne2-2.jpg.
Die Funktion stimmt bis auf die Stelle bei x = 2 mit der Funktion mit dem Term \frac{1}{x-2}\ überein.

Der Graph schaut dann so aus:

Kh-rf-graph-13.jpg
Beachte, dass der blaue Punkt (2; 0,25) im Graphen eine Lücke ist. An dieser Stelle gibt es keinen Punkt!

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