M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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− | {{Aufgaben-blau|2|2= | + | {{Aufgaben-blau|2|2=Bestimme für die Bruchgleichungen jeweils die maximale Definitionsmenge und den Hauptnenner. Löse dann die Gleichungen. |
− | {{ | + | a) <math>\frac{x-\sqrt 2}{x + \sqrt 2}+\frac{x+\sqrt 2}{x-\sqrt 2} = 3</math> |
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− | + | b) <math>\frac{x}{x-1}- \frac{15-x}{x^2-1}=0</math> }} | |
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+ | {{Lösung versteckt|1= a) <math>D=R \setminus \{-\sqrt 2 , \sqrt 2 \}</math>, <br> | ||
+ | Man bestimmt zuerst den Hauptnenner (HN) und multipliziert die Gleichung dann mit dem Hauptnenner.<br> | ||
+ | <math>HN = (x+\sqrt 2)(x-\sqrt 2)</math><br> | ||
<math>(x-\sqrt 2)^2 + (x+\sqrt 2)^2 =3(s-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)</math><br> | <math>(x-\sqrt 2)^2 + (x+\sqrt 2)^2 =3(s-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)</math><br> | ||
<math>x^2-2\sqrt 2 x+2+x^2+2\sqrt 2 x +2 =3(x^2-2)</math> <br> | <math>x^2-2\sqrt 2 x+2+x^2+2\sqrt 2 x +2 =3(x^2-2)</math> <br> | ||
<math> 2x^2 + 4 = 3x^2 -6</math> <br> | <math> 2x^2 + 4 = 3x^2 -6</math> <br> | ||
− | <math>10=x^2</math>, also | + | <math>10=x^2</math>, also <math>L=-\sqrt {10}, \sqrt {10} </math>}<br> |
− | + | b) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x<sup>2</sup>-1=(x-1)(x+1)!) ,<br> | |
Die zwei Brüche auf der linken Seite haben die Nenner x-1 und x²-1. Mit der dritten binomischen Formel kommt in beiden Nenner x-1 vor, also muss man den ersten Bruch mit x+1 erweitern. Dann haben beiden Brüche den gleichen Nenner (x+1)(x-1). Multipliziert man nun die Gleichung mit (x+1)(x-1) durch, dann fallen die Nenner weg und links bleibt stehen x(x+1)-(15-x). Bitte macht eine Klammer um den Zähler des zweiten Bruchs, weil vor dem Bruch ein - steht! Damit muss man die Gleichung x<sup>2</sup>+x-15+x=0 zu lösen, dies ist eine quadratische Gleichung x<sup>2</sup>+2x-15=0 mit den zwei Lösungen x<sub>1</sub>=-5; x<sub>2</sub>=3 }} | Die zwei Brüche auf der linken Seite haben die Nenner x-1 und x²-1. Mit der dritten binomischen Formel kommt in beiden Nenner x-1 vor, also muss man den ersten Bruch mit x+1 erweitern. Dann haben beiden Brüche den gleichen Nenner (x+1)(x-1). Multipliziert man nun die Gleichung mit (x+1)(x-1) durch, dann fallen die Nenner weg und links bleibt stehen x(x+1)-(15-x). Bitte macht eine Klammer um den Zähler des zweiten Bruchs, weil vor dem Bruch ein - steht! Damit muss man die Gleichung x<sup>2</sup>+x-15+x=0 zu lösen, dies ist eine quadratische Gleichung x<sup>2</sup>+2x-15=0 mit den zwei Lösungen x<sub>1</sub>=-5; x<sub>2</sub>=3 }} | ||
=Anwendungsaufgaben= | =Anwendungsaufgaben= | ||
− | {{Aufgaben-blau|3|2= | + | {{Aufgaben-blau|3|2=1. a) Finde eine positive reelle Zahl, die um 1 kleiner als ihr Quadrat ist.<br> |
− | + | b) Finde eine reelle Zahl, die um 1 größer als ihr Kehrwert ist. | |
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− | }} | + | 2. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die längere Kathete um 1 cm kürzer als die Hypotenuse, aber um 7cm länger als die kürzere Kathete. Berechne die Längen der drei Dreiecksseiten. <br> |
+ | Konstruiere das Dreieck und seinen Umkreis. <br> | ||
+ | Ermittle die Umfangslänge und den Flächeninhalt dieses Dreiecks. wie viel lProzent der Umrkeisfläche nimmt die Dreiecksfläche ein? | ||
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+ | 3. Ein Volleyballverein bietet seinen Fans eine Busfahrt zum Auswärtsspiel an. Es wird mit einem vollen Bus gerechnet, der insgesamt 450 € kostet. Bei der Abfahrt erscheinen aber fünf der angemeldeten Personen nicht, so dass sich der Fahrpreis für jeden der übrigen Fans um 1 € verteuert. Finde heraus, um wie viel Proeznt sich durch das Fernbleiben der fünf Fans die Fahrt für jeden der übrigen verteuert. }} | ||
− | {{Lösung versteckt|1= | + | {{Lösung versteckt|1=1a) Die zugehörige Gleichung ist <math>x = x^2-1</math> mit der positven Lösung <math>x_1=\frac{1+\sqrt 5}{2}</math>.<br> |
b) Die zugehörige Gleichung ist <math>x = \frac {1}{x} +1</math> mit den Lösungen <math>x_1=\frac{1-\sqrt 5}{2}, x_2=\frac{1+\sqrt 5}{2}</math> | b) Die zugehörige Gleichung ist <math>x = \frac {1}{x} +1</math> mit den Lösungen <math>x_1=\frac{1-\sqrt 5}{2}, x_2=\frac{1+\sqrt 5}{2}</math> | ||
− | + | 2. Mache dir zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks (Hypotenuse c unten, Katheten rechts und links, z.b. die rechte Kathete länger, dann ist die längere Kathete b, die kürzere a) Es ist dann a = b-7, c = b+1 und mit dem Satz von Pythagoras erhält man <math>(c+1)^2=b^2+(b-7)^2</math>. Nun löst man die Klammern auf und fasst zusammen. Es ergibt sich die quadratische Gleichung <math>b^2-16b+48=0</math>, welche die Lösungen <math>b_1=4, b_2=12</math>. Wegen a = b-7 ist b<sub>1</sub>=4 keine Lösung, also hat das Dreieck die Seitenlängen a = 5, b = 12, c = 13. <br> | |
(Übrigens ist (5;12;13) ein pythagroräisches Zahlentripfel!)<br> | (Übrigens ist (5;12;13) ein pythagroräisches Zahlentripfel!)<br> | ||
<math>u_{Dreieck}=5+12+13=30</math>, <math>A_{Dreieck}=\frac{1}{2}4\cdot 12=30</math><br> | <math>u_{Dreieck}=5+12+13=30</math>, <math>A_{Dreieck}=\frac{1}{2}4\cdot 12=30</math><br> | ||
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Es ist <math>\frac{A_{Dreieck}}{A_{Kreis}}=\frac{30}{132,73}=0,226=22,6%</math> | Es ist <math>\frac{A_{Dreieck}}{A_{Kreis}}=\frac{30}{132,73}=0,226=22,6%</math> | ||
− | + | 3. Für den vollen Bus sind n Mitfahrer eingeplant. Jeder Mitfahrer zahlt dann für die Busfahrt <math>x=\frac{450}{n}</math>.<br> | |
Da nun 5 Personen weniger mitfahren, es ist also die Anzahl der Mitfahrer n - 5. Und jeder Mitfahrer zahlt nun x + 1. <br> | Da nun 5 Personen weniger mitfahren, es ist also die Anzahl der Mitfahrer n - 5. Und jeder Mitfahrer zahlt nun x + 1. <br> | ||
Man hat nun die Gleichung <math>450 = (n-5)(x+1)</math>. Diese Gleichung hat nun zwei Unbekannte n und x. Wir kennen aber einen Zusammenhang zwischen n und x, nämlich <math>x=\frac{450}{n}</math> oder <math>n=\frac{450}{x}</math>. Setzt man die letzte Gleichung für n in die Gleichung <math>450 = (n-5)(x+1)</math> ein, so erhält man <math>450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)</math>. | Man hat nun die Gleichung <math>450 = (n-5)(x+1)</math>. Diese Gleichung hat nun zwei Unbekannte n und x. Wir kennen aber einen Zusammenhang zwischen n und x, nämlich <math>x=\frac{450}{n}</math> oder <math>n=\frac{450}{x}</math>. Setzt man die letzte Gleichung für n in die Gleichung <math>450 = (n-5)(x+1)</math> ein, so erhält man <math>450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)</math>. | ||
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<center>{{#ev:youtube |31CGNKGGm_0|350}}</center> | <center>{{#ev:youtube |31CGNKGGm_0|350}}</center> | ||
− | {{Aufgaben-blau|4|2=Schwimmbadaufgabe | + | {{Aufgaben-blau|4|2=Schwimmbadaufgabe: Adele springt im Schwimmbad mit Anlauf waagrecht vom 10m-Turm. Nach dem Absprung beschreibt sie eine Parabelbahn. Eine Videoaufzeichnung zeigt, dass sie die 5m-Plattform in einem Abstand von 5,0 m passiert.<br> |
+ | a) Wähle ein passendes Koordinatensystem und beschreibe Adeles Bahn durch einen Funktionsterm. <br> | ||
+ | b) Wie weit ist Adele in waagrechter Richtung gesprungen?}} | ||
− | {{Lösung versteckt|1= | + | {{Lösung versteckt|1=a) Koordinatensystem mit Ursprung im Fußpunkt des Sprungturms, Scheitel bei (0;10), weiterer Parabelpunkt (5;5)<br> |
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− | a) Koordinatensystem mit Ursprung im Fußpunkt des Sprungturms, Scheitel bei (0;10), weiterer Parabelpunkt (5;5)<br> | + | |
Mit der Scheitelform <math>y = ax^2 +10</math> und <math>5=25a+10</math> ergibt sich <math>a=-\frac{1}{5}</math>, also <math>f(x) = -\frac{1}{5}x^2+10</math> | Mit der Scheitelform <math>y = ax^2 +10</math> und <math>5=25a+10</math> ergibt sich <math>a=-\frac{1}{5}</math>, also <math>f(x) = -\frac{1}{5}x^2+10</math> | ||
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Um die Schnittpunkte zu bestimmen muss man die Gleichung <math>\frac{1}{4}(x+1)^2-2= -\frac{1}{2}x+3</math> lösen. Dazu formt man die linke Seite zuerst um in <math>\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}</math> und hat dann die Gleichung <math>\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}=-\frac{1}{2}x+3</math>. Diese Gleichung bringt man in die übliche Form einer quadratischen Gleichung <math>\frac{1}{4}x^2+x-\frac{19}{4}=0</math>. Mit der Lösungsformel erhält man <math>x_1=-2-\sqrt {23}\approx -6,796</math> und <math>x_2=-2+\sqrt{23}\approx 2,796</math> <br> | Um die Schnittpunkte zu bestimmen muss man die Gleichung <math>\frac{1}{4}(x+1)^2-2= -\frac{1}{2}x+3</math> lösen. Dazu formt man die linke Seite zuerst um in <math>\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}</math> und hat dann die Gleichung <math>\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}=-\frac{1}{2}x+3</math>. Diese Gleichung bringt man in die übliche Form einer quadratischen Gleichung <math>\frac{1}{4}x^2+x-\frac{19}{4}=0</math>. Mit der Lösungsformel erhält man <math>x_1=-2-\sqrt {23}\approx -6,796</math> und <math>x_2=-2+\sqrt{23}\approx 2,796</math> <br> | ||
Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind dann S<sub>1</sub>(-6,796;6,398) und S<sub>2</sub>(2,796;1,602) | Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind dann S<sub>1</sub>(-6,796;6,398) und S<sub>2</sub>(2,796;1,602) | ||
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Aktuelle Version vom 19. Februar 2022, 10:52 Uhr
Bruchgleichungen
Bei den Bruchgleichungen der 8. Klasse hast du schon Gleichungen wie gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies?
Wenn du die Bruchgleilchung mit dem Produkt der Nenner (x2-x)(x2-1) multiplizierst, dann erhältst du:
und gekürzt ("über Kreuz multiplizieren"):
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: --> --> das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.
Anwendungsaufgaben
Und zum Anschauen (du kannst natürlich auch immer anhalten und selbst mitrechnen und lösen!):
Schnittprobleme
1. Man hat zwei Funktionen, eine quadratische Funktion und eine lineare Funktion . Für diese zwei Funktionen stellt sich die Frage, haben sie gemeinsame Punkte oder nicht.
Für die Graphen der Funktionen bedeutet das, schneiden sie sich, berühren sie sich oder haben sie keine gemeinsamen Punkte.
Dies kann man versuchen graphisch zu lösen:
Aus der Grafik liest man ab, dass die beiden Graphen sich in den Punkten (2;0) und (3;3) schneiden.
Rechnerisch geht es darum die Gleichung zu lösen. Dazu formt man sie um in die für quadratische Gleichungen übliche Form, alles auf die linke Seite und 0 auf der rechten Seite, und versucht diese Gleichung zu lösen.
Mit der Diskriminante D =25-24=1 weiß man, dass es zwei Lösungen gibt und mit der Lösungsformel erhält man x1 = 2 und x3 = 3.
2. Die Graphen der Funktionen und schneiden sich.
3. Ermittle die gemeinsamen Punkte der Graphen von und . Zeichnet man die Graphen in ein Koordinatensystem so hat man dieses Bild:
Aus der Graphik kann man die Schnittpunkte schlecht ablesen. Also muss man sie berechnen. Es ist dabei die Gleichung zu lösen. Dies führt zu der quadratischen Gleichung , die man löst und die Lösungen hat, also
4. Wo schneiden sich die beiden Graphen?
Man kann es aus der Graphik nur ungenau ablesen. Also muss man rechnen. Aber man hat ja nur die zwei Graphen.
Aus den Graphen kann man die Funktonsterme bestimmen. Bestimme die Funktionsgleichungen für f und g.
[Lösung anzeigen]
Um die Schnittpunkte zu bestimmen muss man die Gleichung lösen. Dazu formt man die linke Seite zuerst um in und hat dann die Gleichung . Diese Gleichung bringt man in die übliche Form einer quadratischen Gleichung . Mit der Lösungsformel erhält man und
Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind dann S1(-6,796;6,398) und S2(2,796;1,602)