Aktuelle Version vom 19. Februar 2022, 07:18 Uhr

Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen

Merke

Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen findet man, indem man die Funktionsterme gleichsetzt und die Gleichung nach x auflöst.

Aufgabe 1

Gemeinsame Punkte einer Parabel mit einer Geraden

Bestimme jeweils die Koordinaten der Punkte R und T, die die Gerade g und die Parabel P gemeinsam haben. Berechne jeweils die Länge der Strecke $\overline {RT}$ .
a) P: y = x² und g: y = -x + 2
b) P: y = 2x² - 2 und g: y = 6
c) P: y = -x² - 9 und g: y = -2x - 7
d) P: y = 4x² + x und g: y = 1,5x
e) P: $y = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}$ und g: y = 2 - x
f) P: $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - 1$ und g: y = -0,5x + 2,5

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $x^2 = -x+2$ liefert eine quadratische Gleichung $x^2 + x -2 = 0$ . Die Gleichung lässt sich in Linearfaktoren zerlegen $(x+2)(x-1)=0$ mit den zwei Lösungen $x_1 = -2, x_2 = 1$ .
Die gemeinsamen Punkte erhält man indem man die Lösungen in die Geradengleichung einsetzt, sie sind R(-2;4) und T(1;1). (Man könnte die Lösungen auch in den quadratischen Term einsetzen, es müssen die gleichen y-Werte herauskommen.) Die Länge der Strecke [RT] ist $\bar {RT}=\sqrt {(4-1)^2 + (-2-1)^2}=3\sqrt 2$ .

b) $2x^2-2=6$ liefert $x^2=4$ mit den Lösungen $x_1=-2, x_2=2$ .
R(-2;6), T(2;6) und $\bar {RT}=4$

c) $-x^2 - 9 = -2x -7$ liefert $x^2 - 2x +2 = 0$ . Die Diskriminante D dieser Gleichung ist D = (-2)² - 4·2 = 4 - 8 = -4 < 0. Also hat die Gleichung keine Lösung und die Graphen keine gemeinsamen Punkte.

d) $4x^2 + x = 1,5x$ liefert $4x^2 - 0,5x = 0$ . Man kann 4x ausklammern: $4x(x - \frac{1}{8})=0$ hat die zwei Löungen $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{8}$ .
$R(0;0), T(\frac{1}{8};\frac{3}{16}$ ) und die Streckenlänge $\bar {RT}=\sqrt {\frac{3}{16}^2 + \frac{1}{8}^2}=\frac{\sqrt {13}}{16} \approx 0,225$

e) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}=2-x$ liefert $\frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}=0$ . Die linke Seite lässt sich umformen in $\frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}=\frac{1}{3}(x^2 + 3x -4)=\frac{1}{3}(x +4)8x-1)$ und man löst die Gleichung $\frac{1}{3}(x +4)8x-1)=0$ mit den zwei Lösungen $x_1=-4, x_2=1$
R(-4;-6) und T(1;1). Die Streckenlänge ist $\bar {RT}=\sqrt {5^2+5^2}=5\sqrt 2 \approx 7,07$ .

f) $\frac{1}{2}(x-1)^2 - 1= -0,5x + 2,5$ Multipliziert man die Gleichung mit 2, dann fällt der Bruch $\frac{1}{2}$ weg und man hat $(x^2-2x+1)-2=-x + 5$ . Diese Gleichung auf die Form einer quadratischen Gleichung gebracht ergibt $x^2 - x - 6 = 0$ mit den Lösungen $x_=-2, x_2 = 3$

R(-2;3,5) und T(3;1), $\bar {RT}=\sqrt {5^2+2,5^2}=\sqrt{31,25}=\sqrt{\frac{125}{4}}=\frac{5}{2}\sqrt 5 \approx 5,6$

Aufgabe 2

Gemeinsame Punkte zweier Parabeln

Gegeben sind jeweils die Gleichungen der beiden Parabeln $P_1$ und $P_2$ .

a) $P_1: y = x^2$ und $P_2: y = 2x^2 - 4$
b) $P_1: y = x^2$ und $P_2: y = -x^2 + 4$
c) $P_1: y = x^2$ und $P_2: y = -(x-2)^2 - 4$
d) $P_1: y = 2(x-1)^2$ und $P_2: y = -3(x+1)^2$
e) $P_1: y = x^2$ und $P_2: y = 2x^2 +1$
f) $P_1: y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$ und $P_2: y = x^2 - 4$

Überlege zuerst, welche Paare der Parabeln keine Punkte miteinander haben und begründe deine Überlegung.
Bestimme durch Rechnung die gemeinsamen Punkte jedes der übrigen Parabelpaare. Überprüfe deine Ergebnisse mit dem anschließenden Applet.
Bei den Parabeln, die einander schneiden , sind die Schnittpunkte und die beiden Parabelscheitel jeweils Eckpunkte eines Vierecks. Berechne den Flächeninhalt dieser Vierecke.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Die beiden Parabeln haben gemeinsame Punkte, da P₂ schlanker als P₁ ist und ihren Scheitel unterhalb vom Scheitel von P₁ hat.
b) P₁ ist nach oben geöffnet und P₂ ist nach unten geöffnet und P₂ hat ihren Scheitel oberhalb des Scheitels von P₁, also müssen sich die beiden Parabeln schneiden.
c) P₁ hat ihren Scheitel bei (0;0) und ist die Normalparabel, also nach oben geöffnet. P₂ hat ihren Scheitel bei (2;-4) und ist nach unten geöffnet. Die beiden Parabeln können sich nicht schneiden.
d) P₁ hat ihren Scheitel bei (1;0) und ist nach oben geöffnet, P₂ bei (-1;0) und ist nachunten geöffnet. Da beide Scheitel den gleichen y-Wert 0 haben und verschiedene x-Werte, können sich die beiden Parabeln nicht schneiden.
e) P₁ ist die Normalparabel, P₂ ist eine schlankere Parabel mit Scheitel (0;1) und beide sind nach oben geöffnet, also können sie sich nicht schneiden.
f) P₁ ist einen nach unten geöffnete weite Parabel mit Scheitel (0;1), P₂ ist nach oben geöffnet mit Scheitel (0;-4). Wegen -4 < 0 schneiden sich die beiden Parabeln.

Rechnungen für a, b, f
a) $x^2 = 2x^2 -4$ liefert $x^2=4$ mit den zwei Lösungen $x_1=-2, x_2=2$
Die Schnittpunkte R(-2;4) und T(2;4) bilden mit den Scheiteln (0;0) und (0;-4) ein Viereck mit A = 8.

b) $x^2 = -x^2 + 4$ liefert $x^2 = 2$ mit den zwei Lösungen $x_1=-\sqrt 2, x_2 = \sqrt 2$ .
Die Schnittpunkte $R(-\sqrt 2 , 2), T(\sqrt 2 , 2)$ bilden mit den zwei Scheiteln (0;0) und (0;4) eine Raute mit 2 Symmetrieachsen. Ihr Flächeninhalt ist $A = 4 \sqrt 2$ .

f) $-\frac{1}{4} x^2 + 1 = x^2 - 4$ liefert $x^2 =4$ mit den zwei Lösungen $x_1= -2, x_2 = 2$ .
Die Schnittpunkte R(-2,0), T(2,0) bilden mit den zwei Scheiteln (0;1) und (0;-4) ein Drachenviereck mit einer Symmetrieachse.

Im folgenden Applet kannst du die Parabeln zu den Aufgaben und gegebenenfalls die Vierecke dir anzeigen lassen.

Aufgabe 3

Gemeinsame Punkte zweier Funktionsgraphen Gegeben sind jeweils zwei Funktionen f und g durch ihre Funktionsgleichungen.

a) $f(x) = \frac{1}{x}$ und $g(x) = x$

b) $f(x) = \frac{1}{x}$ und $g(x) = 2x$

c) $f(x) = \frac{5}{x-2}$ und $g(x) = x+2$

d) $f(x) = \frac{5}{x+1}$ und $g(x) = -5$

e) $f(x) = \frac{2x+8}{x+4}$ und $g(x) = 2x+1$

f) $f(x) = \frac{2}{x-1}$ und $g(x) = 1-x$

g) $f(x) = \frac{-3}{x}$ und $g(x) = \frac{1}{x+1}$

h) $f(x) = \frac{16}{x}$ und $g(x) = x$

i) $f(x) = x^2-4$ und $g(x) = x^2-x$

Bestimme jeweils die Koordinaten der Punkte, die G_f und G_g gemeinsam haben.

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a) $\frac{1}{x}=x$ --> $x^2=1$ und $x_1=-1, x_2=1$ .
R(-1;-1) und T(1;1)

b) $\frac{1}{x}=2x$ --> $x^2 = \frac{1}{2}$ und $x_1=-\frac{\sqrt 2}{2}, x_2=\frac{\sqrt 2}{2}$
$R(-\frac{\sqrt 2}{2};\sqrt 2), T(\frac{\sqrt 2}{2};\sqrt 2)$

c) $\frac{5}{x-2}=x+2$ --> $x^2=9$ und $x_1=-3, x_2=3$
R(-3;-1) und T(3;5)

d) $\frac{5}{x+1}=-5$ --> $x = -2$
R(-2;-5)

e) Beim Funktionsterm von f kann man im Zähler 2 ausklammern und dann den Bruch mit x-4 kürzen, also ist f(x) = 2.
$2 = 2x+1$ --> $x=\frac{1}{2}$
$R(\frac{1}{2};2)$

f) $\frac{2}{x-1}= 1-x$ --> $x^2 = -1$ ist nicht lösbar, also kein Schnittpunkt.

g) $-\frac{3}{x} = \frac{1}{x+1}$ --> $x=-\frac{3}{4}$
$R(-\frac{3}{4};4)$

h) <matsh>\frac{16}{x}=x</math> --> $x^2 = 16$ und $x_1=-4, x_2=4$
R(-4;-4) und T(4;4)

i) $x^2 - 4 = x^2 -x$ --> $x=4$
R(4;12)

Im folgenden Applet kannst du dir die Graphen zu den Aufgaben und die Schnittpunkte anzeigen lassen.

Textaufgaben

Aufgabe 4

Bei Wasserfontänen und Springbrunnen tritt der Wasserstrahl oftmals parabelförmig aus.

Eine parabelförmige Wasserfontäne hat die Höhe 1,7m und die Weite 3,2m.
Wie lautet die Gleichung dieser Wasserfontäne, wenn der Ursprung des Koordinatensystems
a) in der Düsenöffnung liegt
b) auf Höhe des Wasseraustritts unter dem Scheitel liegt.
Gib jeweils auch die Scheitelkoordinaten der Parabel an.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Man legt ein Koordinatensystem an die Wasseraustrittsdüse. Dann sind die beiden Nullstellen der Parabel 3,2m voneinander entfernt. Der Scheitel ist bei 1,6m und hat die Höhe 1,7m. Diese Werte kann man in die Scheitelform der Parabelgleichung einsetzen. $y = a(x-1,6)^2 + 1,7$ .
Nun muss man noch a bestimmen. Die eine Nullstelle ist im Ursprung (0;0), die andere Nullstelle ist (3,2;0). Setzt man die Koordinaten der zweiten Nullstelle in die Gleichung ein, dann kann man a bestimmen.
$0=a(3,2 - 1,6)^2 + 1,7$ --> $a = -\frac{1,7}{2,56} = -\frac{85}{128}$ und $y= -\frac{85}{128}(x-1,6)^2 + 1,7 = -\frac{85}{128} x^2 + \frac{17}{8}x$

b) Man legt das Koordinatensystem so, dass der Ursprung direkt unter dem Scheitel ist und die Wasseraustrittdüse und die Stelle, an der das Wasser wieder aufkommt auf der x-Achse liegen. Dann ist S(0;1,7) und die beiden Nullstellen (-1,6;0) und (1,6;0).
Damit erhält man als Gleichung für die Parabel $y = a(x+1,6)(x-1,6)$ oder $y = a(x^2 -2,56)$ .
Setzt man nun die Koordinaten des Scheitels in die Gleichung, dann erhält man $1,7 = a \cdot (-2,56)$ und $a = -\frac{1,7}{2,56} = -\frac{85}{128}$ .
Die Gleichung der Parabel ist dann $y = -\frac{85}{128}x^2 + 1,7$ .

Dies ist nicht die Gleichung wie bei der ersten Lösung, aber wir haben ja auch das Koordinatensystem anders gelegt, beide Lösungen haben aber den gleichen Koeffizient bei x².

Aufgabe 5

Am Wandertag macht fahrt ihr nach Nürnberg und macht auf der Burg eine Führung. Dabei kommt ihr auch zum Tiefen Brunnen. Dort lässt Gregor einen Stein in den Brunnen fallen und stoppt 3,44s für die zeit, bis er das Auftreffen des Steins hört.
a) Lukas errechnet die Tiefe h des Brunnens nach der Formel $h = \frac{1}{2}gt^2$ , in der g den Ortsfaktor, der in Nürnberg g = 9,81 m/s² ist, für t setzt er Gregors 3,44s ein.
b) Sophie wendet ein: "Der von Lukas berechnete Wert von h berücksichtigt nicht die Zeit, die der Schall für die Strecke vom Boden des Brunnens bis zum Standort von Gregor benötigt. Die Gesamtzeit 3,44s setzt sich aus der Fallzeit und der Schallzeit zusammen."
(Die Schallgeschwindigkeit ist $c_{Schall} \approx 340 \frac{m}{s}$ )

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Für den freien Fall eines Körpers kennt man aus der Physik die Formel $h = \frac{1}{2}gt^2$ . Dabei ist g die Erdbeschleunigung $g = 9,81\frac{m}{s^2}$ .
Setzt man die gemessene Zeit t = 3,44s in die Gleichung für h, dann erhält man $h=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot {m}{s^2}\cdot (3,44s)^2=58m$ .

b) Sophie hat mit ihrem Einwand natürlich Recht. Die gemessene Zeit setzt sich zusammen aus der

Fallzeit $t_{Stein}$ des Steins und
der Zeit $t_{Schall}$ , die der Schall vom Boden bis zum Standort

braucht. Es ist $3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}$ .
Der Stein und der Schall legen beide jeweils den Weg $h$ zurück. Dabei macht der Stein eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung und der Schall eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
Der Stein wird mit konstanter Beschleunigung beschleunigt, dabei ist der zurückgelegte Weg $h = \frac{1}{2}gt_{Stein}^2$ .
Der Schall macht eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, dabei ist der zurückgelegte Weg $h=c_{Schall}t$ , wobei $c_{Schall} \approx 340\frac{m}{s}$ ist.
Da in beiden Fällen der gleiche Weg $h$ zurückgelegt wird, kann man die beiden Gleichungen gleich setzen.
$\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}t$
Dies ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten $t_{Stein}$ und $t_{Schall}$ .
Von Sophia wissen wir, dass $3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}$ ist. Das ist die zweite Gleichung.
Man hat ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:
(1) $\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}t$
(2) $3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}$
Löst man (2) nach $t_{Schall}$ auf und setzt den erhaltenenen Term in (1) ein, dann hat man
$\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}(3,44s - t_{Stein})$
Man erhält eine quadratische Gleichung für $t_{Stein}$ : $\frac{1}{2}gt_{Stein}^2+c_{Schall}t_{Stein}-c_{Schall }\cdot 3,44s=0$
Mit der Lösungsformel erhält man $t_{Stein 1,2}=\frac{-c_{Schall} \pm \sqrt {(c_{Schall})^2+4\cdot \frac{1}{2}g\cdot c_{Schall}\cdot 3,44s}}{2\cdot \frac{1}{2}g}= \frac{-340\frac{m}{s} \pm \sqrt {(340\frac{m}{s})^2+4\cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 340\frac{m}{s}\cdot 3,44s}} {2\cdot \frac{1}{2}9,81\frac{m}{s^2}}$
Das -Zeichen vor der Wurzel kann man weglassen, da sonst im Zähler etwas Negatives stehen würde und damit die Zeit negativ wäre. Dies kann nicht sein. Also kann man gleich nur mit dem + rechnen. Setzt man die Werte ein, dann erhält man <matsh>t_{Stein}=3,284s
und für den Schall $t_{Schall}=0,156s$ .
Damit erhält man für die Tiefe des Brunnens

bei der Bewegung mit konstanter Beschleunigung des Steins $h=\frac{1}{2}\cdot 9,81\frac{m}{s^2}\cdot (3,284s)^2=52,9m$
bei der Bewegung des Schalls mit konstanter Geschwindigkeit $h=340 \frac{m}{s}\cdot 0,156s=53,0m$ .

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 __NOCACHE__
-==Zusammenfassung wie man quadratische Gleichungen löst==
+=Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen=
-{{Merksatz|MERK=Wie löst man eine quadratische Gleichung <math>ax^2+bx+c=0</math>?
+{{Merke|1=Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen findet man, indem man die Funktionsterme gleichsetzt und die Gleichung nach x auflöst. }}
-. Man kann es mit der Zerlegung in Linearfaktoren oder mit dem Satz von Vieta probieren. Dazu muss <math>a = 1</math> sein. Dann funktioniert es meistens sehr gut. Dann schaut man sich b und c an und findet durch einfaches Ausprobieren die Lösungen.
+{{Aufgaben-blau|1|2='''Gemeinsame Punkte einer Parabel mit einer Geraden'''
-<center>{{#ev:youtube |qrZXlEDSdBo|350}}</center>
-. Man findet immer die oder keine Lösung(en), wenn man die Lösungsformel anwendet.
+Bestimme jeweils die Koordinaten der Punkte R und T, die die Gerade g und die Parabel P gemeinsam haben. Berechne jeweils die Länge der Strecke <math>\overline {RT}</math>.<br>
-<center><math>x{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math></center>
+a) P: y = x² und g: y = -x + 2<br>
+b) P: y = 2x² - 2 und g: y = 6<br>
+c) P: y = -x² - 9  und g: y = -2x - 7<br>
+d) P: y = 4x² + x und g: y = 1,5x<br>
+e) P: <math>y = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}</math> und g: y = 2 - x<br>
+f) P: <math>y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - 1</math>  und g: y = -0,5x + 2,5  }}
-i) Dazu bringt man zuerst die quadratische Gleichung, die sich bei der Lösung eines Problems ergibt auf die Form
+{{Lösung versteckt|1=a) <math>x^2 = -x+2</math> liefert eine quadratische Gleichung <math>x^2 + x -2 = 0</math>. Die Gleichung lässt sich in Linearfaktoren zerlegen <math>(x+2)(x-1)=0</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1 = -2, x_2 = 1</math>. <br>
-<center><math>ax^2+bx+c=0</math>,</center>
+Die gemeinsamen Punkte erhält man indem man die Lösungen in die Geradengleichung einsetzt, sie sind R(-2;4) und T(1;1). (Man könnte die Lösungen auch in den quadratischen Term einsetzen, es müssen die gleichen y-Werte herauskommen.) Die Länge der Strecke [RT] ist <math>\bar {RT}=\sqrt {(4-1)^2 + (-2-1)^2}=3\sqrt 2</math>.
-also man bringt alles auf die linke Seite. Auf der rechten Seite steht 0. Die linke Seite sortiert man nach x^2, x und der Zahl.
-ii) Wenn man ganz sicher gehen will notiert man sich a =, b=, c= und achtet dabei, dass man die Rechenzeichen als Vorzeichen zu den Zahlen nimmt.
+b)  <math>2x^2-2=6</math> liefert <math>x^2=4</math> mit den Lösungen <math>x_1=-2, x_2=2</math>. <br>
+R(-2;6), T(2;6) und <math>\bar {RT}=4</math>
-iii) Nun setzt man die Zahlen in die Lösungsformel ein. <br>
+c) <math>-x^2 - 9 = -2x -7</math> liefert <math> x^2 - 2x +2 = 0</math>. Die Diskriminante D dieser Gleichung ist D = (-2)<sup>2</sup> - 4·2 = 4 - 8 = -4 < 0. Also hat die Gleichung keine Lösung und die Graphen keine gemeinsamen Punkte.
-Wenn der Wert des Terms <math>b^2-4ac</math> unter der Wurzel negativ ist, ist man fertig. Dann gibt es keine Lösung.<br>
-Wenn der Wert des Terms <math>b^2-4ac</math> unter der Wurzel 0 ist, dann hat man genau eine Lösung, die man mit <math>x=\frac{-b}{2a}</math> berechnet.
-Wenn der Wert des Terms <math>b^2-4ac</math> unter der Wurzel positiv ist, dann gibt es zwei Lösungen <math>x_1=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math> und <math>x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>.
-<center>{{#ev:youtube |ZywdPuXR0S0|350}}</center> }}
+d) <math> 4x^2 + x = 1,5x</math> liefert <math> 4x^2 - 0,5x = 0</math>. Man kann 4x ausklammern: <math> 4x(x - \frac{1}{8})=0</math>
+hat die zwei Löungen <math>x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{8}</math>. <br>
+<math>R(0;0), T(\frac{1}{8};\frac{3}{16}</math>) und die Streckenlänge <math>\bar {RT}=\sqrt {\frac{3}{16}^2 + \frac{1}{8}^2}=\frac{\sqrt {13}}{16}   \approx 0,225</math>
+e) <math>\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}=2-x</math> liefert <math>\frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}=0</math>. Die linke Seite lässt sich umformen in <math>\frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}=\frac{1}{3}(x^2 + 3x -4)=\frac{1}{3}(x +4)8x-1)</math> und man löst die Gleichung <math>\frac{1}{3}(x +4)8x-1)=0</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1=-4, x_2=1</math><br>
+R(-4;-6) und T(1;1). Die Streckenlänge ist <math>\bar {RT}=\sqrt {5^2+5^2}=5\sqrt 2 \approx 7,07</math>.
-=Extremwertaufgaben=
+f) <math> \frac{1}{2}(x-1)^2 - 1= -0,5x + 2,5</math> Multipliziert man die Gleichung mit 2, dann fällt der Bruch <math>\frac{1}{2}</math> weg und man hat <math>(x^2-2x+1)-2=-x + 5</math>. Diese Gleichung auf die Form einer quadratischen Gleichung gebracht ergibt <math>x^2 - x - 6 = 0</math> mit den Lösungen <math>x_=-2, x_2 = 3</math><br>
+R(-2;3,5) und T(3;1), <math>\bar {RT}=\sqrt {5^2+2,5^2}=\sqrt{31,25}=\sqrt{\frac{125}{4}}=\frac{5}{2}\sqrt 5 \approx 5,6</math> }}
-Einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 6cm wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Rechteckseite l auf einer Dreieckseite liegt und die anderen Eckpunkte des Rechtecks auf den beiden anderen Dreieckseiten liegen. Im folgenden Applet ist die Situation dargestellt. Die Rechteckseite l liegt auf der Dreieckseite [AB].
+{{Aufgaben-blau|2|2='''Gemeinsame Punkte zweier Parabeln'''
-<ggb_applet height="500" width="600"
+Gegeben sind jeweils die Gleichungen der beiden Parabeln <math>P_1</math> und <math>P_2</math>.
-filename="parabel_extremwert_1.ggb" />
-Den Punkt E kann man auf der Dreieckseite [AB] bewegen. Dadurch ändert sich das Rechteck der Aufgabe. Über dem Wert der Rechteckseite l wird der Flächeninhalt <math>A_R</math> des Rechtecks aufgetragen. Dies ergibt im Applet den Punkt <math>A_R</math>. Wenn man die Lage des Punktes E ändert, ändert sich auch die Rechteckfläche und der Punkt <math>A_R</math> wandert. Der Punkt <math>A_R</math> hat die Koordinaten <math>A_R(l;A_R(l))</math><br>
+a) <math>P_1: y = x^2</math> und <math>P_2: y = 2x^2 - 4</math><br>
-Das Rechteck hat Flächeninhalt 0, wenn l = 0 oder l = 6 ist. Gibt es ein Rechteck mit größtem Flächeninhalt?
+b) <math>P_1: y = x^2</math> und <math>P_2: y = -x^2 + 4</math><br>
+c)  <math>P_1: y = x^2</math> und <math>P_2: y = -(x-2)^2 - 4</math><br>
+d) <math>P_1: y = 2(x-1)^2</math> und <math>P_2: y = -3(x+1)^2</math><br>
+e) <math>P_1: y = x^2</math> und <math>P_2: y = 2x^2 +1</math><br>
+f) <math>P_1: y = -\frac{1}{4}x^2 + 1</math> und <math>P_2: y = x^2 - 4</math><br>
-Für den Punkt <math>A_R</math> im Applet kann man die Spur anzeigen, die sich ergibt, wenn E bewegt wird. Man sieht, dass die Spur eine Parabel ergibt, deren Scheitel bei l = 3 liegt. Man kann auch den Wert von <math>A_R</math> zu <math>A_R(3)=7,8</math> ablesen. <br>
+Überlege zuerst, welche Paare der Parabeln keine Punkte miteinander haben und begründe deine Überlegung.<br>
-Da der Flächeninhalt <math>A_R</math> des einbeschriebenen Rechtecks von der Seitenlänge l abhängt, kann man eine Funktion <math>A_R :l \rightarrow A_R(l)</math> angeben, die für jeden Wert von <math>l \in [0;6]</math> den Wert <math>A_R(l)</math> angibt. Für diese Funktion gilt es nun den Funktionsterm zu bestimmen.<br>
+Bestimme durch Rechnung die gemeinsamen Punkte jedes der übrigen Parabelpaare. Überprüfe deine Ergebnisse mit dem anschließenden Applet.<br>
-Der Punkt E kann vom Ursprung bis zum Mittelpunkt der Dreiecksseite [AB] gehen. Seine Koordinaten sind daher <math>E(3-\frac{l}{2};0)</math>.<br>
+Bei den Parabeln, die einander schneiden , sind die Schnittpunkte und die beiden Parabelscheitel jeweils Eckpunkte eines Vierecks. Berechne den Flächeninhalt dieser Vierecke.  }}
-Die Dreiecksseite [AC] ist Teil einer Gerade, deren Geradengleichung y = mx + t wir bestimmen wollen. Da sie durch den Ursprung geht ist t = 0. Also müssen wir noch die Steigung m der Geraden bestimmen. Da das Dreieck ABC ein gleichseitiges Dreieck ist, wissen wir seit wir den Satz des Pythagoras kennen, dass die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a <math>h=\frac{a}{2}\sqrt 3</math> ist.
-<center>[[Datei:GleichseitigesDreieck.jpg]]</center>
-Die Steigung m ist dann <math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt 3}{\frac{a}{2}}=\sqrt 3</math><br>
-Die Gerade hat also die Gleichung <math>y = \sqrt 3 \cdot x</math>.<br>
-Damit können wir zur Länge l des Rechtecks nun die Breite b angeben. b geht von E senkrecht nach oben bis zur Dreiecksseite [AC]. b hat also den Wert <math>b=\sqrt 3 \cdot x</math>, wobei hier x die x-Koordinate des Punktes E ist, für die sich oben  <math>x = 3 - \frac{l}{2}</math> ergeben hat.<br>
-Die Rechtecksfläche ist dann <math>A = l \cdot b</math>. Nun ist <math>x = 3 - \frac{l}{2}</math> und damit <math>b = \sqrt 3 \cdot (3-\frac{l}{2})</math> und damit <math>A = l \cdot \sqrt 3 \cdot (3-\frac{l}{2})=\sqrt 2 \cdot (3l-\frac{l^2}{2})=\frac{\sqrt 3}{2}(6l-l^2)</math>. Dies ist die Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel, die ihre größten Wert im Scheitel annimmt.<br>
+{{Lösung versteckt|1=a) Die beiden Parabeln haben gemeinsame Punkte, da P<sub>2</sub> schlanker als P<sub>1</sub> ist und ihren Scheitel unterhalb vom Scheitel von P<sub>1</sub> hat.<br>
-Die Nullstellen des Terms <math>\frac{\sqrt 3}{2}(6l-l^2)=\frac{\sqrt 3}{2}\cdot l \cdot (6-l)</math> sind <math>l=0</math> und <math> l =6</math>. Das hatten wir uns schon oben überlegt.<br>
+b) P<sub>1</sub> ist nach oben geöffnet und P<sub>2</sub> ist nach unten geöffnet und P<sub>2</sub> hat ihren Scheitel oberhalb des Scheitels von P<sub>1</sub>, also müssen sich die beiden Parabeln schneiden.<br>
-Der Scheitel der Parabel liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, also hier bei x = 3 und der Flächeninhalt des größten Rechtecks ergibt sich zu <math>A_R(3)=\frac{\sqrt 3}{2}(6\cdot 3-3^2)=4,5 \cdot \sqrt 3 \approx 7,794</math>.
+c) P<sub>1</sub> hat ihren Scheitel bei (0;0) und ist die Normalparabel, also nach oben geöffnet. P<sub>2</sub> hat ihren Scheitel bei (2;-4) und ist nach unten geöffnet. Die beiden Parabeln können sich nicht schneiden.<br>
+d) P<sub>1</sub> hat ihren Scheitel bei (1;0) und ist nach oben geöffnet, P<sub>2</sub> bei (-1;0) und ist nachunten geöffnet. Da beide Scheitel den gleichen y-Wert 0 haben und verschiedene x-Werte, können sich die beiden Parabeln nicht schneiden.<br>
+e) P<sub>1</sub> ist die Normalparabel, P<sub>2</sub> ist eine schlankere Parabel mit Scheitel (0;1) und beide sind nach oben geöffnet, also können sie sich nicht schneiden.<br>
+f) P<sub>1</sub> ist einen nach unten geöffnete weite Parabel mit Scheitel (0;1), P<sub>2</sub> ist nach oben geöffnet mit Scheitel (0;-4). Wegen -4 < 0 schneiden sich die beiden Parabeln.
+Rechnungen für a, b, f<br>
+a)<math>x^2 = 2x^2 -4</math> liefert <math>x^2=4</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1=-2, x_2=2</math><br>
+Die Schnittpunkte R(-2;4) und T(2;4) bilden mit den Scheiteln (0;0) und (0;-4) ein Viereck mit A = 8.
-{{Merksatz|MERK=Kennt man die Nullstellen x<sub>1</sub> und x<sub>2</sub> einer Parabel mit der Gleichung y = ax<sup>2</sup> + bx + c, dann liegt ihr Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. <br>
+b) <math>x^2 = -x^2 + 4</math> liefert <math>x^2 = 2</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1=-\sqrt 2, x_2 = \sqrt 2</math>. <br>
-Die x-Koordinate des Scheitels ist x<sub>S</sub>=0,5(x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>).<br>
+Die Schnittpunkte <math>R(-\sqrt 2 , 2), T(\sqrt 2 , 2)</math> bilden mit den zwei Scheiteln (0;0) und (0;4) eine Raute mit 2 Symmetrieachsen. Ihr Flächeninhalt ist <math>A = 4 \sqrt 2</math>.
-Die y-Koordinate des Scheitels y<sub>S</sub> erhält man, indem man x<sub>S</sub> in die Parabelgleichung einsetzt.}}
-{{Aufgaben-blau|1|2=Buch S. 92 / 3   }}
+f) <math>-\frac{1}{4} x^2 + 1 = x^2 - 4</math> liefert <math>x^2 =4</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1= -2, x_2 = 2</math>.<br>
-<center><ggb_applet height="300" width="350"
+Die Schnittpunkte R(-2,0), T(2,0) bilden mit den zwei Scheiteln (0;1) und (0;-4) ein Drachenviereck mit einer Symmetrieachse.
-filename="92-3.ggb" /></center>
-Wenn man den Punkt auf der schrägen Strecke bewegt, sieht man wie sich das Rechteck ändert. Die Fläche des Rechtecks wird angezeigt und man stellt fest, dass der Flächeninhalt A des Rechtsecks am größten ist, wenn x = 85 ist und es ist A = 3400cm<sup>2</sup>.
-{{Lösung versteckt|1=Der obere, rechte Eckpunkt bewegt sich auf einer Geraden mit der Gleichung <math>y=-\frac{2}{5}x+74</math>.
+Im folgenden Applet kannst du die Parabeln zu den Aufgaben und gegebenenfalls die Vierecke dir anzeigen lassen. }}
-x kann nur Werte von 60 bis 85 annehmen, also <math>x \in [60;85]</math>. <br>
-Der Flächeninhalt A ist <math>A=x \cdot y = x \cdot (-\frac{2}{5}x+74)=-\frac{2}{5}x^2+74x</math>. Der Funktionsterm ist der Term einer Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel. <br>
-Der Term lässt sich umformen in <math>-\frac{2}{5}x^2+74x=\frac{2}{5}x(-x+185)</math>. An diesem Term sieht man leicht seine Nullstellen. Es ist <math>\frac{2}{5}x(-x+185)=0</math> für <math>x_1=0</math> und <math>x_2=185</math>, also schneidet die Parabel die x-Achse in <math>x_1=0</math> und <math>x_2=185</math>. Ihr Scheitel liegt bei <math>x_S=\frac{1}{2}(x_1+x_2)=92,5</math>. Dieser x-Wert liegt nicht in der Definitionsmenge [60;85] für x. Da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt und die x-Werte von 60 bis 85 links vom Scheitel liegen, nehmen die Parabelwerte zum Scheitel hin zu und der größte Wert auf der Parabel ist bei x = 85 erreicht.  }}
-{{Merke|1=Eine Parabel ist achsensymmetrisch zu einer senkrechten Geraden durch ihren Scheitel. }}
+<center><ggb_applet height="700" width="900" filename="100-7.ggb" /></center>
-=Lineare Gleichungssysteme=
+{{Aufgaben-blau|3|2='''Gemeinsame Punkte zweier Funktionsgraphen'''
+Gegeben sind jeweils zwei Funktionen f und g durch ihre Funktionsgleichungen.
+a) <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> und <math>g(x) = x</math>
+b) <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> und <math>g(x) = 2x</math>
+c) <math>f(x) = \frac{5}{x-2}</math> und <math>g(x) = x+2</math>
+d) <math>f(x) = \frac{5}{x+1}</math> und <math>g(x) = -5</math>
+e) <math>f(x) = \frac{2x+8}{x+4}</math> und <math>g(x) = 2x+1</math>
+f) <math>f(x) = \frac{2}{x-1}</math> und <math>g(x) = 1-x</math>
+g) <math>f(x) = \frac{-3}{x}</math> und <math>g(x) = \frac{1}{x+1}</math>
+h) <math>f(x) = \frac{16}{x}</math> und <math>g(x) = x</math>
+i) <math>f(x) = x^2-4</math> und <math>g(x) = x^2-x</math>
+Bestimme jeweils die Koordinaten der Punkte, die G<sub>f</sub> und G<sub>g</sub> gemeinsam haben.
+}}
+{{Lösung versteckt|1=a) <math>\frac{1}{x}=x</math> --> <math>x^2=1</math> und <math>x_1=-1, x_2=1</math>. <br>
+R(-1;-1) und T(1;1)
+b) <math>\frac{1}{x}=2x</math> --> <math>x^2 = \frac{1}{2}</math> und <math>x_1=-\frac{\sqrt 2}{2}, x_2=\frac{\sqrt 2}{2}</math><br>
+<math>R(-\frac{\sqrt 2}{2};\sqrt 2), T(\frac{\sqrt 2}{2};\sqrt 2)</math>
+c) <math> \frac{5}{x-2}=x+2</math> --> <math>x^2=9</math> und <math>x_1=-3, x_2=3</math><br>
+R(-3;-1) und T(3;5)
+d) <math>\frac{5}{x+1}=-5</math> --> <math>x = -2</math><br>
+R(-2;-5)
+e) Beim Funktionsterm von f kann man im Zähler 2 ausklammern und dann den Bruch mit x-4 kürzen, also ist f(x) = 2.<br>
+<math>2 = 2x+1</math> --> <math>x=\frac{1}{2}</math><br>
+<math>R(\frac{1}{2};2)</math>
+f) <math> \frac{2}{x-1}= 1-x</math> --> <math> x^2 = -1</math> ist nicht lösbar, also kein Schnittpunkt.
+g) <math> -\frac{3}{x} = \frac{1}{x+1}</math> --> <math>x=-\frac{3}{4}</math><br>
+<math>R(-\frac{3}{4};4)</math>
+h) <matsh>\frac{16}{x}=x</math> --> <math>x^2 = 16</math> und <math>x_1=-4, x_2=4</math><br>
+R(-4;-4) und T(4;4)
+i) <math> x^2 - 4 = x^2 -x</math> --> <math>x=4</math><br>
+R(4;12)
+Im folgenden Applet kannst du dir die Graphen zu den Aufgaben und die Schnittpunkte anzeigen lassen. }}
+<center><ggb_applet height="700" width="900" filename="101-8.ggb" /></center>
+=Textaufgaben=
+{{Aufgaben-blau|4|2=Bei Wasserfontänen und Springbrunnen tritt der Wasserstrahl oftmals parabelförmig aus.<br>
+{{#ev:youtube |BJPRKefAc6E|350}}<br>
+Eine parabelförmige Wasserfontäne hat die Höhe 1,7m und die Weite 3,2m. <br>
+Wie lautet die Gleichung dieser Wasserfontäne, wenn der Ursprung des Koordinatensystems<br>
+a) in der Düsenöffnung liegt<br>
+b) auf Höhe des Wasseraustritts unter dem Scheitel liegt.<br>
+Gib jeweils auch die Scheitelkoordinaten der Parabel an.<br>    }}
+{{Lösung versteckt|1=a) Man legt ein Koordinatensystem an die Wasseraustrittsdüse. Dann sind die beiden Nullstellen der Parabel 3,2m voneinander entfernt. Der Scheitel ist bei 1,6m und hat die Höhe 1,7m. Diese Werte kann man in die Scheitelform der Parabelgleichung einsetzen. <math>y = a(x-1,6)^2 + 1,7</math>. <br>
+Nun muss man noch a bestimmen. Die eine Nullstelle ist im Ursprung (0;0), die andere Nullstelle ist (3,2;0). Setzt man die Koordinaten der zweiten Nullstelle in die Gleichung ein, dann kann man a bestimmen. <br>
+<math>0=a(3,2 - 1,6)^2 + 1,7</math> --> <math> a = -\frac{1,7}{2,56} = -\frac{85}{128}</math> und <math>y= -\frac{85}{128}(x-1,6)^2 + 1,7 =  -\frac{85}{128} x^2 +  \frac{17}{8}x</math>
+b) Man legt das Koordinatensystem so, dass der Ursprung direkt unter dem Scheitel ist und die Wasseraustrittdüse und die Stelle, an der das Wasser wieder aufkommt auf der x-Achse liegen. Dann ist S(0;1,7) und die beiden Nullstellen (-1,6;0) und (1,6;0).<br>
+Damit erhält man als Gleichung für die Parabel <math>y = a(x+1,6)(x-1,6)</math> oder <math>y = a(x^2 -2,56)</math>. <br>
+Setzt man nun die Koordinaten des Scheitels in die Gleichung, dann erhält man <math>1,7 = a \cdot (-2,56)</math> und <math> a = -\frac{1,7}{2,56} = -\frac{85}{128}</math>. <br>
+Die Gleichung der Parabel ist dann <math> y = -\frac{85}{128}x^2 + 1,7</math> .<br>
+Dies ist nicht die Gleichung wie bei der ersten Lösung, aber wir haben ja auch das Koordinatensystem anders gelegt, beide Lösungen haben aber den gleichen Koeffizient bei x². }}
+{{Aufgaben-blau|5|2= [[Datei:Nürnberg,_Burg,_Tiefer_Brunnen,_003.jpg|150px]]<br>
+Am Wandertag macht fahrt ihr nach Nürnberg und macht auf der Burg eine Führung. Dabei kommt ihr auch zum Tiefen Brunnen. Dort lässt Gregor einen Stein in den Brunnen fallen und stoppt 3,44s für die zeit, bis er das Auftreffen des Steins hört. <br>
+a) Lukas errechnet die Tiefe  h des Brunnens nach der Formel <math>h = \frac{1}{2}gt^2</math>, in der g den Ortsfaktor, der in Nürnberg g = 9,81 m/s² ist, für t setzt er Gregors 3,44s ein.<br>
+b) Sophie wendet ein: "Der von Lukas berechnete Wert von h berücksichtigt nicht die Zeit, die der Schall für die Strecke vom Boden des Brunnens bis zum Standort von Gregor benötigt. Die Gesamtzeit 3,44s setzt sich aus der Fallzeit und der Schallzeit zusammen."<br>
+(Die Schallgeschwindigkeit ist <math>c_{Schall} \approx 340 \frac{m}{s}</math>) }}
+{{Lösung versteckt|1=a) Für den freien Fall eines Körpers kennt man aus der Physik die Formel <math> h = \frac{1}{2}gt^2</math>. Dabei ist g die Erdbeschleunigung <math>g = 9,81\frac{m}{s^2}</math>. <br>
+Setzt man die gemessene Zeit t = 3,44s in die Gleichung für h, dann erhält man <math>h=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot {m}{s^2}\cdot (3,44s)^2=58m</math>.
+b) Sophie hat mit ihrem Einwand natürlich Recht. Die gemessene Zeit setzt sich zusammen aus der <br>
+* Fallzeit <math>t_{Stein}</math>des Steins und<br>
+* der Zeit <math>t_{Schall}</math>, die der Schall vom Boden bis zum Standort <br>
+braucht. Es ist <math>3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}</math>.<br>
+Der Stein und der Schall legen beide jeweils den Weg <math>h</math> zurück. Dabei macht der Stein eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung und der Schall eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.<br>
+Der Stein wird mit konstanter Beschleunigung beschleunigt, dabei ist der zurückgelegte Weg <math>h = \frac{1}{2}gt_{Stein}^2</math>.<br>
+Der Schall macht eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, dabei ist der zurückgelegte Weg <math>h=c_{Schall}t</math>, wobei <math>c_{Schall} \approx 340\frac{m}{s}</math> ist.<br>
+Da in beiden Fällen der gleiche Weg <math>h</math> zurückgelegt wird, kann man die beiden Gleichungen gleich setzen. <br>
+<math>\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}t</math><br>
+Dies ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten <math>t_{Stein}</math> und <math>t_{Schall}</math>.<br>
+Von Sophia wissen wir, dass <math>3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}</math> ist. Das ist die zweite Gleichung.<br>
+Man hat ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:<br>
+(1) <math>\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}t</math><br>
+(2) <math>3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}</math><br>
+Löst man (2) nach <math>t_{Schall}</math> auf und setzt den erhaltenenen Term in (1) ein, dann hat man<br>
+<math>\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}(3,44s - t_{Stein})</math><br>
+Man erhält eine quadratische Gleichung für <math>t_{Stein}</math>: <math>\frac{1}{2}gt_{Stein}^2+c_{Schall}t_{Stein}-c_{Schall }\cdot 3,44s=0</math><br>
+Mit der Lösungsformel erhält man <math>t_{Stein 1,2}=\frac{-c_{Schall} \pm \sqrt {(c_{Schall})^2+4\cdot \frac{1}{2}g\cdot c_{Schall}\cdot 3,44s}}{2\cdot \frac{1}{2}g}= \frac{-340\frac{m}{s} \pm \sqrt {(340\frac{m}{s})^2+4\cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 340\frac{m}{s}\cdot 3,44s}}  {2\cdot \frac{1}{2}9,81\frac{m}{s^2}}</math><br>
+Das -Zeichen vor der Wurzel kann man weglassen, da sonst im Zähler etwas Negatives stehen würde und damit die Zeit negativ wäre. Dies kann nicht sein. Also kann man gleich nur mit dem + rechnen. Setzt man die Werte ein, dann erhält man <matsh>t_{Stein}=3,284s<br> und für den Schall <math>t_{Schall}=0,156s</math>.<br>
+Damit erhält man für die Tiefe des Brunnens <br>
+* bei der Bewegung mit konstanter Beschleunigung des Steins <math>h=\frac{1}{2}\cdot 9,81\frac{m}{s^2}\cdot (3,284s)^2=52,9m</math><br>
+* bei der Bewegung des Schalls mit konstanter Geschwindigkeit <math>h=340 \frac{m}{s}\cdot 0,156s=53,0m</math>. }}

M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 19. Februar 2022, 07:18 Uhr

Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen

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