M9 Aufgaben zur Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen

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Das Dreieck SOA ist rechtwinklig. Zum Winkel <math>\beta</math> kennt man die Gegenkathete 12m und die Ankathete 45m. Also erhält man mit <math>tan(\beta)=\frac{12m}{45m}=\frac{4}{15}</math> den Winkel <math>\beta = 15^o</math>.<br>
 
Das Dreieck SOA ist rechtwinklig. Zum Winkel <math>\beta</math> kennt man die Gegenkathete 12m und die Ankathete 45m. Also erhält man mit <math>tan(\beta)=\frac{12m}{45m}=\frac{4}{15}</math> den Winkel <math>\beta = 15^o</math>.<br>
 
Nun kennt man im rechtwinkligen Dreieck SOB den Winkel <math>\alpha + \beta = 57^o</math> und seine Ankathete 45m. Die Gegenkathete ist 12m + x. In dem Dreieck SOB ist also <math>\tan(57^o)=\frac{12m + x}{45m}</math>.<br>
 
Nun kennt man im rechtwinkligen Dreieck SOB den Winkel <math>\alpha + \beta = 57^o</math> und seine Ankathete 45m. Die Gegenkathete ist 12m + x. In dem Dreieck SOB ist also <math>\tan(57^o)=\frac{12m + x}{45m}</math>.<br>
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Diese Gleichung kann man nach x auflösen. Es ist <math>x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=45,3m</math> }}
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Diese Gleichung kann man nach x auflösen. Es ist <math>x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=69,3m -12m =57,3m</math> }}
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Das gezeichnete Dreieck ist bei 100 rechtwinklig. Gesucht ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden. Die Gegenkathete des  Winkels ist im Bild 10. Also hat man für den Winkel An- und Gegenkathete. Damit ist <math>tan(\alpha)=\frac{10}{100}=0,1</math> und <math>\alpha = 5,7^o</math>
 
Das gezeichnete Dreieck ist bei 100 rechtwinklig. Gesucht ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden. Die Gegenkathete des  Winkels ist im Bild 10. Also hat man für den Winkel An- und Gegenkathete. Damit ist <math>tan(\alpha)=\frac{10}{100}=0,1</math> und <math>\alpha = 5,7^o</math>
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b) <math>tan(\beta)=\frac{25}{100}=0,25</math> und <math>\beta = 14^o</math>
 
b) <math>tan(\beta)=\frac{25}{100}=0,25</math> und <math>\beta = 14^o</math>
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d) <math>tan(\delta)=\frac{12}{100}=0,12</math> und <math>\alpha = 6,8^o</math>  }}
 
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{{Lösung versteckt|1=a) Angaben: Es ist <math>a = 4b, c=\frac{a+b}{2}=\frac{5b}{2}, a + b+ c = 75cm</math>.<br>
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{{Lösung versteckt|1=a) Angaben: Es ist <math>a = 4b, c=\frac{a+b}{2}=\frac{5b}{2}, 4(a + b+ c) = 75cm</math>.<br>
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Setzt man für a und c die Terme aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte Gleichung ein, so erhält man <math>7,5 b = 75cm</math> und  <math>b = 10cm</math>.<br>
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Setzt man für a und c die Terme aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte Gleichung ein, so erhält man <math>30 b = 75cm</math> und  <math>b = 2,5cm</math>.<br>
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a = 40cm, b = 10cm, c = 25cm
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a = 10cm, b = 2,5cm, c = 6,25cm
  
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<math>V = abc=10000cm^3 = 10dm^3</math> und <math>O = 2(ab+ac+bc)=2(400cm^2+1000cm^2+250cm^2)=3300cm^2 = 33dm^2</math>
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<math>V = abc=156,25cm^3 = 10dm^3</math> und <math>O = 2(ab+ac+bc)=2(25cm^2+62,5cm^2+15,625cm^2)=206,25cm^2 </math>
  
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b) Die Länge der Flächendiagonale [AC] erhält man  mit dem Satz von Pythagoras <math>\overline {AC}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(40cm)^2+(10cm)^2}=\sqrt{1700cm^2}=10\sqrt{17}cm\approx 41,2cm</math>
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b) Die Länge der Flächendiagonale [AC] erhält man  mit dem Satz von Pythagoras <math>\overline {AC}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(10cm)^2+(2,5cm)^2}=\sqrt{106,25cm^2}\approx 10,32cm</math>
  
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Die Länge der Raumdiagonale [AG] erhält man als Folge des Satzes von Pythagoras <math>\overline {AG}=\sqrt {a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(40cm)^2+(10cm)^2+(25cm)^2}=\sqrt{2325cm^2} =5\sqrt{93}cm\approx48,2cm</math>
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Die Länge der Raumdiagonale [AG] erhält man als Folge des Satzes von Pythagoras <math>\overline {AG}=\sqrt {a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(10cm)^2+(2,5cm)^2+(6,25cm)^2}=\sqrt{145,3125cm^2} cm\approx12,05cm</math>
  
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In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist <math>cos(\alpha)=\frac{10\sqrt{17}}{5\sqrt{93}}\approx 0,855</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math>
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In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist <math>cos(\alpha)=\frac{10,32cm}{12,05cm}\approx 0,855</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math>
  
 
Den Winkel hätte man auch mit Sinus oder Tangens berechnen können. <br>
 
Den Winkel hätte man auch mit Sinus oder Tangens berechnen können. <br>
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Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{25cm}{5\sqrt{95}}\approx 0,518</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math><br>
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Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{6,25cm}{12,05cm}\approx 0,519</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math><br>
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Es ist <math>tan(\alpha)=\frac{25}{10\sqrt{17}}\approx 0,606</math> und <math>\alpha= 31,2^o</math>  }}
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Es ist <math>tan(\alpha)=\frac{6,25cm}{10,32cm}\approx 0,606</math> und <math>\alpha= 31,2^o</math> }}
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{{Lösung versteckt|1=Gegeben sind die Länge der Hypotenuse c und die Größe des Winkels <math>\alpha</math>.<br>
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Dazu macht man sich zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks ABC und markiert die gegebenen Stücke rot.<br>
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Über die Winkelsumme kann man gleich <math>\beta = 25^o</math> bestimmen.<br>
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Mit <math>sin(\alpha)=\frac{a}{c}</math> erhält man <math>a=c\cdot sin(\alpha)=6cm \cdot (65^o)=5,44cm</math>.<br>
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Mit <math>cos(\alpha)=\frac{b}{c}</math> erhält man <math>b=c\cdot cos(\alpha)=6cm\cdot cos(65^o)=2,54cm</math><br>
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Zum Test kann man ja prüfen, ob der Satz von Pythagoras stimmt!<br>
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Den Flächeninhalt A erhält man mit <math>A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 5,44cm \cdot 2,54cm=6,9cm^2</math>.<br>
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Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Bei rechtwinkligen Dreiecken ist dies der Thaleskreis. Der Radius des Thaleskreises ist <math>r = \frac{1}{2}c = 3cm</math>. Damit ist <math>A_{Umkreis} = r^2\pi=9\pi cm^2\approx 28,3cm^2</math>. }}
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Beachte: Das gegebene Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig!
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{{Lösung versteckt|1=[[Datei:132-5.jpg|thumb|Dreieck]]
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Tipp: Zeichnet man von C die Höhe auf c ein, dann hat man 2 rechtwinklige Dreiecke, <math>\Delta</math>AFC und <math>\Delta</math>BFC. 
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Mache eine Skizze und trage die gegebenen Stücke jeweils farbig ein!
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a) Im Dreieck AFC ist gegeben: <math>\gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o</math> und die Ankathete <math>c_1</math> von <math>\alpha</math>. Es ist <math>c_1= \frac{c}{2}=40cm</math><br>
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Den Winkel <math>\alpha</math> erhält man über die Winkelsumme, <math>\alpha=180^o-90^o-42^o=48^o</math>.<br>
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Die Seite b ist die Hypotenuse im Dreieck AFC. Dann ist <math>cos(\alpha)=\frac{c_1}{b}</math>. Diese Gleichung löst man nach b auf. Es ist <math>b=\frac{c_1}{cos(\alpha)}=\frac{40cm}{cos(48^o)}\approx60cm</math>.<br>
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Für den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC braucht man die Höhe h zur Seite c.<br>
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Es ist im Dreieck AFC: <math>h=\overline{FC}=\sqrt{b^2-c_1^2}=\sqrt{(60cm)^2-(40cm)^2}=\sqrt{2000cm^2}=20\sqrt 5 cm\approx45cm</math><br>
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Dann ist <math>A = \frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}80cm\cdot 20\sqrt 5 cm=800\sqrt5 cm^2\approx1789cm^2</math>
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b) Im Dreieck AFC ist b die Hyptenuse, b = 80cm, und <math>\gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o</math> der Winkel bei C. <br>
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Damit ist <math>\alpha=48^o</math>, <br>
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<math>cos(\alpha)=\frac{c_1}{b} \rightarrow c_1=b\cdot cos(\alpha)=80cm\cdot cos(48^o)=53,5cm \rightarrow c = 2\cdot c_1 = 107cm</math><br>
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<math>sin(\alpha)=\frac{h}{b} \rightarrow h = b\cdot sin(\alpha)=70cm \cdot sin(48^o)=59,5cm</math><br>
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<math>A =\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 107cm \cdot 59,5cm = 3183,25cm^2 \approx 21dm^2</math>
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c) Gegeben sind im Dreieck BFC die Hypotenuse a = 5,0cm und <math>\beta = \alpha = 47^o</math><br>
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<math>c_2=\overline {BF}=\frac{c}{2}</math><br>
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<math>cos(\beta)=\frac{c_2}{a} \rightarrow c_2=a\cdot cos(\beta)=5cm \cdot cos(47^o)=3,4cm</math> ---> <math>c = 6,8cm</math><br>
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<math>sin(\beta)=\frac{h}{a} \rightarrow h = a\cdot sin(\beta)=5cm \cdot sin(47^o)=3,7cm</math>.<br>
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<math>A=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 6,8cm \cdot 3,7cm = 12,6cm^2</math>.
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d) Das Dreieck ist gleichschenklig, also ist dann a = b = 6cm und <math>\alpha = \beta = 60^o</math><br>
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Wenn die zwei Basiswinkel jeweils 60<sup>o</sup> sind, dann ist auch <math>\gamma = 60^o</math>. Also ist das Dreieck sogar gleichseitig und c = 6cm. <br>
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Der Flächeninhalt ist <math>A = \frac{1}{2}gh</math> mit <math>g = c = 6cm</math> und <math>h=\frac{c}{2}\sqrt 3=3\sqrt 3 cm</math>. Also ist <math>A=\frac{1}{2}\cdot 6cm \cdot 3\sqrt 3cm=9\sqrt 3cm^2 \approx 15,6 cm^2</math>. }}
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Tipp: Zeichne dir Hilfslinien in die Zeichnung, mit denen du rechtwinklige Dreiecke erhältst.
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{{Lösung versteckt|1=a)  Der Winkel ist als FOU ist 180<sup>o</sup> - 60<sup>o</sup> = 120<sup>o</sup> (F-Winkel).<br>
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Damit kennt man alle Winkel und Seitenlänges des Parallelogramms. <br>
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Die Höhe h des Parallelogramms ist <math>h = 4cm \cdot sin(60^o)= 4cm \cdot\frac{1}{2}\sqrt 3= 2\sqrt 3 cm\approx 3,46cm</math>. <br>
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Der Flächeninhalt A ist <math>A = 6cm \cdot 2\sqrt 3cm = 12 \sqrt 3 cm^2 \approx 20,8cm^2</math>
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b) Der Innenwinkel bei P ist 130<sup>o</sup> und bei A ist 110<sup>o</sup><br>
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Die Höhe h des Trapezes ist <math>h = 4 cm \cdot sin(50^o) = 3,1cm</math>. <br>
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Für den Flächeninhalt A benötigt man noch die Länge von c. Dazu macht man ein paar Hilfslinien in die Zeichnung.<br>
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Es ist <math>cos(50^o) = \frac{a1}{4cm} \rightarrow a1=4cm\cdot cos(50^o) \approx 2,6cm</math><br>
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<math>tan(70^o)=\frac{h}{a2} \rightarrow a2 =\frac{h}{tan(70^o)} =\frac{4cm sin(50^o)}{tan(70^o)} \approx 1,1cm</math><br>
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Dann ist <math>c = a - a1-a2=6,5 cm - 2,6cm - 1,1cm = 2,8cm</math><br>
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Der Flächeninhalt A ist <math>A=\frac{a+c}{2}\cdot h = \frac{6,5cm + 2,8cm }{2}\cdot 3,1cm = 14,4cm^2</math>.<br>
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Für die Umfangslänge braucht man noch die Länge der Seite [RA]. Es ist <math>\overline {RA}=\sqrt{a2^2+h^2}=\sqrt{(1.1cm)^2+(3,1cm)^2}=3,3cm</math><br>
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Die Umfangslänge u ist <math>u = 6,5 cm + 3,3cm + 2,8cm + 4cm = 16,6cm</math>. }}

Aktuelle Version vom 22. April 2021, 11:20 Uhr

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Sinus, Kosinus und Tangens kannst du nur in rechtwinkligen Dreiecken verwenden. Also suche dir bei den Aufgaben passende rechtwinklige Dreiecke, bei denen 2 Größen gegeben sind und rechne dann mit einer dieser Gleichungen

sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}
cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}
tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

die Unbekannte aus.

Buch S. 129 / 10

129-10.jpg
Das Dreieck SOA ist rechtwinklig. Zum Winkel \beta kennt man die Gegenkathete 12m und die Ankathete 45m. Also erhält man mit tan(\beta)=\frac{12m}{45m}=\frac{4}{15} den Winkel \beta = 15^o.
Nun kennt man im rechtwinkligen Dreieck SOB den Winkel \alpha + \beta = 57^o und seine Ankathete 45m. Die Gegenkathete ist 12m + x. In dem Dreieck SOB ist also \tan(57^o)=\frac{12m + x}{45m}.

Diese Gleichung kann man nach x auflösen. Es ist x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=69,3m -12m =57,3m


Buch S. 129 / 11

a)
129-11 !.jpg
Das gezeichnete Dreieck ist bei 100 rechtwinklig. Gesucht ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden. Die Gegenkathete des Winkels ist im Bild 10. Also hat man für den Winkel An- und Gegenkathete. Damit ist tan(\alpha)=\frac{10}{100}=0,1 und \alpha = 5,7^o


b) tan(\beta)=\frac{25}{100}=0,25 und \beta = 14^o

c) tan(\gamma)=\frac{3}{100}=0,03 und \gamma = 1,7^o

d) tan(\delta)=\frac{12}{100}=0,12 und \alpha = 6,8^o


Buch S. 129 / 13

a) Angaben: Es ist a = 4b, c=\frac{a+b}{2}=\frac{5b}{2}, 4(a + b+ c) = 75cm.
Setzt man für a und c die Terme aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte Gleichung ein, so erhält man 30 b = 75cm und b = 2,5cm.
a = 10cm, b = 2,5cm, c = 6,25cm

V = abc=156,25cm^3 = 10dm^3 und O = 2(ab+ac+bc)=2(25cm^2+62,5cm^2+15,625cm^2)=206,25cm^2

b) Die Länge der Flächendiagonale [AC] erhält man mit dem Satz von Pythagoras \overline {AC}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(10cm)^2+(2,5cm)^2}=\sqrt{106,25cm^2}\approx 10,32cm

Die Länge der Raumdiagonale [AG] erhält man als Folge des Satzes von Pythagoras \overline {AG}=\sqrt {a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(10cm)^2+(2,5cm)^2+(6,25cm)^2}=\sqrt{145,3125cm^2} cm\approx12,05cm

In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist cos(\alpha)=\frac{10,32cm}{12,05cm}\approx 0,855 und \alpha = 31,2^o

Den Winkel hätte man auch mit Sinus oder Tangens berechnen können.
Es ist sin(\alpha)=\frac{6,25cm}{12,05cm}\approx 0,519 und \alpha = 31,2^o

Es ist tan(\alpha)=\frac{6,25cm}{10,32cm}\approx 0,606 und \alpha= 31,2^o


Buch S. 132 / 4a

Gegeben sind die Länge der Hypotenuse c und die Größe des Winkels \alpha.
Dazu macht man sich zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks ABC und markiert die gegebenen Stücke rot.
132-4a.jpg
Über die Winkelsumme kann man gleich \beta = 25^o bestimmen.
Mit sin(\alpha)=\frac{a}{c} erhält man a=c\cdot sin(\alpha)=6cm \cdot (65^o)=5,44cm.
Mit cos(\alpha)=\frac{b}{c} erhält man b=c\cdot cos(\alpha)=6cm\cdot cos(65^o)=2,54cm
Zum Test kann man ja prüfen, ob der Satz von Pythagoras stimmt!
Den Flächeninhalt A erhält man mit A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 5,44cm \cdot 2,54cm=6,9cm^2.

Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Bei rechtwinkligen Dreiecken ist dies der Thaleskreis. Der Radius des Thaleskreises ist r = \frac{1}{2}c = 3cm. Damit ist A_{Umkreis} = r^2\pi=9\pi cm^2\approx 28,3cm^2.


Buch S. 132 / 5
Beachte: Das gegebene Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig!

Dreieck
Tipp: Zeichnet man von C die Höhe auf c ein, dann hat man 2 rechtwinklige Dreiecke, \DeltaAFC und \DeltaBFC.  
Mache eine Skizze und trage die gegebenen Stücke jeweils farbig ein!

a) Im Dreieck AFC ist gegeben: \gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o und die Ankathete c_1 von \alpha. Es ist c_1= \frac{c}{2}=40cm
Den Winkel \alpha erhält man über die Winkelsumme, \alpha=180^o-90^o-42^o=48^o.
Die Seite b ist die Hypotenuse im Dreieck AFC. Dann ist cos(\alpha)=\frac{c_1}{b}. Diese Gleichung löst man nach b auf. Es ist b=\frac{c_1}{cos(\alpha)}=\frac{40cm}{cos(48^o)}\approx60cm.
Für den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC braucht man die Höhe h zur Seite c.
Es ist im Dreieck AFC: h=\overline{FC}=\sqrt{b^2-c_1^2}=\sqrt{(60cm)^2-(40cm)^2}=\sqrt{2000cm^2}=20\sqrt 5 cm\approx45cm
Dann ist A = \frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}80cm\cdot 20\sqrt 5 cm=800\sqrt5 cm^2\approx1789cm^2

b) Im Dreieck AFC ist b die Hyptenuse, b = 80cm, und \gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o der Winkel bei C.
Damit ist \alpha=48^o,
cos(\alpha)=\frac{c_1}{b} \rightarrow c_1=b\cdot cos(\alpha)=80cm\cdot cos(48^o)=53,5cm \rightarrow c = 2\cdot c_1 = 107cm
sin(\alpha)=\frac{h}{b} \rightarrow h = b\cdot sin(\alpha)=70cm \cdot sin(48^o)=59,5cm
A =\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 107cm \cdot 59,5cm = 3183,25cm^2 \approx 21dm^2

c) Gegeben sind im Dreieck BFC die Hypotenuse a = 5,0cm und \beta = \alpha = 47^o
c_2=\overline {BF}=\frac{c}{2}
cos(\beta)=\frac{c_2}{a} \rightarrow c_2=a\cdot cos(\beta)=5cm \cdot cos(47^o)=3,4cm ---> c = 6,8cm
sin(\beta)=\frac{h}{a} \rightarrow h = a\cdot sin(\beta)=5cm \cdot sin(47^o)=3,7cm.
A=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 6,8cm \cdot 3,7cm = 12,6cm^2.

d) Das Dreieck ist gleichschenklig, also ist dann a = b = 6cm und \alpha = \beta = 60^o
Wenn die zwei Basiswinkel jeweils 60o sind, dann ist auch \gamma = 60^o. Also ist das Dreieck sogar gleichseitig und c = 6cm.

Der Flächeninhalt ist A = \frac{1}{2}gh mit g = c = 6cm und h=\frac{c}{2}\sqrt 3=3\sqrt 3 cm. Also ist A=\frac{1}{2}\cdot 6cm \cdot 3\sqrt 3cm=9\sqrt 3cm^2 \approx 15,6 cm^2.


Buch S. 132 / 6
Tipp: Zeichne dir Hilfslinien in die Zeichnung, mit denen du rechtwinklige Dreiecke erhältst.

a) Der Winkel ist als FOU ist 180o - 60o = 120o (F-Winkel).
Damit kennt man alle Winkel und Seitenlänges des Parallelogramms.
Die Höhe h des Parallelogramms ist h = 4cm \cdot sin(60^o)= 4cm \cdot\frac{1}{2}\sqrt 3= 2\sqrt 3 cm\approx 3,46cm.
Der Flächeninhalt A ist A = 6cm \cdot 2\sqrt 3cm = 12 \sqrt 3 cm^2 \approx 20,8cm^2

b) Der Innenwinkel bei P ist 130o und bei A ist 110o
Die Höhe h des Trapezes ist h = 4 cm \cdot sin(50^o) = 3,1cm.
Für den Flächeninhalt A benötigt man noch die Länge von c. Dazu macht man ein paar Hilfslinien in die Zeichnung.
132-6b.jpg
Es ist cos(50^o) = \frac{a1}{4cm} \rightarrow a1=4cm\cdot cos(50^o) \approx 2,6cm
tan(70^o)=\frac{h}{a2} \rightarrow a2 =\frac{h}{tan(70^o)} =\frac{4cm sin(50^o)}{tan(70^o)} \approx 1,1cm
Dann ist c = a - a1-a2=6,5 cm - 2,6cm - 1,1cm = 2,8cm
Der Flächeninhalt A ist A=\frac{a+c}{2}\cdot h = \frac{6,5cm + 2,8cm }{2}\cdot 3,1cm = 14,4cm^2.
Für die Umfangslänge braucht man noch die Länge der Seite [RA]. Es ist \overline {RA}=\sqrt{a2^2+h^2}=\sqrt{(1.1cm)^2+(3,1cm)^2}=3,3cm

Die Umfangslänge u ist u = 6,5 cm + 3,3cm + 2,8cm + 4cm = 16,6cm.
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