M9 Aufgaben zur Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 22. April 2021, 12:20 Uhr

Merke

Sinus, Kosinus und Tangens kannst du nur in rechtwinkligen Dreiecken verwenden. Also suche dir bei den Aufgaben passende rechtwinklige Dreiecke, bei denen 2 Größen gegeben sind und rechne dann mit einer dieser Gleichungen

$sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

die Unbekannte aus.

Buch S. 129 / 10

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Buch S. 129 / 11

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Buch S. 129 / 13

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Buch S. 132 / 4a

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Buch S. 132 / 5
Beachte: Das gegebene Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig!

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Dreieck

Tipp: Zeichnet man von C die Höhe auf c ein, dann hat man 2 rechtwinklige Dreiecke, AFC und BFC.  
Mache eine Skizze und trage die gegebenen Stücke jeweils farbig ein!

a) Im Dreieck AFC ist gegeben: $\gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o$ und die Ankathete $c_1$ von $\alpha$ . Es ist $c_1= \frac{c}{2}=40cm$
Den Winkel $\alpha$ erhält man über die Winkelsumme, $\alpha=180^o-90^o-42^o=48^o$ .
Die Seite b ist die Hypotenuse im Dreieck AFC. Dann ist $cos(\alpha)=\frac{c_1}{b}$ . Diese Gleichung löst man nach b auf. Es ist $b=\frac{c_1}{cos(\alpha)}=\frac{40cm}{cos(48^o)}\approx60cm$ .
Für den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC braucht man die Höhe h zur Seite c.
Es ist im Dreieck AFC: $h=\overline{FC}=\sqrt{b^2-c_1^2}=\sqrt{(60cm)^2-(40cm)^2}=\sqrt{2000cm^2}=20\sqrt 5 cm\approx45cm$
Dann ist $A = \frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}80cm\cdot 20\sqrt 5 cm=800\sqrt5 cm^2\approx1789cm^2$

b) Im Dreieck AFC ist b die Hyptenuse, b = 80cm, und $\gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o$ der Winkel bei C.
Damit ist $\alpha=48^o$ ,
$cos(\alpha)=\frac{c_1}{b} \rightarrow c_1=b\cdot cos(\alpha)=80cm\cdot cos(48^o)=53,5cm \rightarrow c = 2\cdot c_1 = 107cm$
$sin(\alpha)=\frac{h}{b} \rightarrow h = b\cdot sin(\alpha)=70cm \cdot sin(48^o)=59,5cm$
$A =\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 107cm \cdot 59,5cm = 3183,25cm^2 \approx 21dm^2$

c) Gegeben sind im Dreieck BFC die Hypotenuse a = 5,0cm und $\beta = \alpha = 47^o$
$c_2=\overline {BF}=\frac{c}{2}$
$cos(\beta)=\frac{c_2}{a} \rightarrow c_2=a\cdot cos(\beta)=5cm \cdot cos(47^o)=3,4cm$ ---> $c = 6,8cm$
$sin(\beta)=\frac{h}{a} \rightarrow h = a\cdot sin(\beta)=5cm \cdot sin(47^o)=3,7cm$ .
$A=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 6,8cm \cdot 3,7cm = 12,6cm^2$ .

d) Das Dreieck ist gleichschenklig, also ist dann a = b = 6cm und $\alpha = \beta = 60^o$
Wenn die zwei Basiswinkel jeweils 60^o sind, dann ist auch $\gamma = 60^o$ . Also ist das Dreieck sogar gleichseitig und c = 6cm.

Der Flächeninhalt ist $A = \frac{1}{2}gh$ mit $g = c = 6cm$ und $h=\frac{c}{2}\sqrt 3=3\sqrt 3 cm$ . Also ist $A=\frac{1}{2}\cdot 6cm \cdot 3\sqrt 3cm=9\sqrt 3cm^2 \approx 15,6 cm^2$ .

Buch S. 132 / 6
Tipp: Zeichne dir Hilfslinien in die Zeichnung, mit denen du rechtwinklige Dreiecke erhältst.

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 Das Dreieck SOA ist rechtwinklig. Zum Winkel <math>\beta</math> kennt man die Gegenkathete 12m und die Ankathete 45m. Also erhält man mit <math>tan(\beta)=\frac{12m}{45m}=\frac{4}{15}</math> den Winkel <math>\beta = 15^o</math>.<br>
 Nun kennt man im rechtwinkligen Dreieck SOB den Winkel <math>\alpha + \beta = 57^o</math> und seine Ankathete 45m. Die Gegenkathete ist 12m + x. In dem Dreieck SOB ist also <math>\tan(57^o)=\frac{12m + x}{45m}</math>.<br>
-Diese Gleichung kann man nach x auflösen. Es ist <math>x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=45,3m</math> }}
+Diese Gleichung kann man nach x auflösen. Es ist <math>x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=69,3m -12m =57,3m</math> }}
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 Buch S. 129 / 13
-{{Lösung versteckt|1=a) Angaben: Es ist <math>a = 4b, c=\frac{a+b}{2}=\frac{5b}{2}, a + b+ c = 75cm</math>.<br>
+{{Lösung versteckt|1=a) Angaben: Es ist <math>a = 4b, c=\frac{a+b}{2}=\frac{5b}{2}, 4(a + b+ c) = 75cm</math>.<br>
-Setzt man für a und c die Terme aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte Gleichung ein, so erhält man <math>7,5 b = 75cm</math> und  <math>b = 10cm</math>.<br>
+Setzt man für a und c die Terme aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte Gleichung ein, so erhält man <math>30 b = 75cm</math> und  <math>b = 2,5cm</math>.<br>
-a = 40cm, b = 10cm, c = 25cm
+a = 10cm, b = 2,5cm, c = 6,25cm
-<math>V = abc=10000cm^3 = 10dm^3</math> und <math>O = 2(ab+ac+bc)=2(400cm^2+1000cm^2+250cm^2)=3300cm^2 = 33dm^2</math>
+<math>V = abc=156,25cm^3 = 10dm^3</math> und <math>O = 2(ab+ac+bc)=2(25cm^2+62,5cm^2+15,625cm^2)=206,25cm^2 </math>
-b) Die Länge der Flächendiagonale [AC] erhält man  mit dem Satz von Pythagoras <math>\overline {AC}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(40cm)^2+(10cm)^2}=\sqrt{1700cm^2}=10\sqrt{17}cm\approx 41,2cm</math>
+b) Die Länge der Flächendiagonale [AC] erhält man  mit dem Satz von Pythagoras <math>\overline {AC}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(10cm)^2+(2,5cm)^2}=\sqrt{106,25cm^2}\approx 10,32cm</math>
-Die Länge der Raumdiagonale [AG] erhält man als Folge des Satzes von Pythagoras <math>\overline {AG}=\sqrt {a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(40cm)^2+(10cm)^2+(25cm)^2}=\sqrt{2325cm^2} =5\sqrt{93}cm\approx48,2cm</math>
+Die Länge der Raumdiagonale [AG] erhält man als Folge des Satzes von Pythagoras <math>\overline {AG}=\sqrt {a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(10cm)^2+(2,5cm)^2+(6,25cm)^2}=\sqrt{145,3125cm^2} cm\approx12,05cm</math>
-In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist <math>cos(\alpha)=\frac{10\sqrt{17}cm}{5\sqrt{93}cm}\approx 0,855</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math>
+In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist <math>cos(\alpha)=\frac{10,32cm}{12,05cm}\approx 0,855</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math>
 Den Winkel hätte man auch mit Sinus oder Tangens berechnen können. <br>
-Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{25cm}{5\sqrt{95}cm}\approx 0,518</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math><br>
+Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{6,25cm}{12,05cm}\approx 0,519</math> und <math>\alpha = 31,2^o</math><br>
-Es ist <math>tan(\alpha)=\frac{25cm}{10\sqrt{17}cm}\approx 0,606</math> und <math>\alpha= 31,2^o</math>  }}
+Es ist <math>tan(\alpha)=\frac{6,25cm}{10,32cm}\approx 0,606</math> und <math>\alpha= 31,2^o</math>  }}
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-Buch S. 132 / 5
+Buch S. 132 / 5<br>
+Beachte: Das gegebene Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig!
-{{Lösung versteckt|1= Das gegebene Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig!
+{{Lösung versteckt|1=[[Datei:132-5.jpg|thumb|Dreieck]]
-[[Datei:132-5.jpg|thumb|Dreieck]]
   Tipp: Zeichnet man von C die Höhe auf c ein, dann hat man 2 rechtwinklige Dreiecke, <math>\Delta</math>AFC und <math>\Delta</math>BFC.
   Mache eine Skizze und trage die gegebenen Stücke jeweils farbig ein!
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 Für den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC braucht man die Höhe h zur Seite c.<br>
 Es ist im Dreieck AFC: <math>h=\overline{FC}=\sqrt{b^2-c_1^2}=\sqrt{(60cm)^2-(40cm)^2}=\sqrt{2000cm^2}=20\sqrt 5 cm\approx45cm</math><br>
-Dann ist <math>A = \frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}20cm\cdot20\sqrt 5 cm=200\sqrt5 cm^2\approx447cm^2</math>
+Dann ist <math>A = \frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}80cm\cdot 20\sqrt 5 cm=800\sqrt5 cm^2\approx1789cm^2</math>
 b) Im Dreieck AFC ist b die Hyptenuse, b = 80cm, und <math>\gamma_1=\frac{\gamma}{2}=42^o</math> der Winkel bei C. <br>
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-Buch s. 132 / 6
+Buch S. 132 / 6<br>
+Tipp: Zeichne dir Hilfslinien in die Zeichnung, mit denen du rechtwinklige Dreiecke erhältst.
 {{Lösung versteckt|1=a)  Der Winkel ist als FOU ist 180<sup>o</sup> - 60<sup>o</sup> = 120<sup>o</sup> (F-Winkel).<br>

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