M9 Aufgaben zur Trigonometrie: Unterschied zwischen den Versionen
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| <math>sin(85^o)</math> || <math>cos(5^o)</math> | | <math>sin(85^o)</math> || <math>cos(5^o)</math> | ||
|- | |- | ||
− | | <math>cos( | + | | <math>cos(10^o)</math> || <math>sin(80^o)</math> |
|- | |- | ||
| <math>cos(60^o)</math> || <math>sin(30^o)</math> | | <math>cos(60^o)</math> || <math>sin(30^o)</math> | ||
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{{Lösung versteckt|1=1. <math>sin(\alpha)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}</math> , <math>cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}</math><br> | {{Lösung versteckt|1=1. <math>sin(\alpha)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}</math> , <math>cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}</math><br> | ||
− | 2. a)<math>cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}=\sqrt {1-(0,25)^2}= | + | 2. a)<math>cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}=\sqrt {1-(0,25)^2}=0,968</math><br> |
<math>tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,25}{0,968}=0,258</math> | <math>tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,25}{0,968}=0,258</math> | ||
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<math>tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,866}{0,5}=1,732</math> | <math>tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,866}{0,5}=1,732</math> | ||
− | c) <math>tan(\varphi)= 1</math> bedeutet <math>\varphi = | + | c) <math>tan(\varphi)= 1</math> bedeutet <math>\varphi = 45^o</math> und <math>sin(45^o)=cos(45^o)= \frac{1}{2}\sqrt 2</math> |
− | d) <math>cos(\varphi)=0,994, tan(\varphi)= | + | d) <math>cos(\varphi)=0,994, tan(\varphi)=0,111</math> |
e) <math>sin(\varphi)=0,694, tan(\varphi)=0,964</math> | e) <math>sin(\varphi)=0,694, tan(\varphi)=0,964</math> | ||
− | f) <math>cos(\varphi)=0,866, tan(\varphi)= | + | f) <math>cos(\varphi)=0,866, tan(\varphi)=0,577</math> }} |
− | {{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 138 / 3 a - e }} | + | {{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 138 / 3 a - e <br> |
+ | Buch S. 138 / 5 a, b}} | ||
− | {{Lösung versteckt|1= | + | {{Lösung versteckt|1=138/3a) Im Dreieck sind An- und Gegenkathete zum Winkel <math>\beta</math>. Also <math>tan(\beta)=\frac{2cm}{6cm}=\frac{1}{3}</math> ergibt <math>\beta = 18,4^o</math>. |
− | b) Zum Winkel 25<sup>o</sup> ist die Hypotenuse gegeben. Gesucht ist seine Gegenkathete. Also <math>sin(25^o)=\frac{x}{7cm} \rightarrow x = 7cm \cdot sin(25^)=3,0cm</math>. | + | b) Zum Winkel 25<sup>o</sup> ist die Hypotenuse gegeben. Gesucht ist seine Gegenkathete. Also <math>sin(25^o)=\frac{x}{7cm} \rightarrow x = 7cm \cdot sin(25^o)=3,0cm</math>. |
c) Im Dreieck sind Ankathete und Hypotenuse zum Winkel <math>\gamma</math>. Also <math>cos(\gamma)=\frac{4cm}{10cm}=0,4</math> ergibt <math>\gamma = 66,4^o</math>. | c) Im Dreieck sind Ankathete und Hypotenuse zum Winkel <math>\gamma</math>. Also <math>cos(\gamma)=\frac{4cm}{10cm}=0,4</math> ergibt <math>\gamma = 66,4^o</math>. | ||
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Im rechten Dreieck ist die Gegenkathete zum 12<sup>o</sup>-Winkel gesucht und die Ankathete gegeben. Also <math>tan(12^o)=\frac{x}{7,2cm} \rightarrow x = 7,2cm \cdot tan(12^o)=1,5cm</math> | Im rechten Dreieck ist die Gegenkathete zum 12<sup>o</sup>-Winkel gesucht und die Ankathete gegeben. Also <math>tan(12^o)=\frac{x}{7,2cm} \rightarrow x = 7,2cm \cdot tan(12^o)=1,5cm</math> | ||
− | Da es sich hier um ein Parallelogramm handelt, hätte man x auch mit dem Satz von Pythagoras berechnen können. | + | Da es sich hier um ein Parallelogramm handelt, hätte man x auch mit dem Satz von Pythagoras berechnen können. |
− | + | --------------------------------------- | |
− | + | 138/5a) In dem Dreieck sind a, b, und <math>\gamma</math> gegeben, also nimmt man als Überlegungsfigur das rechte Dreieck. Man sieht, dass man h<sub>b</sub> berechnen kann. Es ist <math>sin(\gamma)=\frac{h_b}{a} \rightarrow h_b=a\cdot sin(\gamma)=4cm \cdot sin(45^o)=4cm \cdot \frac{1}{2}\sqrt 2=2\sqrt 2cm\approx 2,8cm</math> <br> | |
Damit ist der Flächeninhalt <math>A = \frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}\cdot 7cm \cdot 2\sqrt 2cm =7\sqrt 2 cm^2\approx 9,9cm^2</math> | Damit ist der Flächeninhalt <math>A = \frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}\cdot 7cm \cdot 2\sqrt 2cm =7\sqrt 2 cm^2\approx 9,9cm^2</math> | ||
+ | |||
+ | b) Im Dreieck sind b, C und amath>\alpha</math> gegeben, also nimmt man das linke Dreieck als Überlegungsfigur. Man kann h<sub>c</sub> berechnen. Es ist <math>sin(\alpha)=\frac{h_c}{b} \rightarrow h_c = b\cdot sin(\alpha)=6cm \cdot sin(60^o)=6cm \cdot \frac{1}{2}\sqrt 3 = 3 \sqrt 3 cm \approx 5,2cm</math>.<br> | ||
+ | Der Flächeninhalt ist <math>A=\frac{1}{2}ch_c=\frac{1}{2}\cdot 4cm \cdot 3\sqrt 3cm =6\sqrt 3 cm^2\approx 10,4cm^2</math> }} | ||
+ | |||
+ | {{Aufgaben-blau|4|2=Textaufgaben<br> | ||
+ | Buch S. 139 / 10 <br> | ||
+ | Buch S. 140 /16 <br> | ||
+ | Buch S. 140 / 17 <br> | ||
+ | Buch S. 140 / 15<br> | ||
+ | Buch S. 140 / 19}} | ||
+ | |||
+ | {{Lösung versteckt|1=139/10a) In dem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenuse c = 5m und der Winkel <math>\alpha=15^o</math> gegeben. | ||
+ | Es ist <math>sin(15^o)=\frac{d}{5m} \rightarrow d = 5m \cdot sin(15^o)=1,29m</math>.<br> | ||
+ | |||
+ | b) Hier macht man sich erste eine Skizze und trägt Hilfslinien ein.<br> | ||
+ | [[Datei:139-10b.jpg]]<br> | ||
+ | In der Zeichnung kennt man keinen Winkel, aber diverse Streckenlängen, allerdings keine Längen in einem rechtwinkligen Dreieck. <br> Die Höhe auf die Basis ist in der Skizze x + 1m. Mit Hilfe des Strahlensatzes kann man x berechnen. <br> | ||
+ | <math>\frac{x}{x+1} = \frac{0,75}{1,55}</math> <br> | ||
+ | <math>1,55x = 0,75x + 0,75</math><br> | ||
+ | <math>0,8 x = 0,75</math><br> | ||
+ | <math>x=\frac{0,75}{0,8}=\frac{15}{16}=0,9375</math>.<br> | ||
+ | Also ist die Höhe h in dem gleichschenkligen Dreieck h = 1.9375m.<br> | ||
+ | Man erreicht also mit der Leiter eine Höhe von knapp 2m.<br> | ||
+ | Für diese Lösung hat man keinen Winkel, keinen Sinus, Kosinus oder Tangens gebraucht, sondern nur den Strahlensatz! | ||
+ | |||
+ | Es sollte aber auch mit sin, cos oder tan gehen. <br> | ||
+ | [[Datei:139-10b 2.jpg]]<br> | ||
+ | In dem Dreieck links unten kennt man zum Basiswinkel <math>\beta</math> die Ankathete 0,4m und die Gegenkathete 1,0m, also ist <math>tan(\beta)=\frac{1m}{0,4m}=2,5</math> und <matsh>\beta = 68,2^o</math><br> | ||
+ | Zeichnet man nun noch die Höhe h von der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks auf die Basis ein, dann hat man im linken rechtwinkligen Dreieck den Winkel <math>\beta</math> und seine Ankathete <math>\frac{1,55m}{s}=0,775m</math> und damit kann man die Höhe h berchnen. Es ist <math>tan(\beta)=\frac{h}{0,775m} \rightarrow h = 0,775m \cdot tan(68,2^o)=1,9376m </math> | ||
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+ | 140/16 In dem Dreieck STB ist kein rechter Winkel. Man macht sich eine Skizze und trägt die Höhe von B auf die Seite [ST] ein.<br> | ||
+ | [[Datei:140-16.jpg]]<br> | ||
+ | Die Dreiecke SFB und FTB sind bei F jeweils rechtwinklig.<br> | ||
+ | Man kennt nur die beiden Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> und keine weitere Streckenlängen in den rechtwinkligen Dreiecken. Man weiß aber, dass c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub> = 29m ist. Also kann c<sub>1</sub> und c<sub>2</sub> verwenden. Es ist nämlich <math>tan(\alpha)=\frac{h}{c_2}, tan(\beta) = \frac{h}{c_1}</math> und damit ist <math>c_2=\frac{h}{tan(\alpha)}, c_1=\frac{h}{tan(\beta)}</math>. Setzt man dies in c<sub>1</sub> + c<sub>2</sub> = 29m ein , so erhält man <br> | ||
+ | <math>c_1 + c_2 = \frac{h}{tan(\beta)} + \frac{h}{tan(\alpha)}=h\cdot(\frac{1}{tan(\alpha)}+\frac{1}{tan(\beta)})=29m</math>.<br> | ||
+ | Nach h aufgelöst: <math> h = \frac{29m}{\frac{1}{tan(\alpha)}+\frac{1}{tan(\beta)}}=\frac{29m}{\frac{1}{tan(52^o)}+\frac{1}{tan(41^o)}}=15m</math>. <br> | ||
+ | Der Fluss ist 15m breit. | ||
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+ | 140/17 In dem Bild ist <math>\overline {AD} = 70m, \alpha = 10^o, \beta = 55^o</math>.<br> | ||
+ | [[Datei:140-17.jpg|300px]]<br> | ||
+ | Es ist <math>tan(\alpha)=\frac{h_1}{70m}, tan(\beta)=\frac{h2}{70m}</math>. <br> | ||
+ | <math>h_1=tan(\alpha)\cdot 70m = tan(10^o)\cdot 70m = 12,34m, h2=tan(\beta)\cdot 70m=tan(55^o) \cdot 70m=99,97m, h_1+h_2=112,31m\approx 110m</math> | ||
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+ | 140/15{[[Datei:140-15.jpg|300px]]<br> | ||
+ | Das Bild ist symmetrisch, daher reicht es auf einer Seite den Winkel zu berechnen. Im rechten Dreieck BFD ist <math>cos(\varphi)=\frac{50ft}{100ft}=\frac{1}{2} \rightarrow \varphi = 60^o</math>. | ||
+ | |||
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+ | |||
+ | 140/19<br> | ||
+ | [[Datei:140-19.jpg]] | ||
+ | |||
+ | c) <math>tan(\alpha)=\frac{h}{1m} \rightarrow h = tan(\alpha)\cdot 1m=tan(89^o)m=57,3m</math> }} |
Aktuelle Version vom 29. April 2021, 10:33 Uhr
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