M10 Symmetrie: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Aufgaben)
 
Zeile 87: Zeile 87:
 
{{Lösung versteckt|1=Ist n gerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = x<sup>n</sup> achsensymmetrisch zur y-Achse.<br>
 
{{Lösung versteckt|1=Ist n gerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = x<sup>n</sup> achsensymmetrisch zur y-Achse.<br>
 
Ist n ungerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = x<sup>n</sup> punktsymmetrisch zum Ursprung. }}
 
Ist n ungerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = x<sup>n</sup> punktsymmetrisch zum Ursprung. }}
 +
 +
{{Merke|1=Der Graph G<sub>f</sub> einer Potenzfunktion f mit f(x) = x<sup>n</sup> ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Exponent n gerade ist, <br>
 +
er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Exponent n ungerade ist. }}
  
 
{{Aufgaben-blau|5|2=Wann ist der Graph einer Polynomfunktion f mit f(x) = a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup>+ ... a<sub>1</sub>x + a<sub>0</sub> achsensymmetrisch zur y-Achse bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung?}}
 
{{Aufgaben-blau|5|2=Wann ist der Graph einer Polynomfunktion f mit f(x) = a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup>+ ... a<sub>1</sub>x + a<sub>0</sub> achsensymmetrisch zur y-Achse bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung?}}
Zeile 102: Zeile 105:
 
|}
 
|}
 
</center>
 
</center>
 +
 +
{{Merksatz|MERK=Der Graph G<sub>f</sub> einer Polynomfunktion f ist
 +
 +
* '''achsensymmetrisch zur y-Achse''', wenn das Polynom nur '''x-Potenzen mit geradzahligen Exponenten''' hat.
 +
 +
* '''punktsymmetrisch zum Ursprung''', wenn das Polynom nur '''x-Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten''' hat. }}
 +
 +
{{Aufgaben-blau|5|2=Welche Symmetrie haben die Graphen der Polynomfunktion f mit
 +
 +
a) f(x) = 5x<sup>6</sup> + 4x<sup>2</sup> - 25?<br>
 +
b) f(x) = 9x<sup>7</sup> - 3x<sup>5</sup> +27x?<br>
 +
c) f(x) = 3x<sup>7</sup> + 2x<sup>4</sup> - 3x +1? }}
 +
 +
{{Lösung versteckt|1=a) f hat nur x-Potenzen mit geradzahligen Exponenten, also ist G<sub>f</sub> achsensymmetrisch zur y-Achse.<br>
 +
b) f hat nur x-Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten, also ist G<sub>f</sub> punktsymmetrisch zum Ursprung.<br>
 +
c) f hat x-Potenzen mit geradzahligen und ungeradzahligen Exponenten, also hat G<sub>f</sub> keine Symmetrie zum Koordinatensystem. G<sub>f</sub> ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung. }}

Aktuelle Version vom 23. Juli 2021, 07:42 Uhr

Es gibt zwei verschiedene Arten von Symmetrien zum Koordinatensystem:

Achsensymmetrie zur y-Achse

X^2.jpg

Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Graph auf der linken Seite der y-Achse ein Spiegelbild der rechten Seite ist. Die y-Achse ist Symmetrieachse des Graphen von f.
Rechnerisch bedeutet dies, dass f(-x)=f(x) ist.

Maehnrot.jpg
Merke:

Gilt für die Funktion f, dass f(-x) = f(x) ist, dann ist der Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Zeige, dass die Graphen der Funktion f mit
a) f(x) = x2 - 2
b) f(x) = 2 + \frac{1}{x^2}
achsensymmetrisch zur y-Achse sind.

[Lösung anzeigen]


Punktsymmetrie zum Ursprung

1-x.jpg

Der Graph einer Funktion f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn man ihn um 180° drehen kann und man wieder den gleichen Graph erhält. Oder macht man zwei Achsenspiegelungen an der x-Achse und an der y-Achse und erhält wieder den Graphen von f.
Rechnerisch bedeutet dies, dass f(-x)= - f(x) ist.

Maehnrot.jpg
Merke:

Gilt für die Funktion f, dass f(-x) = - f(x) ist, dann ist der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung y-Achse.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Zeige, dass die Graphen der Funktion f mit
a) f(x) = x
b) f(x) =  \frac{5}{x}
punktsymmetrisch zum Ursprung sind.

[Lösung anzeigen]


Aufgaben

Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Untersuche die Graphen der Funktion f auf Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung.

a) f(x) = x4 - x2 +1
b) f(x) = 24x8 + 8x6 - 1234
c) f(x) = 2 + x
d) f(x) = cos(x)
e) f(x) = x2 cos(x) + 2
f) f(x) = x2 + 2x
g) f(x) = sin(x)
h) f(x) = x sin(x)
i) f(x) = x2 sin(x)
k) f(x) = \frac{x^3 - 2x}{x^2+1}
l) f(x) = x3 + 5x2

[Lösung anzeigen]


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Welche Graphen der Potenzfunktionen f mit f(x) = xn, wobei n eine natürliche Zahl ist sind
a) achsensymmetrisch zur y-Achse
b) punktsymmetrisch zum Ursprung?

[Lösung anzeigen]

Nuvola apps kig.png   Merke

Der Graph Gf einer Potenzfunktion f mit f(x) = xn ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Exponent n gerade ist,
er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Exponent n ungerade ist.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Wann ist der Graph einer Polynomfunktion f mit f(x) = anxn + an-1xn-1+ ... a1x + a0 achsensymmetrisch zur y-Achse bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung?

[Lösung anzeigen]

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Graph Gf einer Polynomfunktion f ist

  • achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn das Polynom nur x-Potenzen mit geradzahligen Exponenten hat.
  • punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn das Polynom nur x-Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten hat.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Welche Symmetrie haben die Graphen der Polynomfunktion f mit

a) f(x) = 5x6 + 4x2 - 25?
b) f(x) = 9x7 - 3x5 +27x?
c) f(x) = 3x7 + 2x4 - 3x +1?

[Lösung anzeigen]