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| {{Lösung versteckt|1=Ist n gerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = x<sup>n</sup> achsensymmetrisch zur y-Achse.<br> | | {{Lösung versteckt|1=Ist n gerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = x<sup>n</sup> achsensymmetrisch zur y-Achse.<br> |
| Ist n ungerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = x<sup>n</sup> punktsymmetrisch zum Ursprung. }} | | Ist n ungerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = x<sup>n</sup> punktsymmetrisch zum Ursprung. }} |
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| + | {{Merke|1=Der Graph G<sub>f</sub> einer Potenzfunktion f mit f(x) = x<sup>n</sup> ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Exponent n gerade ist, <br> |
| + | er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Exponent n ungerade ist. }} |
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| {{Aufgaben-blau|5|2=Wann ist der Graph einer Polynomfunktion f mit f(x) = a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup>+ ... a<sub>1</sub>x + a<sub>0</sub> achsensymmetrisch zur y-Achse bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung?}} | | {{Aufgaben-blau|5|2=Wann ist der Graph einer Polynomfunktion f mit f(x) = a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup>+ ... a<sub>1</sub>x + a<sub>0</sub> achsensymmetrisch zur y-Achse bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung?}} |
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| + | {{Merksatz|MERK=Der Graph G<sub>f</sub> einer Polynomfunktion f ist |
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| + | * '''achsensymmetrisch zur y-Achse''', wenn das Polynom nur '''x-Potenzen mit geradzahligen Exponenten''' hat. |
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| + | * '''punktsymmetrisch zum Ursprung''', wenn das Polynom nur '''x-Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten''' hat. }} |
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| + | {{Aufgaben-blau|5|2=Welche Symmetrie haben die Graphen der Polynomfunktion f mit |
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| + | a) f(x) = 5x<sup>6</sup> + 4x<sup>2</sup> - 25?<br> |
| + | b) f(x) = 9x<sup>7</sup> - 3x<sup>5</sup> +27x?<br> |
| + | c) f(x) = 3x<sup>7</sup> + 2x<sup>4</sup> - 3x +1? }} |
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| + | {{Lösung versteckt|1=a) f hat nur x-Potenzen mit geradzahligen Exponenten, also ist G<sub>f</sub> achsensymmetrisch zur y-Achse.<br> |
| + | b) f hat nur x-Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten, also ist G<sub>f</sub> punktsymmetrisch zum Ursprung.<br> |
| + | c) f hat x-Potenzen mit geradzahligen und ungeradzahligen Exponenten, also hat G<sub>f</sub> keine Symmetrie zum Koordinatensystem. G<sub>f</sub> ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung. }} |
Aktuelle Version vom 23. Juli 2021, 07:42 Uhr
Es gibt zwei verschiedene Arten von Symmetrien zum Koordinatensystem:
Achsensymmetrie zur y-Achse
Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Graph auf der linken Seite der y-Achse ein Spiegelbild der rechten Seite ist. Die y-Achse ist Symmetrieachse des Graphen von f.
Rechnerisch bedeutet dies, dass f(-x)=f(x) ist.
Merke:
Gilt für die Funktion f, dass f(-x) = f(x) ist, dann ist der Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse.
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Aufgabe 1
Zeige, dass die Graphen der Funktion f mit
a) f(x) = x2 - 2
b) f(x) =
achsensymmetrisch zur y-Achse sind.
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Man überprüft das, indem man in den Funktionsterm von f statt x nun -x einsetzt. Wenn der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, dann muss man den gleichen Term f(x) wieder erhalten.
a) f(-x) = (-x)2 - 2 = x2 - 2 = f(x)
b) f(-x) =
= f(x)
Punktsymmetrie zum Ursprung
Der Graph einer Funktion f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn man ihn um 180° drehen kann und man wieder den gleichen Graph erhält. Oder macht man zwei Achsenspiegelungen an der x-Achse und an der y-Achse und erhält wieder den Graphen von f.
Rechnerisch bedeutet dies, dass f(-x)= - f(x) ist.
Merke:
Gilt für die Funktion f, dass f(-x) = - f(x) ist, dann ist der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung y-Achse.
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Aufgabe 2
Zeige, dass die Graphen der Funktion f mit
a) f(x) = x
b) f(x) =
punktsymmetrisch zum Ursprung sind.
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Man überprüft das, indem man in den Funktionsterm von f statt x nun -x einsetzt. Wenn der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, dann muss man den gleichen Term f(x) wieder erhalten.
a) f(-x) = -x = - f(x)
b) f(-x) =
= - f(x)
Aufgaben
Aufgabe 3
Untersuche die Graphen der Funktion f auf Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung.
a) f(x) = x4 - x2 +1
b) f(x) = 24x8 + 8x6 - 1234
c) f(x) = 2 + x
d) f(x) = cos(x)
e) f(x) = x2 cos(x) + 2
f) f(x) = x2 + 2x
g) f(x) = sin(x)
h) f(x) = x sin(x)
i) f(x) = x2 sin(x)
k) f(x) =
l) f(x) = x3 + 5x2
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Man setzt in f(x) wieder -x statt x ein und schaut ob man mit Termumformungen f(x) oder - f(x) erhält.
a) f(-x) = (-x)4 - (-x)2 +1 = x4 - x2 +1 = f(x), also ist Gf achsensymmetrisch zur y-Achse.
b) f(-x) = 24(-x)8 + 8(-x)6 - 1234 = 24x8 + 8x6 - 1234 = f(x), also ist Gf achsensymmetrisch zur y-Achse.
c) f(-x) = 2 + (-x) = 2 - x f(x) oder - f(x), also ist Gf weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
d) f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x), also ist Gf achsensymmetrisch zur y-Achse.
e) e) f(-x) = (-x)2 cos(-x) + 2 = x2 cos(x) + 2 = f(x), also ist Gf achsensymmetrisch zur y-Achse.
f) f(-x) = (-x)2 + 2(-x) = x2 - 2x f(x) oder - f(x), also ist Gf weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
g) f(-x) = sin(-x) = - sin(x) = - f(x), also ist Gf punktsymmetrisch zum Ursprung.
h) f(-x) = -x sin(-x) = -x [-sin(x)] = x sin(x) = f(x), also ist Gf achsensymmetrisch zur y-Achse.
i) f(-x) = (-x)2 sin(-x) = x2 [-sin(x)] = - x2 sin(x) = -f(x), also ist Gf punktsymmetrisch zum Ursprung.
k) f(-x) = = - f(x), also ist Gf punktsymmetrisch zum Ursprung.
l) f(-x) = (-x)
3 + 5(-x)
2 = - x
3 + 5x
2 f(x) oder - f(x), also ist G
f weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Aufgabe 4
Welche Graphen der Potenzfunktionen f mit f(x) = xn, wobei n eine natürliche Zahl ist sind
a) achsensymmetrisch zur y-Achse
b) punktsymmetrisch zum Ursprung?
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Ist n gerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = xn achsensymmetrisch zur y-Achse.
Ist n ungerade, dann ist der Graph der Potenzfunktion f mit f(x) = x
n punktsymmetrisch zum Ursprung.
Merke
Der Graph Gf einer Potenzfunktion f mit f(x) = xn ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Exponent n gerade ist,
er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Exponent n ungerade ist.
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Aufgabe 5
Wann ist der Graph einer Polynomfunktion f mit f(x) = anxn + an-1xn-1+ ... a1x + a0 achsensymmetrisch zur y-Achse bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung?
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Hat die Polynomfunktion f nur x-Potenzen mit geradzahligen Exponenten, dann ist ihr Graph Gf achsensymmetrisch zur y-Achse.
Hat die Polynomfunktionf nur x-Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten, dann ist ihr Graph Gf punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beachte: a
0 = a
0·x
0 und 0 ist eine gerade Zahl!
Merke:
Der Graph Gf einer Polynomfunktion f ist
- achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn das Polynom nur x-Potenzen mit geradzahligen Exponenten hat.
- punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn das Polynom nur x-Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten hat.
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Aufgabe 5
Welche Symmetrie haben die Graphen der Polynomfunktion f mit
a) f(x) = 5x6 + 4x2 - 25?
b) f(x) = 9x7 - 3x5 +27x?
c) f(x) = 3x7 + 2x4 - 3x +1?
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
a) f hat nur x-Potenzen mit geradzahligen Exponenten, also ist Gf achsensymmetrisch zur y-Achse.
b) f hat nur x-Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten, also ist Gf punktsymmetrisch zum Ursprung.
c) f hat x-Potenzen mit geradzahligen und ungeradzahligen Exponenten, also hat G
f keine Symmetrie zum Koordinatensystem. G
f ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung.