Aufgaben zur Lagebeziehung Gerade - Ebene: Unterschied zwischen den Versionen

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d) Damit die Gerade g die Ebene E schneidet, darf der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g nicht senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also muss <math>\vec{u} \circ \vec{n} \neq 0</math> sein. Dies beinhaltet dann auch a)!<br>
 
d) Damit die Gerade g die Ebene E schneidet, darf der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g nicht senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also muss <math>\vec{u} \circ \vec{n} \neq 0</math> sein. Dies beinhaltet dann auch a)!<br>
 
Falls das Skalarprodukt <math>\vec{u} \circ \vec{n} = 0</math> ist, hat man ja b) und c)!
 
Falls das Skalarprodukt <math>\vec{u} \circ \vec{n} = 0</math> ist, hat man ja b) und c)!
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S. 145/4
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{{Lösung versteckt|1=
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k ist Scharparameter der Ebenenschar E<sub>k</sub>:  x<sub>1</sub> + (k-2)x<sub>2</sub> + (2k+1)x<sub>3</sub> = 5 - 2k . <br>
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a) (1) Eine Ebene E<sub>k</sub> enthält den Ursprung, wenn in der Normalenform die Konstante gleich Null ist, also 5-2k = 0 ist. Somit ist k = 2,5 und die Ebene E<sub>2,5</sub> enthält den Ursprung.<br>
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(2) Eine Ebene E<sub>k</sub> ist parallel zur x<sub>3</sub>-Achse, wenn in der Normalenform kein x<sub>3</sub> vorkommt, also muss der Koeffizient von x<sub>3</sub> gleich 0 sein, d.h. 2k+1 = 0 , also k = -0,5.<br>
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(3) Eine Ebene E<sub>k</sub> ist die x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>-Ebene, wenn ihr Normalenvektor der Richtungsvektor der <sub>x1</sub>-Achse ist. Die x<sub>1</sub>-Achse hat als Richtungsvektor <math>\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)</math>. Dies ist dann auch ein Normalenvektor der Ebene Ebene E<sub>k</sub>. Damit müssen in der Normalenform der Ebene E<sub>k</sub> die Koeffizienten von x<sub>2</sub>  und x<sub>3</sub> gleich 0 sein, also k-2 = 0 und 2k+1 = 0. Dies ist gleichzeitig nicht möglich, denn dann müsste gleichzeitig k = 2 und k = -0,5 sein.
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Also ist keine der Scharebenen die x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>-Ebene.
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b) Eine Ebene ist Lotebene zur x<sub>3</sub>-Achse, wenn der Richtungsvektor <math>\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1  \end{array}\right)</math> der x<sub>3</sub>-Achse auch ein Normalenvektor der Ebene ist. Also muss für den Normalenvektor <math>\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ k-2 \\\ 2k+1  \end{array}\right)</math> der Ebene E<sub>k</sub> die erste und zweite Koordinate gleich 0 sein, was nicht möglich ist, da die erste Koordinate immer 1 ist.
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c) Man setzt die Koordinaten der Geraden g:  <math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1+5m \\\ -2+2m \\\ -m  \end{array}\right)</math> in die Normalenform der Ebenengleichung ein.
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Die Gleichung 1+5m + (k-2)(-2+2m) + (2k+1)(-m) = 5-2k vereinfacht man zu 0 = 0. Dies ist eine allgemeingültige Gleichung unabhängig von k, was hier bedeutet, dass die Gerade g in allen Ebenen der Schar liegt.
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[[Datei:145-4c.jpg|gemeinsame Gerade einer Ebenenschar|300px]]
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d) Die Gerade h hat die Gleichung h:  <math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ -4 \\\ 1  \end{array}\right)+ k\left( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ -3  \end{array}\right)</math>. Die Ebene E<sub>1</sub> hat die Gleichung x<sub>1</sub>  - x<sub>2</sub> + 3x<sub>3</sub> = 3. <br>
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Man setzt die Koordinaten der Geraden in die Normalenform der Ebenengleichung ein und erhält folgende Gleichung: <br>
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3k - (-4+6k) + 3(1-3k) = 3.  Ihre Lösung ist k = 1/3 und der Schnittpunkt S(1;-2;0).
 
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Aktuelle Version vom 17. März 2020, 22:50 Uhr

S. 145/2

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S. 145/3

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S. 145/4

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