Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

a) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .

Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hier  nimmt man hiervon den Betrag.

Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist

b) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand .

c) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E . Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand .

d) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand .
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.

(1) Wegen steht der Richtungsvektor der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E. ist also komplanar zu den Richtungsvektoren der Ebene E.
Die Ebene E hat als HNF . Für den Stützpunkt A(7;-13;-4) der Gerade g berechnet man , also liegt A nicht in E und g ist echt parallel zu E. Das g echt parallel zu E ist, hat g auch den Abstand 18 zur Ebene E.
Wird g senkrecht auf E projeziert, dann wird in Richtung des Normalenvektors projeziert. Fällt man von A das Lot auf E, dann erhält man den Lotfusspunkt L durch 2(7+2k)-2(-13-2k)-(-4-k)+10=0 und k = -6 und L(-5;-1;2). Damit hat man für g^* den Stützpunkt. Ihr Richtungsvektor ist derselbe wie bei g, da er "in E liegt" (ist komplanar zu den Richtungsvektoren von E). Die senkrechte Projektion von g in die Ebene E ist dann .

(2) Analog geht man hier vor.
.
HNF von E: .


k + (7+k) + (-1+k) + 12 = 0 --> k = -6 und L(-6;1;-7)

Die Ebene E hat HNF . Für diese Gleichung hat man also einen Normaleneinheitsvektor .
Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor oder aneinandersetzt.
Deren HNF sind dann oder . (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)
Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie und .

a) Gleichsetzen der zwei Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt (S(1;-1;0).
Für den Schnittwinkel interessieren nur die Richtungsvektoren der Geraden. Man erhält ihn aus . Es ist .

Ich lasse die Betragsstriche meist weg. Ist das Ergebnis für cos oder sin negativ, dann nimmt man einfach hier den Betrag

und erhält dann den spitzen Winkel.

b) S(0;2;-1) und

a) Setzt man g in E ein, erhält man diese Gleichung 3(1+k) - (-2) - (-k) = 1 und k = -1. S(0;-2;1)
Für den Schnittwinkel interessieren der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor der Ebene E. und

a) Für den Schnittwinkel interessieren die zwei Normalenvektoren der Ebene. und

b)

c)

d) Hier ist es sinnvoll beide Ebenengleichungen in Normalenform zu schreiben;
E₁: 5x₁ - 6x₂ - 2x₃ + 3 = 0 und E₂: 2x₁ + x₃ -3 = 0

a) Man hat die Gleichung
Aus der 1. Koordinatengleichung -3 + k = -1 folgt k = 2.
Für die 2. Koordinatengleichung ergibt sich -3 + 14 = a₂, also a₂=11.
Für die 3. Koordinatengleichung ergibt sich 1 + 6 = ₃, also a₃=7.
Also ist A(-1;11;7)

b) X ist ein Punkt auf g und hat dem Ortsvektor . Soll X Lotfusspunkt F des Lotes von P auf g sein, dann steht der Vektor senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden. Also muss sein. Dies führt zur Gleichung
-5 + k + 7(-6 + 7k) + 3(-4+3k) = 0 und -59 + 59k = 0, also k = 1 und F(-2;4;4).

c) Den Spiegelpunkt A^* von A bei Punktspiegelung am Zentrum Z = F(-2;4;4) erhält man durch , also A^*(-3;-3;1) .
Analog erhält man P^*(-6;5;3)

Den Flächeninhalt dieses Parallelogramms kann man nun berechnen.
elementar: Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man mit der Formel A = g·h . Also muss man sich überlegen was ist g und was ist h. Die Punkte A, Z und A^* liegen auf der Geraden g.
Man sieht, dass die beiden Dreiecke AA^*P und AA^*P^* das Parallelogramm ergeben. Z = F ist der Lotfusspunkt des Lotes von P auf g, also ist die die Höhe des Dreiecks AA^*P und die Grundlinie des Dreiecks . Damit ergbit

a) Es ist ( ist der Normalenvektor der Ebene E), also steht der Vektor senkrecht zur Ebene E.
Der Mittelpunkt M der Strecke [DD^*] erhält man durch seinen Ortsvektor , also M(4;5;5) und M liegt wegen 4·4 - 3·4 + 5 -6 = 0 in der Ebene E, also sind die beiden Punkte D und D^* symmetrisch zur Ebene E.

Man kann auch den Abstand der beiden Punkte von der Ebene E berechnen. Die HNF der Ebene E ist
und . Damit liegen D und D^* auch symmetrisch zur Ebene E.

b) Das Vorgehen für die Spiegelung eines Punktes S an einer Ebene ist:

• Fälle von S das Lot auf die Ebene. Dabei ist das Lot l eine Gerade durch S in Richtung des Normalenvektors der Ebene E.
• Bestimme den Lotfußpunkt F als Schnittpunkt der Lotgeraden l mit der Ebene E.
• Den Spiegelpunkt erhält man, indem man den Verbindungsvektor der Punkte S und F über F hinaus nochmals anträgt.

c) Das Vorgehen ist in b) erklärt. Das Lot von P auf E schneidet die Ebene in F(3;1;2) und der Spiegelpunkt ist P^*(-4;3;1).

a) Der Mittelpunkt der Kugel ist der Ursprung M(0;0;0). Der Normalenvektor <marh>\vec{n}</math> der Ebene E ist und hat den Betrag 3.
Mit der HNF der Ebene E kann man den Abstand von M zur Ebene E berechnen. Es ist . Damit die Kugel die Ebene berührt muss ihr Radius 3 sein.
Den Berührpunkt erhält man, indem man von M aus ein Lot l auf E errichtet. Dieses Lot hat als Stützpunkt M und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene, also . Setzt man die Koordinaten von l in die Ebenengleichung, erhält man 2·2k - 2(-2k) + k - 9 = 0 und k = 1. Der Berührpunkt B hat die Koordinaten B(2;-2;1).

Analog geht man bei den Aufgaben b) und c) vor.
b) r = und .

a) Wie wir es schon öfter gemacht haben, macht man auch hier von Q ein Lot auf g. Der Lotfußpunkt F auf g hat einen Ortsvektor und der Vektor steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden g. Es ist also . Dies führt zur Gleichung 2(-2+2k) + 2(-8+2k) + 2+k =0 und k = 2 und F(7;2;5). Der Abstand der beiden Geraden ist dann .

b) g und h spannen eine Ebene auf. g kann man gleich nehmen und man braucht noch einen zweiten Richtungsvektor, dafür eignet sich der Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte, so dass sich diese Parameterdarstellung der Ebene E ergibt. Für die Normalenform der Ebenengleichung rechnet man zuerst . Also ist ein Normalenvektor und -2x₁ + x₂ + 2x₃ + 2 = 0 .

Den Schnittwinkel der Geraden k mit der Ebene E erhält man und .

c) Gegeben ist eine gerade Pyramide. Dies bedeutet, dass die Spitze genau über dem Mittelpunkt des Grundquadrats ist.
Das Lot von S auf die Ebene E muss dann die Ebene auf der Mittelparallele m zu g und h schneiden. Der Mittelpunkt der Strecke [PQ] liegt auf dieser Mittelparallele. Es ist M(4;2;2) und .
Macht man von einem passenden Punkt X auf m ein Lot zur Ebene, dann muss dieses Lot die Gerade k in S schneiden. Das Lot hat die Gleichung .
Setzt man das Lot gleich k, dann hat man ein Gleichungssystem von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Wenn man dies löst, erhält man Lösungen m = 2, n = 3, t = -1.
m = 2 liefert S(-4;3;7), n = 3 würde die Höhe der Pyramide liefern (interessiert hier aber nicht!), t = -1 liefert den Lotfußpunkt L(2;0;1). (Die Gerade SL steht senkrecht zur Ebene E!)
L ist Mittelpunkt des Grundquadrats (es handelt sich um eine gerade Pyramide.). Nun macht man ein Lot auf g und h. In a) hat man sich schon überlegt, dass der Vektor ist. Also muss man von L den halben Vektor jeweils zur einen und zur anderen Seite gehen um auf g und h zu kommen.
F1(3;-2;3) auf g und F2(1;2;-1) auf h.
Da die Geraden g und h den Abstand 6 haben, muss man nun von den Punkten F1 und F2 noch 3 Einheiten auf g und h jeweils in verschiedene Richtungen der Geraden gehen und man hat die Eckpunkte der Pyramide. Da der Richtungsvektor von g und h Betrag 3 hat, nimmt man hier statt einem Einheitsvektor gleich den Richtungsvektor.
Die Eckpunkte der Pyramide werden mit P1, P2, P3 und P4 bezeichnet. Es ist dann:
, also P1(1;-4;2)
, also P2(5;0;5)
, also P3(3;4;0)
, also P4(-1;0;-2)

Die Ebene E hat Normalenvektor . Der Normaleneinheitsvektor ist . Der Radius der Kugel ist 7. Geht man nun von S aus 7 mal in Richtung oder , dann erhält man die zwei Mittelpunkte M und M^*.
Also und M(2;6;23)
Also und M(-2;-6;17).

b) Die Gerade m hat als Stützpunkt M und ihr Richtungsvektor ist der Vektor . Damit ist .

c) Die Ebene E^* ist parallel zur x₁x₂-Ebene im Abstand 7 (Radius der Kugel), also x₃ - 7 = 0 .
Setzt man die x₃-Koordinate von m in die Ebenengleichung ein erhält man 23 - 20k - 7 = 0 und . Die Koordinaten von T erhält man, wenn man diesen Wert von k in die Geradengleichung von m einsetzt, also T(4,4;13,2;7) .