Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

a) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .

Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hier  nimmt man hiervon den Betrag.

Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist

b) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand .

c) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E . Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand .

d) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand .
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.

(1) Wegen steht der Richtungsvektor der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E. ist also komplanar zu den Richtungsvektoren der Ebene E.
Die Ebene E hat als HNF . Für den Stützpunkt A(7;-13;-4) der Gerade g berechnet man , also liegt A nicht in E und g ist echt parallel zu E. Das g echt parallel zu E ist, hat g auch den Abstand 18 zur Ebene E.
Wird g senkrecht auf E projeziert, dann wird in Richtung des Normalenvektors projeziert. Fällt man von A das Lot auf E, dann erhält man den Lotfusspunkt L durch 2(7+2k)-2(-13-2k)-(-4-k)+10=0 und k = -6 und L(-5;-1;2). Damit hat man für g^* den Stützpunkt. Ihr Richtungsvektor ist derselbe wie bei g, da er "in E liegt" (ist komplanar zu den Richtungsvektoren von E). Die senkrechte Projektion von g in die Ebene E ist dann .

(2) Analog geht man hier vor.
.
HNF von E: .


k + (7+k) + (-1+k) + 12 = 0 --> k = -6 und L(-6;1;-7)

Die Ebene E hat HNF . Für diese Gleichung hat man also einen Normaleneinheitsvektor .
Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor oder aneinandersetzt.
Deren HNF sind dann oder . (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)
Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie und .

(E1 für +9 und E2 für -9; E1 und E2 liegen in verschiedenen Halbräumen des durch E geteilten Raumes.)

a) Gleichsetzen der zwei Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt (S(1;-1;0).
Für den Schnittwinkel interessieren nur die Richtungsvektoren der Geraden. Man erhält ihn aus . Es ist .

Ich lasse die Betragsstriche meist weg. Ist das Ergebnis für cos oder sin negativ, dann nimmt man einfach hier den Betrag

und erhält dann den spitzen Winkel.

b) S(0;2;-1) und

c) S(2;2;2) und

a) Setzt man g in E ein, erhält man diese Gleichung 3(1+k) - (-2) - (-k) = 1 und k = -1. S(0;-2;1)
Für den Schnittwinkel interessieren der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor der Ebene E. und

b) S(4;-1;-1) und

a) Für den Schnittwinkel interessieren die zwei Normalenvektoren der Ebene. und

b)

c)

d) Hier ist es sinnvoll beide Ebenengleichungen in Normalenform zu schreiben;
E₁: 5x₁ - 6x₂ - 2x₃ + 3 = 0 und E₂: 2x₁ + x₃ -3 = 0

a) Man hat die Gleichung
Aus der 1. Koordinatengleichung -3 + k = -1 folgt k = 2.
Für die 2. Koordinatengleichung ergibt sich -3 + 14 = a₂, also a₂=11.
Für die 3. Koordinatengleichung ergibt sich 1 + 6 = ₃, also a₃=7.
Also ist A(-1;11;7)

b) X ist ein Punkt auf g und hat dem Ortsvektor . Soll X Lotfusspunkt F des Lotes von P auf g sein, dann steht der Vektor senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden. Also muss sein. Dies führt zur Gleichung
-5 + k + 7(-6 + 7k) + 3(-4+3k) = 0 und -59 + 59k = 0, also k = 1 und F(-2;4;4).

c) Den Spiegelpunkt A^* von A bei Punktspiegelung am Zentrum Z = F(-2;4;4) erhält man durch , also A^*(-3;-3;1) .
Analog erhält man P^*(-6;5;3)

Den Flächeninhalt dieses Parallelogramms kann man nun berechnen.
elementar: Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man mit der Formel A = g·h . Also muss man sich überlegen was ist g und was ist h. Die Punkte A, Z und A^* liegen auf der Geraden g.
Man sieht, dass die beiden Dreiecke AA^*P und AA^*P^* das Parallelogramm ergeben. Z = F ist der Lotfusspunkt des Lotes von P auf g, also ist die die Höhe des Dreiecks AA^*P und die Grundlinie des Dreiecks . Damit ergbit

mit dem Vektorprodukt: In der Merkhilfe findet man die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. Für unser Parallelogramm multipliziert man diese Formel mit 2. Also hat man

a) Es ist ( ist der Normalenvektor der Ebene E), also steht der Vektor senkrecht zur Ebene E.
Der Mittelpunkt M der Strecke [DD^*] erhält man durch seinen Ortsvektor , also M(4;5;5) und M liegt wegen 4·4 - 3·4 + 5 -6 = 0 in der Ebene E, also sind die beiden Punkte D und D^* symmetrisch zur Ebene E.

Man kann auch den Abstand der beiden Punkte von der Ebene E berechnen. Die HNF der Ebene E ist
und . Damit liegen D und D^* auch symmetrisch zur Ebene E.

b) Das Vorgehen für die Spiegelung eines Punktes S an einer Ebene ist:

• Fälle von S das Lot auf die Ebene. Dabei ist das Lot l eine Gerade durch S in Richtung des Normalenvektors der Ebene E.
• Bestimme den Lotfußpunkt F als Schnittpunkt der Lotgeraden l mit der Ebene E.
• Den Spiegelpunkt erhält man, indem man den Verbindungsvektor der Punkte S und F über F hinaus nochmals anträgt.

c) Das Vorgehen ist in b) erklärt. Das Lot von P auf E schneidet die Ebene in F(3;1;2) und der Spiegelpunkt ist P^*(-4;3;1).

Das haben wir schon im Unterricht gemacht. Formulieren Sie es aber bitte auch selbst nochmal.

a) Der Mittelpunkt der Kugel ist der Ursprung M(0;0;0). Der Normalenvektor <marh>\vec{n}</math> der Ebene E ist und hat den Betrag 3.
Mit der HNF der Ebene E kann man den Abstand von M zur Ebene E berechnen. Es ist . Damit die Kugel die Ebene berührt muss ihr Radius 3 sein.
Den Berührpunkt erhält man, indem man von M aus ein Lot l auf E errichtet. Dieses Lot hat als Stützpunkt M und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene, also . Setzt man die Koordinaten von l in die Ebenengleichung, erhält man 2·2k - 2(-2k) + k - 9 = 0 und k = 1. Der Berührpunkt B hat die Koordinaten B(2;-2;1).

Analog geht man bei den Aufgaben b) und c) vor.
b) r = und .

c) r = 3 und B(6;-1;1).

a) Wie wir es schon öfter gemacht haben, macht man auch hier von Q ein Lot auf g. Der Lotfußpunkt F auf g hat einen Ortsvektor und der Vektor steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden g. Es ist also . Dies führt zur Gleichung 2(-2+2k) + 2(-8+2k) + 2+k =0 und k = 2 und F(7;2;5). Der Abstand der beiden Geraden ist dann .

b) g und h spannen eine Ebene auf. g kann man gleich nehmen und man braucht noch einen zweiten Richtungsvektor, dafür eignet sich der Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte, so dass sich diese Parameterdarstellung der Ebene E ergibt. Für die Normalenform der Ebenengleichung rechnet man zuerst . Also ist ein Normalenvektor und -2x₁ + x₂ + 2x₃ + 2 = 0 .

Den Schnittwinkel der Geraden k mit der Ebene E erhält man und .

c) Gegeben ist eine gerade Pyramide. Dies bedeutet, dass die Spitze genau über dem Mittelpunkt des Grundquadrats ist.
Das Lot von S auf die Ebene E muss dann die Ebene auf der Mittelparallele m zu g und h schneiden. Der Mittelpunkt der Strecke [PQ] liegt auf dieser Mittelparallele. Es ist M(4;2;2) und .
Macht man von einem passenden Punkt X auf m ein Lot zur Ebene, dann muss dieses Lot die Gerade k in S schneiden. Das Lot hat die Gleichung .
Setzt man das Lot gleich k, dann hat man ein Gleichungssystem von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Wenn man dies löst, erhält man Lösungen m = 2, n = 3, t = -1.
m = 2 liefert S(-4;3;7), n = 3 würde die Höhe der Pyramide liefern (interessiert hier aber nicht!), t = -1 liefert den Lotfußpunkt L(2;0;1). (Die Gerade SL steht senkrecht zur Ebene E!)
L ist Mittelpunkt des Grundquadrats (es handelt sich um eine gerade Pyramide.). Nun macht man ein Lot auf g und h. In a) hat man sich schon überlegt, dass der Vektor ist. Also muss man von L den halben Vektor jeweils zur einen und zur anderen Seite gehen um auf g und h zu kommen.
F1(3;-2;3) auf g und F2(1;2;-1) auf h.
Da die Geraden g und h den Abstand 6 haben, muss man nun von den Punkten F1 und F2 noch 3 Einheiten auf g und h jeweils in verschiedene Richtungen der Geraden gehen und man hat die Eckpunkte der Pyramide. Da der Richtungsvektor von g und h Betrag 3 hat, nimmt man hier statt einem Einheitsvektor gleich den Richtungsvektor.
Die Eckpunkte der Pyramide werden mit P1, P2, P3 und P4 bezeichnet. Es ist dann:
, also P1(1;-4;2)
, also P2(5;0;5)
, also P3(3;4;0)
, also P4(-1;0;-2)

Die Ebene E hat Normalenvektor . Der Normaleneinheitsvektor ist . Der Radius der Kugel ist 7. Geht man nun von S aus 7 mal in Richtung oder , dann erhält man die zwei Mittelpunkte M und M^*.
Also und M(2;6;23)
Also und M(-2;-6;17).

b) Die Gerade m hat als Stützpunkt M und ihr Richtungsvektor ist der Vektor . Damit ist .

c) Die Ebene E^* ist parallel zur x₁x₂-Ebene im Abstand 7 (Radius der Kugel), also x₃ - 7 = 0 .
Setzt man die x₃-Koordinate von m in die Ebenengleichung ein erhält man 23 - 20k - 7 = 0 und . Die Koordinaten von T erhält man, wenn man diesen Wert von k in die Geradengleichung von m einsetzt, also T(4,4;13,2;7) .

d) In a) sind wir von S aus 7 mal in Richtung zu M gegangen. Nun erhält man den Berührpunkt, wenn man von T aus 7 mal in Richtung geht. Dann ist und B(2,4;7,2;4).