M8 Term und Graph bei gebrochen-rationalen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Funktion <math>g: x \rightarrow \frac{1}{x-b}</math> ist für <math> x = b </math> nicht definiert, da wenn man b für x einsetzt im Nenner Null steht. Das ist nicht zulässig. Also ist <math>D=Q\setminus \left \{ b \right \}</math>. An der Stelle  <math> x = b </math> hat die Funktion <math>g</math> eine Definitionslücke. Der Graph eine senkrechte Asymptote. <math> x = b </math> ist eine Polstelle des Graphen.  
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Die Funktion <math>g: x \rightarrow \frac{1}{x-b}</math> ist für <math> x = b </math> nicht definiert, da wenn man b für x einsetzt im Nenner Null steht. Das ist nicht zulässig! Also ist <math>D=Q\setminus \left \{ b \right \}</math>. An der Stelle  <math> x = b </math> hat die Funktion <math>g</math> eine Definitionslücke. Der Graph eine senkrechte Asymptote. <math> x = b </math> ist eine Polstelle des Graphen.  
  
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{{Aufgaben-blau|1|2=Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit <math> f(x) = \frac{1}{x}</math> (<span style="color:#04B404">&nbsp;grün</span>) und der Graph der Funktion g mit <math>g(x) = \frac{1}{1-b}</math> (<span style="color:#C00000">&nbsp;rot</span>) eingezeichnet. Desweiteren ist die senkrechte Asymptote <math>x = b</math> (<span style="color:#0174DF">&nbsp;blau</span>) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern. <br>
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{{Aufgaben-blau|1|2=Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit <math> f(x) = \frac{1}{x}</math> (<span style="color:#04B404">&nbsp;grün</span>) und der Graph der Funktion g mit <math>g(x) = \frac{1}{x-b}</math> (<span style="color:#C00000">&nbsp;rot</span>) eingezeichnet. Desweiteren ist die senkrechte Asymptote <math>x = b</math> (<span style="color:#0174DF">&nbsp;blau</span>) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern. <br>
 
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Der Schieberegler ist auf b = 0 eingestellt.  
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Der Schieberegler ist auf b = 0 eingestellt.<br>
 
1. Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.
 
1. Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.
  
 
2. Stelle nun den Schieberegler auf b = 1. <br>
 
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Was passiert mit dem Graphen von g und mit der Asymptote?<br>
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Beschreibe was mit dem Graphen von g und mit der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst. <br>
 
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.
 
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Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander. <br>
 
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3. Stelle nun den Schieberegler auf b = -2. <br>
 
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{{Lösung versteckt|1=1. Die Funktionsgleichung ist <math>g(x) = \frac{1}{x}</math> und die Gleichung der Asymptote <math> x = 0</math> .
 
{{Lösung versteckt|1=1. Die Funktionsgleichung ist <math>g(x) = \frac{1}{x}</math> und die Gleichung der Asymptote <math> x = 0</math> .
  
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2. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um b=1 in positive x-Richtung verschoben. <br>
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2. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um 1 in positive x-Richtung verschoben. <br>
 
Ebenso wird die Asymptote um 1 in positive x-Richtung verschoben.<br>
 
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Die Funktionsgleichung ist <math>g(x) = \frac{1}{x-1}</math> und die Gleichung der Asymptote <math> x = 1</math> .
 
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Ebenso wird die Asymptote um 2 in negative x-Richtung verschoben.<br>
 
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Die Funktionsgleichung ist <math>g(x) = \frac{1}{x-(-2)}=\frac{1}{x+2}</math> und die Gleichung der Asymptote <math> x = -2</math> .
 
Die Funktionsgleichung ist <math>g(x) = \frac{1}{x-(-2)}=\frac{1}{x+2}</math> und die Gleichung der Asymptote <math> x = -2</math> .
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4. Der Graph von f wird um b in x-Richtung verschoben. Ist b > 0, dann erfolgt die Verschiebung von f um b in positive x-Richtung, ist b < 0, erfolgt die Verschiebung um |b|, den Betrag von v, in negative x-Richtung. <br>
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Ebenso wird die Asymptote verschoben.  }}
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{{Merksatz|MERK=Den Graphen der Funktion <math>g</math> mit <math>g(x) = \frac{1}{x-b}</math> erhältst du aus dem Graphen der  von <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> indem du den Graphen von <math>f</math> um b in Richtung der x-Achse verschiebst.<br>
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Dabei wird die senkrechte Asymptote <math>x = 0</math> ebenso um b in Richtung der x-Achse verschoben und die senkrechte Asymptote von <math>g</math> mit <math>g(x) = \frac{1}{x-b}</math> ist <math>x = b</math>.
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Dabei erfolgt die Verschiebung in Richtung der x-Achse<br>
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wenn b positiv (b>0) ist in positive x-Richtung und <br>
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Version vom 18. Juni 2020, 08:20 Uhr

Auf dieser Seite soll der Zusammenhang zwischen dem Graphen und dem Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion näher untersucht werden. Dabei geht es um zwei Fragestellungen:
1. Wie finde ich aus einem gegebenen Graphen den passenden Funktionsterm.
2. Wie kann man "leicht" aus einem gegebenen Funktionsterm den Graphen angeben.

Zur Beantwortung sind die folgenden Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen hilfreich.
Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die indirekte Proportionalität f: x \rightarrow \frac{1}{x} . Die Funktion ist für x \in Q\setminus \left \{ 0 \right \} definiert. Die Funktionsgleichung ist y = \frac{1}{x} und der Funktionsgraph

1-x-.jpg


Inhaltsverzeichnis

Definitionslücke - senkrechte Asymptote

Die Funktion g: x \rightarrow \frac{1}{x-b} ist für x = b nicht definiert, da wenn man b für x einsetzt im Nenner Null steht. Das ist nicht zulässig! Also ist D=Q\setminus \left \{ b \right \}. An der Stelle x = b hat die Funktion g eine Definitionslücke. Der Graph eine senkrechte Asymptote. x = b ist eine Polstelle des Graphen.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit f(x) = \frac{1}{x} ( grün) und der Graph der Funktion g mit g(x) = \frac{1}{x-b} ( rot) eingezeichnet. Desweiteren ist die senkrechte Asymptote x = b ( blau) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern.


Der Schieberegler ist auf b = 0 eingestellt.
1. Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

2. Stelle nun den Schieberegler auf b = 1.
Beschreibe was mit dem Graphen von g und mit der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
3. Stelle nun den Schieberegler auf b = -2.
Beschreibe wieder was mit dem Graphen von g und der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
4. Betätige nun den Schieberegler für b beliebig und beobachte was mit dem Graphen von g und der Asymptote bezüglich des Graphen von f passiert. Beschreibe deine Beobachtungen.

b


Maehnrot.jpg
Merke:

Den Graphen der Funktion g mit g(x) = \frac{1}{x-b} erhältst du aus dem Graphen der von f mit f(x) = \frac{1}{x} indem du den Graphen von f um b in Richtung der x-Achse verschiebst.
Dabei wird die senkrechte Asymptote x = 0 ebenso um b in Richtung der x-Achse verschoben und die senkrechte Asymptote von g mit g(x) = \frac{1}{x-b} ist x = b.

Dabei erfolgt die Verschiebung in Richtung der x-Achse
wenn b positiv (b>0) ist in positive x-Richtung und
wenn b negativ (b<0) ist in negative x-Richtung.

Vorzeichenwechsel

Spiegelung an der x-Achse

Streckung und Stauchung

waagrechte Asymptote

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