M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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<math> 2x^2 + 4 = 3x^2 -6</math> <br> | <math> 2x^2 + 4 = 3x^2 -6</math> <br> | ||
<math>10=x^2</math>, also L={<math>-\sqrt {10}, \sqrt {10} </math>}<br> | <math>10=x^2</math>, also L={<math>-\sqrt {10}, \sqrt {10} </math>}<br> | ||
| − | c) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x²-1=(x-1)(x+1)!) HN = <math>x^2-1<br> | + | c) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x²-1=(x-1)(x+1)!) HN = <math>x^2-1</math><br> |
x(x+1)-(15-x)=0 --> x² +2x -15 = 0 --> x<sub>1</sub>=-5; x<sub>2</sub>=3 }} | x(x+1)-(15-x)=0 --> x² +2x -15 = 0 --> x<sub>1</sub>=-5; x<sub>2</sub>=3 }} | ||
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| + | {{Aufgaben-blau|3|2=Knobelaufgabe S. 76 / 9<br> | ||
| + | Dreiecksaufgabe S. 76 / 11 <br> | ||
| + | Busfahrt S. 77 / 14 | ||
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| + | {{Lösung versteckt|1=76/9a) Die zugehörige Gleichung ist <math>x = x^2-1</math> mit der positven Lösung <math>x_1=\frac{1+\sqrt 5}{2}</math>.<br> | ||
| + | b) Die zugehörige Gleichung ist <math>x = \frac {1}{x} +1</math> mit den Lösungen <math>x_1=\frac{1-\sqrt 5}{2}, x_2=\frac{1+\sqrt 5}{2}</math> | ||
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| + | 76/11 Mache dir zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks (Hypotenuse c unten, Katheten rechts und links, z.b. die rechte Kathete länger, dann ist die längere Kathete b, die kürzere a) Es ist dann a = b-7, c = b+1 und mit dem Satz von Pythagoras erhält man <math>(c+1)^2=b^2+(b-7)^2</math>. Nun löst man die Klammern auf und fasst zusammen. Es ergibt sich die quadratische Gleichung <math>b^2-16b+48=0</math>, welche die Lösungen <math>b_1=4, b_2=12</math>. Wegen a = b-7 ist b<sub>1</sub>=4 keine Lösung, also hat das Dreieck die Seitenlängen a = 5, b = 12, c = 13. <br> | ||
| + | (Übrigens ist (5;12;13) ein pythagroräisches Zahlentripfel!)<br> | ||
| + | <math>u_{Dreieck}=5+12+13=30</math>, <math>A_{Dreieck}=\frac{1}{2}4\cdot 12=30</math><br> | ||
| + | Der Umkreis hat den Radius <math>r=\frac {c}{2}=6,5</math> (Thaleskreis!), also ist <math>A_{Kreis}=6,5^2 \pi\approx 132,73</math><br> | ||
| + | Es ist <math>\frac{A_{Dreieck}}{A_{Kreis}}=\frac{30}{132,73}=0,226=22,6%</math> | ||
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| + | 77/14 Für den vollen Bus sind n Mitfahrer eingeplant. Jeder Mitfahrer zahlt dann für die Busfahrt <math>x=\frac{450}{n}</math>.<br> | ||
| + | Da nun 5 Personen weniger mitfahren, es ist also die Anzahl der Mitfahrer n - 5. Und jeder Mitfahrer zahlt nun x + 1. <br> | ||
| + | Man hat nun die Gleichung <math>450 = (n-5)(x+1)</math>. Diese Gleichung hat nun zwei Unbekannte n und x. Wir kennen aber einen Zusammenhang zwischen n und x, nämlich <math>x=\frac{450}{n}</math> oder <math>n=\frac{450}{x}</math>. Setzt man die letzte Gleichung für n in die Gleichung <math>450 = (n-5)(x+1)</math> ein, so erhält man <math>450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)</math>. | ||
| + | Die Gleichung <math>450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1)</math> kann man in eine quadratische Gleichung umwandeln, indem man sie mit <math>x</math> multipliziert (und dabei auf der rechten Seite die erste Klammer als <math>\frac{450-5x}{x}</math> schreibt, dann fällt nämlich beim Multiplizieren mit x der Nenner weg.)<br> | ||
| + | <math>450x=(450-5x)(x+1)</math> <br> | ||
| + | <math>450x=450x+450-5x^2-5x</math><br> | ||
| + | <math>0=450-5x^2-5x |\cdot -\frac{1}{5}</math><br> | ||
| + | <math>x^2+x-90=0</math> mit den zwei Lösungen <math>x_1=-10, x_2=9</math>. <br> | ||
| + | Also war ursprünglich geplant, dass 50 Mitfahrer jeweils 9€ zahlen. Nun sind es 45 Mitfahrer und jeder zahlt 10€. }} | ||
Version vom 23. Januar 2021, 16:51 Uhr
Bruchgleichungen
Bei den Bruchgleichungen der 8. Klasse hast du schon Gleichungen wie 
gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie 
mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies?
Wenn du die Bruchgleilchung mit dem Produkt der Nenner (x2-x)(x2-1) multiplizierst, dann erhältst du:
und gekürzt:
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: 
--> 
--> 
das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.
hat die Lösungen 
. Allerdings ist 
nicht in der Definitionsmenge, also ist L={-6}.
Man verwendet den neben der Aufgabe stehende Tipp. Man multipliziert die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner.
a) D=R\{-1;1}, HN=(n-1)(n+1)
n+1 + n-1 = n², also n²-2n=0, n1=0, n2=2
b) D=R\{
}, HN = (x+
)(x-)
, also L={
}
c) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x²-1=(x-1)(x+1)!) HN = 
Anwendungsaufgaben
76/9a) Die zugehörige Gleichung ist 
mit der positven Lösung 
.
b) Die zugehörige Gleichung ist 
mit den Lösungen 
76/11 Mache dir zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks (Hypotenuse c unten, Katheten rechts und links, z.b. die rechte Kathete länger, dann ist die längere Kathete b, die kürzere a) Es ist dann a = b-7, c = b+1 und mit dem Satz von Pythagoras erhält man 
. Nun löst man die Klammern auf und fasst zusammen. Es ergibt sich die quadratische Gleichung 
, welche die Lösungen 
. Wegen a = b-7 ist b1=4 keine Lösung, also hat das Dreieck die Seitenlängen a = 5, b = 12, c = 13.
(Übrigens ist (5;12;13) ein pythagroräisches Zahlentripfel!)
, 
Der Umkreis hat den Radius 
(Thaleskreis!), also ist 
Es ist 
77/14 Für den vollen Bus sind n Mitfahrer eingeplant. Jeder Mitfahrer zahlt dann für die Busfahrt 
.
Da nun 5 Personen weniger mitfahren, es ist also die Anzahl der Mitfahrer n - 5. Und jeder Mitfahrer zahlt nun x + 1.
Man hat nun die Gleichung 
. Diese Gleichung hat nun zwei Unbekannte n und x. Wir kennen aber einen Zusammenhang zwischen n und x, nämlich oder 
. Setzt man die letzte Gleichung für n in die Gleichung ein, so erhält man 
.
Die Gleichung kann man in eine quadratische Gleichung umwandeln, indem man sie mit 
multipliziert (und dabei auf der rechten Seite die erste Klammer als 
schreibt, dann fällt nämlich beim Multiplizieren mit x der Nenner weg.)
mit den zwei Lösungen 
.
