M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Bei den [http://rsg.zum.de/wiki/M8_Bruchgleichungen Bruchgleichungen der 8. Klasse] hast du schon Gleichungen wie <math>\frac{x}{x+1}=x</math> gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie <math>\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}</math> mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies? <br> | Bei den [http://rsg.zum.de/wiki/M8_Bruchgleichungen Bruchgleichungen der 8. Klasse] hast du schon Gleichungen wie <math>\frac{x}{x+1}=x</math> gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie <math>\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}</math> mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies? <br> | ||
Wenn du die Bruchgleilchung <math>\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}</math> mit dem Produkt der Nenner (x<sup>2</sup>-x)(x<sup>2</sup>-1) multiplizierst, dann erhältst du:<br> | Wenn du die Bruchgleilchung <math>\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}</math> mit dem Produkt der Nenner (x<sup>2</sup>-x)(x<sup>2</sup>-1) multiplizierst, dann erhältst du:<br> | ||
| − | <math>\frac{6(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-x}=\frac{5(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-1}</math> und gekürzt:<br> | + | <math>\frac{6(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-x}=\frac{5(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-1}</math> und gekürzt ("über Kreuz multiplizieren"):<br> |
<math>6(x^2-1)=5(x^2-x)</math><br> | <math>6(x^2-1)=5(x^2-x)</math><br> | ||
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: <math> 6x^2-6 = 5x^2 -5x</math> --> <math>x^2 - 6 = -5x</math> --> <math>x^2+5x-6=0</math> das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst. | Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: <math> 6x^2-6 = 5x^2 -5x</math> --> <math>x^2 - 6 = -5x</math> --> <math>x^2+5x-6=0</math> das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst. | ||
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{{Lösung versteckt|1=Da unsere Grundmenge R ist, ist D=R\{-1,0,1}; die quadratische Gleichung <math>x^2+5x-6=0</math> hat die Lösungen <math>x_1=-6, x_2=1</math>. Allerdings ist <math>x_2=1</math> nicht in der Definitionsmenge, also ist L={-6}. }} | {{Lösung versteckt|1=Da unsere Grundmenge R ist, ist D=R\{-1,0,1}; die quadratische Gleichung <math>x^2+5x-6=0</math> hat die Lösungen <math>x_1=-6, x_2=1</math>. Allerdings ist <math>x_2=1</math> nicht in der Definitionsmenge, also ist L={-6}. }} | ||
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{{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 76 / 6 }} | {{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 76 / 6 }} | ||
Version vom 23. Januar 2021, 17:54 Uhr
Bruchgleichungen
Bei den Bruchgleichungen der 8. Klasse hast du schon Gleichungen wie 
gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie 
mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies?
Wenn du die Bruchgleilchung mit dem Produkt der Nenner (x2-x)(x2-1) multiplizierst, dann erhältst du:
und gekürzt ("über Kreuz multiplizieren"):
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen: 
--> 
--> 
das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.
. Allerdings ist 
nicht in der Definitionsmenge, also ist L={-6}.
}, HN = (x+
)(x-
, also L={
}
mit der positven Lösung 
.
mit den Lösungen 
. Nun löst man die Klammern auf und fasst zusammen. Es ergibt sich die quadratische Gleichung 
, welche die Lösungen 
. Wegen a = b-7 ist b1=4 keine Lösung, also hat das Dreieck die Seitenlängen a = 5, b = 12, c = 13. 
, 
(Thaleskreis!), also ist 
.
. Diese Gleichung hat nun zwei Unbekannte n und x. Wir kennen aber einen Zusammenhang zwischen n und x, nämlich 
. Setzt man die letzte Gleichung für n in die Gleichung 
.
Die Gleichung 
multipliziert (und dabei auf der rechten Seite die erste Klammer als 
schreibt, dann fällt nämlich beim Multiplizieren mit x der Nenner weg.)
mit den zwei Lösungen 
. 
