M10 Die Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei den Beispielen zum exponentiellen Wachstum war der Term immer von der Form <math>y = b \cdot a^x</math>. Dabei war b der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor. Diese Gleichung beschreibt einen neuen Funktionstyp. Bei diesen Funktionen steht die Variable x im Exponenten, daher heißen diese Funktionen Exponentialfunktionen.  
 
Bei den Beispielen zum exponentiellen Wachstum war der Term immer von der Form <math>y = b \cdot a^x</math>. Dabei war b der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor. Diese Gleichung beschreibt einen neuen Funktionstyp. Bei diesen Funktionen steht die Variable x im Exponenten, daher heißen diese Funktionen Exponentialfunktionen.  
  

Version vom 23. Februar 2021, 14:46 Uhr

Bei den Beispielen zum exponentiellen Wachstum war der Term immer von der Form y = b \cdot a^x. Dabei war b der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor. Diese Gleichung beschreibt einen neuen Funktionstyp. Bei diesen Funktionen steht die Variable x im Exponenten, daher heißen diese Funktionen Exponentialfunktionen.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Funktion f: R \rightarrow R, f(x) = b\cdot a^x (bc ∈ R+\{0}, a ∈ R+) heißt Exponentialfunktion zur Basis a.


30px   Aufgabe 1

Schaue dir den Video an

1. Wieso darf man für die Basis a nur positive reelle Zahlen verwenden?
2. Wie unterscheiden sich die Graphen, wenn a > 1 bzw. a < 1 ist?
3. Welchen Punkt haben alle Graphen der Exponentialfunktionen f:x \rightarrow a^x gemeinsam?
4. Was ist die Funktion f:x \rightarrow 1^x?

Aus den Beispielen kennst du, dass x irgendeine reelle Zahl, also eine negative oder positive Zahl oder 0 sein kann.
Wenn a=0 wäre, was ist dann 0^0 oder 0-1?
00 ist nicht definiert, ebenso wäre 0^{-1}=\frac{1}{0^1}=\frac{1}{0} ein nicht definierter Term.
Wenn a eine negative Zahl wäre, z.B. a = -2, was ist dann a^0,5?
Für a = -2 hätte man den Term (-2)^0,5=\sqrt {-2}, was in den reellen Zahlen nicht möglich ist, dies ist nicht definiert.

2. Wenn a > 1 ist, dann hat man eine monoton steigenden Graphen, wenn a < 1 ist, dann ist der Graph monoton fallend.

3. Alle Graphen haben den Punkt (0;1) gemeinsam.

4. Es ist 1^x=1, daher ist diese Funktion die konstante 1, also die Funktion, die jedem x fir Zahl 1 zuordnet.
30px   Merke

Bei einem Funktionsgraphen geht man bei der Betrachtung immer in x-Richtung von links nach rechts, d.h. die x-Werte nehmen zu, sie werden größer.
Ein Graph ist streng monoton fallend, wenn mit zunehmenden x-Werten, die y-Werte kleiner werden.
Der Graph ist streng monoton steigend, wenn mit zunehmenden x-Werten, die y-Werte größer werden.

Exponentialfunktion 1.jpg

Beim grünen Graphen werden die y-Werte immer größer, wenn die x-Werte auch größer werden, der grüne Graph ist streng monoton steigend,
beim roten Graphen werden die y-Werte immer kleiner, wenn die x-Werte größer werden (man geht von links nach rechts), der rote Graph ist streng monoton fallend.

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