M10 Die Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Bei den Beispielen zum exponentiellen Wachstum war der Term immer von der Form <math>y = b \cdot a^x</math>. Dabei war b der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor. Diese Gleichung beschreibt einen neuen Funktionstyp. Bei diesen Funktionen steht die Variable x im Exponenten, daher heißen diese Funktionen Exponentialfunktionen. | Bei den Beispielen zum exponentiellen Wachstum war der Term immer von der Form <math>y = b \cdot a^x</math>. Dabei war b der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor. Diese Gleichung beschreibt einen neuen Funktionstyp. Bei diesen Funktionen steht die Variable x im Exponenten, daher heißen diese Funktionen Exponentialfunktionen. | ||
| − | {{Merksatz|MERK=Die Funktion <math>f: R \rightarrow R, f(x) = b\cdot a^x</math> (bc ∈ R+\{0}, a ∈ R<sup>+</sup>) heißt '''Exponentialfunktion zur Basis a'''. | + | {{Merksatz|MERK=Die Funktion <math>f: R \rightarrow R, f(x) = b\cdot a^x</math> (bc ∈ R+\{0}, a ∈ R<sup>+</sup>) heißt '''Exponentialfunktion zur Basis a'''. |
| + | <center>[[Datei:Exponentialfunktion 1.jpg|350px]]</center> | ||
| + | Der Graph ist eine Exponentialkurve. }} | ||
{{Aufgaben-blau|1|2=Schaue dir den Video an | {{Aufgaben-blau|1|2=Schaue dir den Video an | ||
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{{Aufgaben-blau|2|2=Im folgenden Applet kannst du den Wert der Basis mit dem Schieberegler variieren. | {{Aufgaben-blau|2|2=Im folgenden Applet kannst du den Wert der Basis mit dem Schieberegler variieren. | ||
<center><ggb_applet height="400" width="600" filename="Exponentialfunktion_2.ggb" /></center> | <center><ggb_applet height="400" width="600" filename="Exponentialfunktion_2.ggb" /></center> | ||
| − | + | Für welche Werte der Basis a der Exponentialfunktion <math>f:x \rightarrow a^x</math> ist der Graph strent monoton fallend bzw. streng monoton steigend? }} | |
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| + | {{Lösung versteckt|1=Für 0 < a < 1 ist der Graph streng monoton fallend, für 1 < a ist er streng monton steigend. }} | ||
<center>{{#ev:youtube |z86vsP3KaCY|350}}</center> | <center>{{#ev:youtube |z86vsP3KaCY|350}}</center> | ||
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o) <math>... = \left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right )^{-1} = \left ( \frac{3}{4} \right ) ^{-1} = \frac{4}{3}</math><br> | o) <math>... = \left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right )^{-1} = \left ( \frac{3}{4} \right ) ^{-1} = \frac{4}{3}</math><br> | ||
p) <math>... = \left ( \sqrt 2 + \frac{1}{\sqrt 2} \right )^2 = \left ( \frac{2 + \sqrt 2}{2} \right )^2=\frac{4+4\sqrt 2 + 2}{4}=1,5 + \sqrt 2</math> }} | p) <math>... = \left ( \sqrt 2 + \frac{1}{\sqrt 2} \right )^2 = \left ( \frac{2 + \sqrt 2}{2} \right )^2=\frac{4+4\sqrt 2 + 2}{4}=1,5 + \sqrt 2</math> }} | ||
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| + | {{Aufgaben-blau|4|2=Buch S. 94 / 3 }} | ||
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| + | {{Lösung versteckt|1=a) [[Datei:94-3a.jpg]] | ||
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| + | b) [[Datei:94-3b.jpg]] | ||
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| + | c) Die Funktionswerte f(x) werden, wenn man nach links geht immer kleiner und nähern sich 0 an. Wenn man nach rechts geht, werden die Funktionswerte f(x) immer größer. <br> | ||
| + | Wenn man nach links geht, erhält man den nächsten Funktionswert f(x-1), indem man den Funktionswert f(x) durch 2 dividiert.<br> | ||
| + | Wenn man nach rechts geht, erhält man den nächsten Funktionswert f(x+1), indem man den Funktionswert f(x) mit 2 multipliziert. | ||
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| + | d) [[Datei:94-3d.jpg]] | ||
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| + | e) [[Datei:94-3e.jpg]] }} | ||
Version vom 26. Februar 2021, 09:32 Uhr
Bei den Beispielen zum exponentiellen Wachstum war der Term immer von der Form 
. Dabei war b der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor. Diese Gleichung beschreibt einen neuen Funktionstyp. Bei diesen Funktionen steht die Variable x im Exponenten, daher heißen diese Funktionen Exponentialfunktionen.
 Merke:
Die Funktion  Der Graph ist eine Exponentialkurve. |
(bc ∈ R+\{0}, a ∈ R+) heißt Exponentialfunktion zur Basis a.
gemeinsam?
?
Aus den Beispielen kennst du, dass x irgendeine reelle Zahl, also eine negative oder positive Zahl oder 0 sein kann.
Wenn a=0 wäre, was ist dann 0^0 oder 0-1?
00 ist nicht definiert, ebenso wäre 
ein nicht definierter Term.
Wenn a eine negative Zahl wäre, z.B. a = -2, was ist dann 
?
Für a = -2 hätte man den Term 
, was in den reellen Zahlen nicht möglich ist, dies ist nicht definiert.
2. Wenn a > 1 ist, dann hat man eine monoton steigenden Graphen, wenn a < 1 ist, dann ist der Graph monoton fallend.
3. Alle Graphen haben den Punkt (0;1) gemeinsam.
4. Es ist
, daher ist diese Funktion die konstante 1, also die Funktion, die jedem x fir Zahl 1 zuordnet. Merke
Bei einem Funktionsgraphen geht man bei der Betrachtung immer in x-Richtung von links nach rechts, d.h. die x-Werte nehmen zu, sie werden größer. Beim grünen Graphen werden die y-Werte immer größer, wenn die x-Werte auch größer werden, der grüne Graph ist streng monoton steigend, |
a) 
b) ![25^{\frac{1}{2}=\sqrt 25 = 5; 25^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{5}=0,2; 9^\frac{3}{2}}=27; 0,125^{\frac{1}{3}}=0,5; 0,125^{-\frac{2}{3}}=4; 4^{0,5}=\sqrt 4 = 2; 32^{0,2}=32^{\frac{1}{5}}=\sqrt [5] {32}=2;](/images/math/5/6/a/56a56ca2578682fa8ab489e8b619eff5.png)
c) Ein Bruch als Exponent ist z.B. 
. Dies bedeutet, dass man aus der Basis die Wurzel zieht. Unter der Wurzel darf aber keine negative Zahl stehen, also darf die Basis nicht negativ sein. Die Basis ist deshalb positiv oder 0.
d) ... = 4
e) 
f) ... = 0,25-0,5 = 0,5-1 = 2
g) 
h) ... = 50 = 1
i) ... 32-0,4 = 
k) 
l) 
m) 
n) ... = (9 - 4)-2 = 5-2 = 0,04
o) 
a) 
b) 
c) Die Funktionswerte f(x) werden, wenn man nach links geht immer kleiner und nähern sich 0 an. Wenn man nach rechts geht, werden die Funktionswerte f(x) immer größer.
Wenn man nach links geht, erhält man den nächsten Funktionswert f(x-1), indem man den Funktionswert f(x) durch 2 dividiert.
Wenn man nach rechts geht, erhält man den nächsten Funktionswert f(x+1), indem man den Funktionswert f(x) mit 2 multipliziert.
d) 
