M9 Potenzen mit rationalen Exponenten: Unterschied zwischen den Versionen
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Am Beispiel <math>81^{\frac{3}{4}}</math> sieht man, dass oft der zweite Weg der günstigere ist:<br> | Am Beispiel <math>81^{\frac{3}{4}}</math> sieht man, dass oft der zweite Weg der günstigere ist:<br> | ||
1. <math>81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{531441} = 27</math> Hier hilft nur noch der Taschenrechner, das ist im Kopf nicht machbar!<br> | 1. <math>81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{531441} = 27</math> Hier hilft nur noch der Taschenrechner, das ist im Kopf nicht machbar!<br> | ||
− | 2. <math>81^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27</math> Hier blieben die Zahlen klein und | + | 2. <math>81^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27</math> Hier blieben die Zahlen klein und überschaubar. |
Version vom 16. März 2021, 10:10 Uhr
Merke:
Für die allgemeine Wurzel kann man auch eine Potenz schreiben. Es ist für a , n N \ {1} Weiter ist Insbesondere ist |
Beispiele:
Für hat man zwei mögliche Wurzelschreibweisen: |
|
Sind r und s rationale Zahlen, dann schreibt es sich einfacher
|
Beispiele:
Vereinfache so weit als möglich:
Radiziere so weit als möglich (teilweises Radizieren)
Noch ein paar Tipps bevor es ans Rechnen geht! Wenn ein Minuszeichen im Exponenten steht, dann beachte, dass ist. Bei der Einführung der rationalen Exponenten ist . Hier sieht man, dass der Nenner n des Exponenten für die Wurzel zuständig ist und der Zähler m potenziert. Am Beispiel sieht man, dass oft der zweite Weg der günstigere ist:
|
a) )
b) Es ist oft sinnvoll zuerst die Wurzel zu ziehen (Nenner) und dann zu Potenzieren (Zähler).
c) Auch hier zuerst (mit den Nenner) radizieren und dann (mit dem Zähler) potenzieren.
d)
116/2 a)
b)
c)
116/3 a)
b)
c) - Die Basis soll eine natürliche Zahl sein!
d)
e)
a) . Damit ist
b) . Damit ist
c) Damit ist
d) . Damit ist
e) . Damit ist
a) ;
... =
... =
b)
... =
... =
c)
... =
... =
... = - in der Klammer steht eine Wurzel und Wurzelziehen und Quadrieren heben sich auf!
d)
e)
... =
... =
... =
f) ... =
... =
... =
... = - es ist stets
g)
... =
... =