M9 Aufgaben zur Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>c_2=\overline {BF}=\frac{c}{2}</math><br> | <math>c_2=\overline {BF}=\frac{c}{2}</math><br> | ||
<math>cos(\beta)=\frac{c_2}{a} \rightarrow c_2=a\cdot cos(\beta)=5cm \cdot cos(47^o)=3,4cm</math> ---> <math>c = 6,8cm</math><br> | <math>cos(\beta)=\frac{c_2}{a} \rightarrow c_2=a\cdot cos(\beta)=5cm \cdot cos(47^o)=3,4cm</math> ---> <math>c = 6,8cm</math><br> | ||
− | <math>sin(\beta)=\frac{h}a} \rightarrow h = a\ | + | <math>sin(\beta)=\frac{h}{a} \rightarrow h = a\cdot sin(\beta)=5cm \cdot sin(47^o)=3,7cm</math>.<br> |
<math>A=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 6,8cm \cdot 3,7cm = 12,6cm^2</math>. | <math>A=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 6,8cm \cdot 3,7cm = 12,6cm^2</math>. | ||
− | }} | + | d) Das Dreieck ist gleichschenklig, also ist dann a = b = 6cm und <math>\alpha = \beta = 60^o</math><br> |
+ | Wenn die zwei Basiswinkel jeweils 60<sup>o</sup> sind, dann ist auch <math>\gamma = 60^o</math>. Also ist das Dreieck sogar gleichseitig und c = 6cm. <br> | ||
+ | Der Flächeninhalt ist <math>A = \frac{1}{2}gh</math> mit <math>g = c = 6cm</math> und <math>h=\frac{c}{2}\sqrt 3=3\sqrt 3 cm</math>. Also ist <math>A=\frac{1}{2}\cdot 6cm \cdot 3\sqrt 3cm=9\sqrt 3cm^2 \approx 15,6 cm^2</math>. }} | ||
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+ | Buch s. 132 / 6 | ||
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+ | {{Lösung versteckt|1=a) Der Winkel ist als FOU ist 180<sup>o</sup> - 60<sup>o</sup> = 120<sup>o</sup> (F-Winkel).<br> | ||
+ | Damit kennt man alle Winkel und Seitenlänges des Parallelogramms. <br> | ||
+ | Die Höhe h des Parallelogramms ist <math>h = 4cm \cdot sin(60^o)= 4cm \cdot\frac{1}{2}\sqrt 3= 2\sqrt 3 cm\approx 3,46cm</math>. <br> | ||
+ | Der Flächeninhalt A ist <math>A = 6cm \cdot 2\sqrt 3cm = 12 \sqrt 3 cm^2 \approx 20,8cm^2</math> | ||
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+ | b) Der Innenwinkel bei P ist 130<sup>o</sup> und bei A ist 110<sup>o</sup><br> | ||
+ | Die Höhe h des Trapezes ist <math>h = 4 cm \cdot sin(50^o) = 3,1cm</math>. <br> | ||
+ | Für den Flächeninhalt A benötigt man noch die Länge von c. Dazu macht man ein paar Hilfslinien in die Zeichnung.<br> | ||
+ | [[Datei:132-6b.jpg]]<br> | ||
+ | Es ist <math>cos(50^o) = \frac{a1}{4cm} \rightarrow a1=4cm\cdot cos(50^o) \approx 2,6cm</math><br> | ||
+ | <math>tan(70^o)=\frac{h}{a2} \rightarrow a2 =\frac{h}{tan(70^o)} =\frac{4cm sin(50^o)}{tan(70^o)} \approx 1,1cm</math><br> | ||
+ | Dann ist <math>c = a - a1-a2=6,5 cm - 2,6cm - 1,1cm = 2,8cm</math><br> | ||
+ | Der Flächeninhalt A ist <math>A=\frac{a+c}{2}\cdot h = \frac{6,5cm + 2,8cm }{2}\cdot 3,1cm = 14,4cm^2</math>.<br> | ||
+ | Für die Umfangslänge braucht man noch die Länge der Seite [RA]. Es ist <math>\overline {RA}=\sqrt{a2^2+h^2}=\sqrt{(1.1cm)^2+(3,1cm)^2}=3,3cm</math><br> | ||
+ | Die Umfangslänge u ist <math>u = 6,5 cm + 3,3cm + 2,8cm + 4cm = 16,6cm</math>. }} |
Version vom 19. April 2021, 14:41 Uhr
Sinus, Kosinus und Tangens kannst du nur in rechtwinkligen Dreiecken verwenden. Also suche dir bei den Aufgaben passende rechtwinklige Dreiecke, bei denen 2 Größen gegeben sind und rechne dann mit einer dieser Gleichungen
die Unbekannte aus. |
Buch S. 129 / 10
Das Dreieck SOA ist rechtwinklig. Zum Winkel kennt man die Gegenkathete 12m und die Ankathete 45m. Also erhält man mit
den Winkel
.
Nun kennt man im rechtwinkligen Dreieck SOB den Winkel und seine Ankathete 45m. Die Gegenkathete ist 12m + x. In dem Dreieck SOB ist also
.
![x = 45m\cdot \tan(57^o) -12m=45,3m](/images/math/5/4/d/54ddee967f68e938bccfa4ee822b7d9e.png)
Buch S. 129 / 11
a)
Das gezeichnete Dreieck ist bei 100 rechtwinklig. Gesucht ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden. Die Gegenkathete des Winkels ist im Bild 10. Also hat man für den Winkel An- und Gegenkathete. Damit ist und
b) und
c) und
![tan(\delta)=\frac{12}{100}=0,12](/images/math/9/a/2/9a208b446b19531e3be7704653296c4f.png)
![\alpha = 6,8^o](/images/math/a/b/e/abe770fb05686368fbaae20962bd3324.png)
Buch S. 129 / 13
a) Angaben: Es ist .
Setzt man für a und c die Terme aus den ersten beiden Gleichungen in die dritte Gleichung ein, so erhält man und
.
a = 40cm, b = 10cm, c = 25cm
und
b) Die Länge der Flächendiagonale [AC] erhält man mit dem Satz von Pythagoras
Die Länge der Raumdiagonale [AG] erhält man als Folge des Satzes von Pythagoras
In dem rechtwinkligen Dreieck ACG ist und
Den Winkel hätte man auch mit Sinus oder Tangens berechnen können.
Es ist und
![tan(\alpha)=\frac{25cm}{10\sqrt{17}cm}\approx 0,606](/images/math/9/5/d/95daa735a8c3d2a72313afb25ad94e55.png)
![\alpha= 31,2^o](/images/math/b/7/1/b710370757269a91e150c1f99eafdcb1.png)
Buch S. 132 / 4a
Gegeben sind die Länge der Hypotenuse c und die Größe des Winkels .
Dazu macht man sich zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks ABC und markiert die gegebenen Stücke rot.
Über die Winkelsumme kann man gleich bestimmen.
Mit erhält man
.
Mit erhält man
Zum Test kann man ja prüfen, ob der Satz von Pythagoras stimmt!
Den Flächeninhalt A erhält man mit .
![r = \frac{1}{2}c = 3cm](/images/math/e/d/a/edab04b4d267ad22a1f8a27081adc665.png)
![A_{Umkreis} = r^2\pi=9\pi cm^2\approx 28,3cm^2](/images/math/b/b/7/bb7d5f11b3282db24a8e0f497022db0a.png)
Buch S. 132 / 5
Das gegebene Dreieck ABC ist nicht rechtwinklig!
Tipp: Zeichnet man von C die Höhe auf c ein, dann hat man 2 rechtwinklige Dreiecke,AFC und
BFC. Mache eine Skizze und trage die gegebenen Stücke jeweils farbig ein!
a) Im Dreieck AFC ist gegeben: und die Ankathete
von
. Es ist
Den Winkel erhält man über die Winkelsumme,
.
Die Seite b ist die Hypotenuse im Dreieck AFC. Dann ist . Diese Gleichung löst man nach b auf. Es ist
.
Für den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC braucht man die Höhe h zur Seite c.
Es ist im Dreieck AFC:
Dann ist
b) Im Dreieck AFC ist b die Hyptenuse, b = 80cm, und der Winkel bei C.
Damit ist ,
c) Gegeben sind im Dreieck BFC die Hypotenuse a = 5,0cm und
--->
.
.
d) Das Dreieck ist gleichschenklig, also ist dann a = b = 6cm und
Wenn die zwei Basiswinkel jeweils 60o sind, dann ist auch . Also ist das Dreieck sogar gleichseitig und c = 6cm.
![A = \frac{1}{2}gh](/images/math/2/d/4/2d42074f61319531e42f626ca66a96e6.png)
![g = c = 6cm](/images/math/2/2/9/2298ead06cd26fc7c00cf911abb21512.png)
![h=\frac{c}{2}\sqrt 3=3\sqrt 3 cm](/images/math/5/6/3/56316139323e91c842b8578a8c9288c3.png)
![A=\frac{1}{2}\cdot 6cm \cdot 3\sqrt 3cm=9\sqrt 3cm^2 \approx 15,6 cm^2](/images/math/2/4/4/24411130cf96f5e0d8bc3ae6fb88babd.png)
Buch s. 132 / 6
a) Der Winkel ist als FOU ist 180o - 60o = 120o (F-Winkel).
Damit kennt man alle Winkel und Seitenlänges des Parallelogramms.
Die Höhe h des Parallelogramms ist .
Der Flächeninhalt A ist
b) Der Innenwinkel bei P ist 130o und bei A ist 110o
Die Höhe h des Trapezes ist .
Für den Flächeninhalt A benötigt man noch die Länge von c. Dazu macht man ein paar Hilfslinien in die Zeichnung.
Es ist
Dann ist
Der Flächeninhalt A ist .
Für die Umfangslänge braucht man noch die Länge der Seite [RA]. Es ist
![u = 6,5 cm + 3,3cm + 2,8cm + 4cm = 16,6cm](/images/math/4/b/6/4b61bba32efcf0e4f709552a380a9e64.png)