M9 Aufgaben zur Trigonometrie: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. April 2021, 09:39 Uhr

Ordne richtig zu

$sin(45^o)$	$cos(45^o)$
$sin(85^o)$	$cos(5^o)$
$cos(20^o)$	$sin(80^o)$
$cos(60^o)$	$sin(30^o)$
$cos(75^o) - sin(15^o)$	0
$sin(30^o)$	0,5
$sin(0^o) + sin(90^o)$	$tan(45^o)$

Aufgabe 1

Im Einheitkreis (Kreis um den Ursprung mit Radius r = 1) ist das Dreieck ABC eingezeichnet.

1. Welche Länge hat die Hypotenuse c?
2. Bestimme $sin(\alpha), cos(\alpha)$ .
3. Stelle die Gleichung zum Satz des Pythagoras auf. Verwende die Ergebnisse von 1. und 2. Welche Beziehung zwischen $sin(\alpha)$ und $cos(\alpha)$ erhältst du?

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1. Es ist c = 1, da c ein Radius ist.
2. $sin(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{a}{1}=a$
$cos(\alpha)=\frac{b}{c}=\frac{b}{1}=b$
3. $a^2 + b^2 = c^2$

Mit den Ergebnissen aus 1. und 2. erhält man $(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$

Merke:

$(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$

Aufgabe 2

1. Löse $(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$ nach $sin(\alpha)$ bzw. $cos(\alpha)$ auf.

2. Berechne ohne Ermittlung des Winkels $\varphi$ für
a) $sin(\varphi)= 0,25$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$ .
b) $cos(\varphi)= 0,5$ die Werte von $sin(\varphi), tan(\varphi)$ .
c) $tan(\varphi)= 1$ die Werte von $sin(\varphi), cos(\varphi)$ .
d) $sin(\varphi)= 0,11$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$ .
e) $cos(\varphi)= 0,72$ die Werte von $sin(\varphi), tan(\varphi)$ .
f) $sin(\varphi)= 0,5$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$ .

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. $sin(\alpha)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}$ , $cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}$
2. a) $cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}=\sqrt {1-(0,25)^2}=0968$
$tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,25}{0,968}=0,258$

b) $sin(\varphi)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}=\sqrt {1-0,5^2}=0,866$
$tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,866}{0,5}=1,732$

c) $tan(\varphi)= 1$ bedeutet $\varphi = 445^o$ und $sin(45^o)=cos(45^o)= \frac{1}{2}\sqrt 2$

d) $cos(\varphi)=0,994, tan(\varphi)=0111$

e) $sin(\varphi)=0,694, tan(\varphi)=0,964$

f) $cos(\varphi)=0,866, tan(\varphi)=0577$

Aufgabe 3

Buch S. 138 / 3 a - e

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Im Dreieck sind An- und Gegenkathete zum Winkel $\beta$ . Also $tan(\beta)=\frac{2cm}{6cm}=\frac{1}{3}$ ergibt $\beta = 18,4^o$ .

b) Zum Winkel 25^o ist die Hypotenuse gegeben. Gesucht ist seine Gegenkathete. Also $sin(25^o)=\frac{x}{7cm} \rightarrow x = 7cm \cdot sin(25^)=3,0cm$ .

c) Im Dreieck sind Ankathete und Hypotenuse zum Winkel $\gamma$ . Also $cos(\gamma)=\frac{4cm}{10cm}=0,4$ ergibt $\gamma = 66,4^o$ .

d) Hier hat man zwei rechtwinklige Dreiecke. Eines mit den Seiten z₁, y und 12cm, das andere mit den Seiten z₂, x und 12cm.

Im ersten Dreieck (mit den Seiten z₁, y und 12cm) ist zum Winkel 60^o die Gegenkathete gegeben. Dann kann man die Hypotenuse y mit dem Sinus berechnen. $sin(60^o)=\frac{12cm}{y} \rightarrow y = \frac{12cm}{sin(60^o)}=\frac{12cm}{\frac{1}{2}\sqrt 3}=\frac{24cm}{\sqrt 3}=8\sqrt 3 cm \approx 13,9cm$
In diesem Dreieck ist auch noch die Ankathete zum 60^o-Winkel gesucht. Hier kann man sich aussuchen, ob man mit cos oder tan rechnen will. $tan(60^o)=\frac{12cm}{z_1} \rightarrow z_1=\frac{12cm}{tan(60^o)}=\frac{12cm}{\sqrt 3}=4\sqrt 3 cm \approx 6,9cm$ oder $cos(60^o)=\frac{z_1}{y} \rightarrow z_1 = y \cdot cos(60^o)=13,9cm\cdot 0,5)=7,0cm$ . Die unterschiedlichen Ergebnisse 6,9 cm und 7,0cm ergeben sich aus den Rundungen, mit denen man weiterrechnet. Wenn man die gnaze Anzeige des Taschenrechners nimmt und mit ihr weiterrechnet, erhält man in beiden Fällen 6,9cm.

Im zweiten Dreieck (mit den Seiten z₂, x und 12cm) geht man ähnlich vor.
$tan(55^o)=\frac{12cm}{z_2} \rightarrow z_2=\frac{12cm}{tan(55^o)}=8,4cm$ ,
$cos(55^o)=\frac{z_2}{x} \rightarrow x = \frac{8,4cm}{cos(55^o)}=14,6cm$

e) Auch hier hat man zwei Dreiecke. Im linken Dreieck ist zum 12^o-Winkel die Ankathete gegeben und die Hypotenuse gesucht. Also $cos(12^o)=\frac{7,2cm}{y} \rightarrow y = \frac{7,2cm}{cos(12^o)} =7,4cm$

Im rechten Dreieck ist die Gegenkathete zum 12^o-Winkel gesucht und die Ankathete gegeben. Also $tan(12^o)=\frac{x}{7,2cm} \rightarrow x = 7,2cm \cdot tan(12^o)=1,5cm$

Da es sich hier um ein Parallelogramm handelt, hätte man x auch mit dem Satz von Pythagoras berechnen können.

Aufgabe 4

Buch S. 138 / 5 a, b

{{Lösung versteckt|1=a) Als Skizze nimmt man das rechte Dreieck. Man sieht, dass man h_b berechnen kann. Es ist $sin(\gamma)=\frac{h_b}{a} \rightarrow h_b=a\cdot sin(\gamma)=4cm \cdot sin(45^o)=4cm \cdot \frac{1}{2}\sqrt 2=2\sqrt 2cm\approx 2,8cm$
Damit ist der Flächeninhalt $A = \frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}\cdot 7cm \cdot 2\sqrt 2cm =7\sqrt 2 cm^2\approx 9,9cm^2$

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 f) <math>cos(\varphi)=0,866, tan(\varphi)=0577</math>  }}
+{{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 138 / 3 a - e }}
+{{Lösung versteckt|1=a) Im Dreieck sind An- und Gegenkathete zum Winkel <math>\beta</math>. Also <math>tan(\beta)=\frac{2cm}{6cm}=\frac{1}{3}</math> ergibt <math>\beta = 18,4^o</math>.
+b) Zum Winkel 25<sup>o</sup> ist die Hypotenuse gegeben. Gesucht ist seine Gegenkathete. Also <math>sin(25^o)=\frac{x}{7cm} \rightarrow x = 7cm \cdot sin(25^)=3,0cm</math>.
+c) Im Dreieck sind Ankathete und Hypotenuse zum Winkel <math>\gamma</math>. Also <math>cos(\gamma)=\frac{4cm}{10cm}=0,4</math> ergibt <math>\gamma = 66,4^o</math>.
+d) Hier hat man zwei rechtwinklige Dreiecke. Eines mit den Seiten z<sub>1</sub>, y und 12cm, das andere mit den Seiten z<sub>2</sub>, x und 12cm.
+Im ersten Dreieck (mit den Seiten z<sub>1</sub>, y und 12cm) ist zum Winkel 60<sup>o</sup> die Gegenkathete gegeben. Dann kann man die Hypotenuse y mit dem Sinus berechnen. <math>sin(60^o)=\frac{12cm}{y} \rightarrow y = \frac{12cm}{sin(60^o)}=\frac{12cm}{\frac{1}{2}\sqrt 3}=\frac{24cm}{\sqrt 3}=8\sqrt 3 cm \approx 13,9cm</math><br>
+In diesem Dreieck ist auch noch die Ankathete zum 60<sup>o</sup>-Winkel gesucht. Hier kann man sich aussuchen, ob man mit cos oder tan rechnen will. <math>tan(60^o)=\frac{12cm}{z_1} \rightarrow z_1=\frac{12cm}{tan(60^o)}=\frac{12cm}{\sqrt 3}=4\sqrt 3 cm \approx 6,9cm</math> oder <math>cos(60^o)=\frac{z_1}{y} \rightarrow z_1 = y \cdot cos(60^o)=13,9cm\cdot 0,5)=7,0cm</math>. Die unterschiedlichen Ergebnisse 6,9 cm und 7,0cm ergeben sich aus den Rundungen, mit denen man weiterrechnet. Wenn man die gnaze Anzeige des Taschenrechners nimmt und mit ihr weiterrechnet, erhält man in beiden Fällen 6,9cm.
+Im zweiten Dreieck (mit den Seiten z<sub>2</sub>, x und 12cm) geht man ähnlich vor.<br>
+<math>tan(55^o)=\frac{12cm}{z_2} \rightarrow z_2=\frac{12cm}{tan(55^o)}=8,4cm</math>, <br>
+<math>cos(55^o)=\frac{z_2}{x} \rightarrow x = \frac{8,4cm}{cos(55^o)}=14,6cm</math>
+e) Auch hier hat man zwei Dreiecke. Im linken Dreieck ist zum 12<sup>o</sup>-Winkel die Ankathete gegeben und die Hypotenuse gesucht. Also <math>cos(12^o)=\frac{7,2cm}{y} \rightarrow y = \frac{7,2cm}{cos(12^o)} =7,4cm</math>
+Im rechten Dreieck ist die Gegenkathete zum 12<sup>o</sup>-Winkel gesucht und die Ankathete gegeben. Also <math>tan(12^o)=\frac{x}{7,2cm} \rightarrow x = 7,2cm \cdot tan(12^o)=1,5cm</math>
+Da es sich hier um ein Parallelogramm handelt, hätte man x auch mit dem Satz von Pythagoras berechnen können. }}
+{{Aufgaben-blau|4|2=Buch S. 138 / 5 a, b }}
+{{Lösung versteckt|1=a) Als Skizze nimmt man das rechte Dreieck. Man sieht, dass man h<sub>b</sub> berechnen kann. Es ist <math>sin(\gamma)=\frac{h_b}{a} \rightarrow h_b=a\cdot sin(\gamma)=4cm \cdot sin(45^o)=4cm \cdot \frac{1}{2}\sqrt 2=2\sqrt 2cm\approx 2,8cm</math> <br>
+Damit ist der Flächeninhalt <math>A = \frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}\cdot 7cm \cdot 2\sqrt 2cm =7\sqrt 2 cm^2\approx 9,9cm^2</math>

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