M10 Symmetrie: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | {{Aufgaben-blau|3|2=Untersuche die Graphen der Funktion f auf Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung. | ||
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+ | a) f(x) = x<sup>4</sup> - x<sup>2</sup> +1<br> | ||
+ | b) f(x) = 24x<sup>8</sup> + 8x<sup>6</sup> - 1234<br> | ||
+ | c) f(x) = 2 + x<br> | ||
+ | d) f(x) = cos(x)<br> | ||
+ | e) f(x) = x<sup>2</sup> cos(x) + 2 <br> | ||
+ | f) f(x) = x<sup>2</sup> + 2x<br> | ||
+ | g) f(x) = sin(x)<br> | ||
+ | h) f(x) = x sin(x)<br> | ||
+ | i) f(x) = x<sup>2</sup> sin(x)<br> | ||
+ | k) f(x) = <math>\frac{x^3 - 2x}{x^2+1}</math><br> | ||
+ | l) f(x) = x<sup>3</sup> + 5x<sup>2</sup><br> }} | ||
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+ | {{Lösung versteckt|1=Man setzt in f(x) wieder -x statt x ein und schaut ob man mit Termumformungen f(x) oder - f(x) erhält. | ||
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+ | a) f(-x) = (-x)<sup>4</sup> - (-x)<sup>2</sup> +1 = x<sup>4</sup> - x<sup>2</sup> +1 = f(x), also ist G<sub>f</sub> achsensymmetrisch zur y-Achse.<br> | ||
+ | b) f(-x) = 24(-x)<sup>8</sup> + 8(-x)<sup>6</sup> - 1234 = 24x<sup>8</sup> + 8x<sup>6</sup> - 1234 = f(x), also ist G<sub>f</sub> achsensymmetrisch zur y-Achse.<br> | ||
+ | c) f(-x) = 2 + (-x) = 2 - x <math>\neq</math> f(x) oder - f(x), also ist G<sub>f</sub> weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.<br> | ||
+ | d) f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x), also ist G<sub>f</sub> achsensymmetrisch zur y-Achse.<br> | ||
+ | e) e) f(-x) = (-x)<sup>2</sup> cos(-x) + 2 = x<sup>2</sup> cos(x) + 2 = f(x), also ist G<sub>f</sub> achsensymmetrisch zur y-Achse.<br> | ||
+ | f) f(-x) = (-x)<sup>2</sup> + 2(-x) = x<sup>2</sup> - 2x <math>\neq</math> f(x) oder - f(x), also ist G<sub>f</sub> weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.<br> | ||
+ | g) f(-x) = sin(-x) = - sin(x) = - f(x), also ist G<sub>f</sub> punktsymmetrisch zum Ursprung.<br> | ||
+ | h) f(-x) = -x sin(-x) = -x [-sin(x)] = x sin(x) = f(x), also ist G<sub>f</sub> achsensymmetrisch zur y-Achse.<br> | ||
+ | i) f(-x) = (-x)<sup>2</sup> sin(-x) = x<sup>2</sup> [-sin(x)] = - x<sup>2</sup> sin(x) = -f(x), also ist G<sub>f</sub> punktsymmetrisch zum Ursprung. <br> | ||
+ | k) f(-x) = <math>\frac{(-x)^3 - 2(-x)}{(-x)^2+1}= \frac{-x^3 + 2x}{x^2+1} = \frac{-[x)^3 - 2x}{x^2+1}=-\frac{x^3 - 2x}{x^2+1}</math> = - f(x), also ist G<sub>f</sub> punktsymmetrisch zum Ursprung. <br> | ||
+ | l) f(-x) = (-x)<sup>3</sup> + 5(-x)<sup>2</sup> = - x<sup>3</sup> + 5x<sup>2</sup> <math>\neq</math> f(x) oder - f(x), also ist G<sub>f</sub> weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.}} | ||
Version vom 22. Juli 2021, 09:12 Uhr
Es gibt zwei verschiedene Arten von Symmetrien zum Koordinatensystem:
Achsensymmetrie zur y-Achse
Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Graph auf der linken Seite der y-Achse ein Spiegelbild der rechten Seite ist. Die y-Achse ist Symmetrieachse des Graphen von f.
Rechnerisch bedeutet dies, dass f(-x)=f(x) ist.
Merke:
Gilt für die Funktion f, dass f(-x) = f(x) ist, dann ist der Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse. |
Punktsymmetrie zum Ursprung
Der Graph einer Funktion f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn man ihn um 180° drehen kann und man wieder den gleichen Graph erhält. Oder macht man zwei Achsenspiegelungen an der x-Achse und an der y-Achse und erhält wieder den Graphen von f.
Rechnerisch bedeutet dies, dass f(-x)= - f(x) ist.
Merke:
Gilt für die Funktion f, dass f(-x) = - f(x) ist, dann ist der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung y-Achse. |
Aufgaben
Ausblick
Achsensymmetrie zu einer anderen Achse und Punktsymmetrie zu einem anderen Punkt wird dir hier erklärt.