Aufgaben zur Lagebeziehung Gerade - Ebene: Unterschied zwischen den Versionen

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a) Damit die Gerade g auf der Ebene E senkrecht steht, muss ihr Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> kollinear zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also ist <math>\vec{u} = k \cdot \vec{n}</math>.
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a) Damit die Gerade g auf der Ebene E senkrecht steht, muss ihr Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> kollinear zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also ist <math>\vec{u} = k \cdot \vec{n}</math>.<br>
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b) Damit die Gerade g echt parallel zur Ebene E verläuft muss ihr Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{u} \circ \vec{n} = 0</math> .<br>
 
b) Damit die Gerade g echt parallel zur Ebene E verläuft muss ihr Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{u} \circ \vec{n} = 0</math> .<br>
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Desweiteren ragt der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E aus der Ebene heraus, die Richtungsvektoren der Ebene und der Verbindungsvektor  <math>\vec{AB}</math> sind nicht komplanar.<br>
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Desweiteren ragt der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E aus der Ebene E heraus, die Richtungsvektoren der Ebene und der Verbindungsvektor  <math>\vec{AB}</math> sind nicht komplanar.<br>
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Da in dieser Aufgabe die Richtungsvektoren der Ebene nicht gegeben sind, sondern es ist der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> vorgegeben, ist dies gleichbedeutend damit, dass der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> und der Normalenvektor <math>\vec{n}</math>  nicht senkrecht zueinander sind.
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Da in dieser Aufgabe die Richtungsvektoren der Ebene nicht gegeben sind, sondern es ist der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> vorgegeben, ist dies gleichbedeutend damit, dass der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> und der Normalenvektor <math>\vec{n}</math>  nicht senkrecht zueinander sind.<br>
  
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c) Auch hier muss wie in b) der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{u} \circ \vec{n} = 0</math> . Damit die Gerade g in der Ebene E liegt, ist nun der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E in der Ebene E, er ist also mit den Richtungsvektoren der Ebene komplanar.<br>
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c) Auch hier muss wie in b) der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{u} \circ \vec{n} = 0</math> . <br>
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Damit die Gerade g in der Ebene E liegt, ist nun der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E in der Ebene E, er ist also mit den Richtungsvektoren der Ebene komplanar.<br>
 
Da aber wiederum der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene vorgegeben ist, ist nun der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math>, also ist hier nun <math>\vec{AB} \circ \vec{n} = 0</math>  .<br>
 
Da aber wiederum der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene vorgegeben ist, ist nun der Verbindungsvektor <math>\vec{AB}</math> senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math>, also ist hier nun <math>\vec{AB} \circ \vec{n} = 0</math>  .<br>
  
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d) Damit die Gerade g die Ebene E schneidet, darf der Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> der Geraden g nicht senkrecht zum Normalenvektor <math>\vec{n}</math> der Ebene E sein, also muss <math>\vec{AB} \circ \vec{n} \neq 0</math> sein. Dies beinhaltet dann auch a)!<br>
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Version vom 15. März 2020, 11:43 Uhr

S. 145/2

Die Normalform der Ebenengleichung lässt sich umformen zu 4x1 - 5x2 - 6x3 - (4-6t)=0.
a) Damit die Gerade g senkrecht zur Ebene E verläuft, ist ihr Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor der Ebene. Beim Normalenvektor der Ebene ist x3=-6, ebenso ist beim Richtungsvektor der Geraden x3=-6. Also müssen bei beiden Vektoren x1 und x2 übereinstimmen. Damit ist r = 4 und s = -5.

b) und c) Damit die Gerade (echt) parallel zur Ebene E ist oder in der Ebene E liegt, muss der Richtungsvektor der Gerade g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E sein. Also ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren 4r - 5s + 36 = 0, d.h. r und s müssen diese Gleichung erfüllen, z.B. (r = -9 und s = 0) oder (r=-14 und s=-4)

Für t = 3 stimmt der Stützpunkt A(1;0;3) der Ebene E mit dem Stützpunkt A(1;0;3) der Geraden g überein. Dann liegt g in der Ebene.

S. 145/3

a) Damit die Gerade g auf der Ebene E senkrecht steht, muss ihr Richtungsvektor \vec{u} kollinear zum Normalenvektor \vec{n} der Ebene E sein, also ist \vec{u} = k \cdot \vec{n}.


b) Damit die Gerade g echt parallel zur Ebene E verläuft muss ihr Richtungsvektor \vec{u} senkrecht zum Normalenvektor \vec{n} der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt \vec{u} \circ \vec{n} = 0 .
Desweiteren ragt der Verbindungsvektor \vec{AB} der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E aus der Ebene E heraus, die Richtungsvektoren der Ebene und der Verbindungsvektor \vec{AB} sind nicht komplanar.
Da in dieser Aufgabe die Richtungsvektoren der Ebene nicht gegeben sind, sondern es ist der Normalenvektor \vec{n} vorgegeben, ist dies gleichbedeutend damit, dass der Verbindungsvektor \vec{AB} und der Normalenvektor \vec{n} nicht senkrecht zueinander sind.


c) Auch hier muss wie in b) der Richtungsvektor \vec{u} der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor \vec{n} der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt \vec{u} \circ \vec{n} = 0 .
Damit die Gerade g in der Ebene E liegt, ist nun der Verbindungsvektor \vec{AB} der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E in der Ebene E, er ist also mit den Richtungsvektoren der Ebene komplanar.
Da aber wiederum der Normalenvektor \vec{n} der Ebene vorgegeben ist, ist nun der Verbindungsvektor \vec{AB} senkrecht zum Normalenvektor \vec{n}, also ist hier nun \vec{AB} \circ \vec{n} = 0 .


d) Damit die Gerade g die Ebene E schneidet, darf der Richtungsvektor \vec{u} der Geraden g nicht senkrecht zum Normalenvektor \vec{n} der Ebene E sein, also muss \vec{AB} \circ \vec{n} \neq 0 sein. Dies beinhaltet dann auch a)!

Falls das Skalarprodukt \vec{AB} \circ \vec{n} = 0 ist, hat man ja b) und c)!
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