Aufgaben zur Lagebeziehung Gerade - Ebene: Unterschied zwischen den Versionen

Die Normalform der Ebenengleichung lässt sich umformen zu 4x₁ - 5x₂ - 6x₃ - (4-6t)=0.
a) Damit die Gerade g senkrecht zur Ebene E verläuft, ist ihr Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor der Ebene. Beim Normalenvektor der Ebene ist x₃=-6, ebenso ist beim Richtungsvektor der Geraden x₃=-6. Also müssen bei beiden Vektoren x₁ und x₂ übereinstimmen. Damit ist r = 4 und s = -5.

b) und c) Damit die Gerade (echt) parallel zur Ebene E ist oder in der Ebene E liegt, muss der Richtungsvektor der Gerade g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E sein. Also ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren 4r - 5s + 36 = 0, d.h. r und s müssen diese Gleichung erfüllen, z.B. (r = -9 und s = 0) oder (r=-14 und s=-4)

a) Damit die Gerade g auf der Ebene E senkrecht steht, muss ihr Richtungsvektor kollinear zum Normalenvektor der Ebene E sein, also ist .

b) Damit die Gerade g echt parallel zur Ebene E verläuft muss ihr Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt .
Desweiteren ragt der Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E aus der Ebene E heraus, die Richtungsvektoren der Ebene und der Verbindungsvektor sind nicht komplanar.
Da in dieser Aufgabe die Richtungsvektoren der Ebene nicht gegeben sind, sondern es ist der Normalenvektor vorgegeben, ist dies gleichbedeutend damit, dass der Verbindungsvektor und der Normalenvektor nicht senkrecht zueinander sind, also ist .

c) Auch hier muss wie in b) der Richtungsvektor der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt .
Damit die Gerade g in der Ebene E liegt, ist nun der Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E in der Ebene E, er ist also mit den Richtungsvektoren der Ebene komplanar.
Da aber wiederum der Normalenvektor der Ebene vorgegeben ist, ist nun der Verbindungsvektor senkrecht zum Normalenvektor , also ist hier nun .

d) Damit die Gerade g die Ebene E schneidet, darf der Richtungsvektor der Geraden g nicht senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E sein, also muss sein. Dies beinhaltet dann auch a)!

k ist Scharparameter der Ebenenschar E_k: x₁ + (k-2)x₂ + (2k+1)x₃ = 5 - 2k .

a) (1) Eine Ebene E_k enthält den Ursprung, wenn in der Normalenform die Konstante gleich Null ist, also 5-2k = 0 ist. Somit ist k = 2,5 und die Ebene E_2,5 enthält den Ursprung.
(2) Eine Ebene E_k ist parallel zur x₃-Achse, wenn in der Normalenform kein x₃ vorkommt, also muss der Koeffizient von x₃ gleich 0 sein, d.h. 2k+1 = 0 , also k = -0,5. (3) Eine Ebene E_k ist die x₂x₃-Ebene, wenn ihr Normalenvektor der Richtungsvektor der _x1-Achse ist. Die x₁-Achse hat als Richtungsvektor . Dies ist dann auch ein Normalenvektor der Ebene Ebene E_k. Damit müssen in der Normalenform der Ebene E_k die Koeffizienten von x₂ und x₃ gleilch 0 sein, also k-2 = 0 und 2k+1 = 0. Dies ist gleichzeitig nicht möglich, denn dann müsste gleichzeitig k = 2 und k = -0,5 sein.